Абелева категория

В математике абелева категория — это категория , в которую морфизмы и объекты можно добавлять и в которой ядра и коядра существуют и обладают желаемыми свойствами.

Мотивирующим прототипическим примером абелевой категории является категория абелевых Ab $групп$ .

Абелевы категории — очень стабильные категории; например, они регулярны и удовлетворяют лемме о змее . Класс абелевых категорий замкнут относительно нескольких категоричных конструкций, например , категория цепных комплексов абелевой категории или категория функторов из малой категории в абелеву категорию также являются абелевыми. Эти свойства стабильности делают их неизбежными в гомологической алгебре и за ее пределами; теория имеет важные приложения в алгебраической геометрии , когомологиях и чистой теории категорий .

Мак Лейн ^[1] говорит Александр Гротендик ^[2] определил абелеву категорию, но есть ссылка ^[3] По словам Бухсбаума ученика Эйленберга , эту концепцию он предложил в своей докторской диссертации. ^[4] и Гротендик популяризировал ее под названием «абелева категория».

Определения [ править ]

Категория является абелевой , если она предаддитивна и

у него есть нулевой объект ,
у него есть все бинарные производные ,
у него есть все ядра и коядра , и
все мономорфизмы и эпиморфизмы нормальны .

Это определение эквивалентно ^[5] к следующему «частичному» определению:

Категория преаддитивна , если она обогащена моноидальной категорией $Ab$ абелевых групп . Это означает, что все hom-множества являются абелевыми группами и композиция морфизмов билинейна .
Преаддитивная категория является аддитивной , если каждое конечное множество объектов имеет побочное произведение . Это означает, что мы можем образовывать конечные прямые суммы и прямые произведения . В ^[6]Деф. 1.2.6 требуется, чтобы аддитивная категория имела нулевой объект (пустой бипродукт).
Аддитивная категория является преабелевой, если каждый морфизм имеет как ядро , так и коядро .
Наконец, преабелева категория абелева, каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормальны если . Это означает, что каждый мономорфизм является ядром некоторого морфизма, а каждый эпиморфизм является коядром некоторого морфизма.

Обратите внимание, что обогащенная структура hom-множеств является следствием первых трех аксиом первого определения. Это подчеркивает фундаментальную значимость категории абелевых групп в теории и ее каноническую природу.

В этой ситуации естественным образом возникает понятие точной последовательности , и оказывается, что точные функторы , т. е. функторы, сохраняющие точные последовательности в различных смыслах, являются соответствующими функторами между абелевыми категориями. Эта концепция точности была аксиоматизирована в теории точных категорий , образуя совершенно особый случай регулярных категорий .

Примеры [ править ]

Как уже говорилось выше, категория всех абелевых групп является абелевой категорией. Категория всех конечно порожденных абелевых групп также является абелевой категорией, как и категория всех конечных абелевых групп.
Если R — кольцо , то категория всех левых (или правых) модулей над R является абелевой категорией. Фактически можно показать, что любая малая абелева категория эквивалентна полной подкатегории такой категории модулей ( теорема вложения Митчелла ).
Если R — нётерово слева кольцо , то категория конечно порожденных левых модулей над R абелева. В частности, категория конечно порожденных модулей над нётеровым коммутативным кольцом абелева; таким образом абелевы категории появляются в коммутативной алгебре .
Как частные случаи двух предыдущих примеров: категория векторных пространств над фиксированным полем k абелева, как и категория конечномерных векторных пространств над k .
Если X — топологическое пространство , то категория всех (вещественных или комплексных) векторных расслоений на X обычно не является абелевой категорией, поскольку могут существовать мономорфизмы, не являющиеся ядрами.
Если X — топологическое пространство , то категория всех пучков абелевых групп на X является абелевой категорией. В более общем смысле категория пучков абелевых групп на узле Гротендика является абелевой категорией. Таким образом, абелевы категории появляются в алгебраической топологии и алгебраической геометрии .
Если C — малая категория , а A — абелева категория, то категория всех функторов из C в A образует абелеву категорию. Если C мал и преаддитивен , то категория всех аддитивных функторов из C в A также образует абелеву категорию. Последний является обобщением примера R -модуля, поскольку кольцо можно понимать как преаддитивную категорию с единственным объектом.

Аксиомы Гротендика [ править ]

В своей статье в Тохоку абелева категория A. Гротендик перечислил четыре дополнительных аксиомы (и двойственные им), которым может удовлетворять Эти аксиомы широко используются и по сей день. Они следующие:

AB3) Для каждого индексированного семейства ( A _i ) объектов A копроизведение является * A _i существует в A (т. е. A кополным ) .
AB4) A удовлетворяет AB3), и копроизведение семейства мономорфизмов является мономорфизмом.
AB5 ) A удовлетворяет AB3), и отфильтрованные копределы точных последовательностей точны.

и их двойники

AB3*) Для каждого индексированного семейства ( ) _. объектов A произведение существует P Ai _Ai в A (т.е. A является полным )
AB4*) A удовлетворяет AB3*), и произведение семейства эпиморфизмов является эпиморфизмом.
AB5*) A удовлетворяет AB3*), и фильтрованные пределы точных последовательностей точны.

Также были даны аксиомы AB1) и AB2). Именно они делают аддитивную категорию абелевой. Конкретно:

АВ1) Каждый морфизм имеет ядро и коядро.
AB2) Для каждого морфизма f канонический морфизм из coim f в im f является изоморфизмом .

Гротендик также дал аксиомы АВ6) и АВ6*).

AB6) A удовлетворяет AB3) и задано семейство отфильтрованных категорий. $I_{j},j\in J$ и карты $A_{j}:I_{j}\to A$ , у нас есть $\prod _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\prod _{j\in J}A_{j}$ , где lim обозначает отфильтрованный копредел.
AB6*) A удовлетворяет AB3*), и для данного семейства кофильтрованных категорий $I_{j},j\in J$ и карты $A_{j}:I_{j}\to A$ , у нас есть $\sum _{j\in J}\lim _{I_{j}}A_{j}=\lim _{I_{j},\forall j\in J}\sum _{j\in J}A_{j}$ , где lim обозначает кофильтрованный предел.

Элементарные свойства [ править ]

Для любой пары A , B объектов абелевой категории существует специальный морфизм из A в B. нулевой Его можно определить как нулевой элемент hom -множества Hom( A , B ), поскольку это абелева группа. В качестве альтернативы его можно определить как уникальную композицию A → 0 → B , где 0 — нулевой объект абелевой категории.

В абелевой категории каждый морфизм f можно записать как композицию эпиморфизма, за которым следует мономорфизм. Этот эпиморфизм называется кообразом f а мономорфизм называется образом f , .

Подобъекты и факторобъекты в хорошо себя ведут абелевых категориях. Например, частично упорядоченное множество подобъектов любого данного объекта A представляет собой ограниченную решетку .

Каждая абелева категория A является модулем над моноидальной категорией конечно порожденных абелевых групп; то есть мы можем сформировать тензорное произведение конечно порожденной абелевой группы G и любого объекта A из A . Абелева категория также является комодулем ; Hom( G , A ) можно интерпретировать как объект A . Если A полно , то мы можем снять требование G конечной порожденности ; в самом общем случае мы можем сформировать финитарные обогащенные пределы в A .

Учитывая объект $A$ в абелевой категории плоскостность относится к идее, что $-\otimes A$ является точным функтором . См. плоский модуль или, для большей общности, плоский морфизм .

Связанные понятия [ править ]

Абелевы категории являются наиболее общим набором гомологической алгебры . Все конструкции, используемые в этой области, актуальны, такие как точные последовательности и особенно короткие точные последовательности и производные функторы . Важные теоремы, применимые ко всем абелевым категориям, включают лемму о пяти (и короткую лемму о пяти как особый случай), а также лемму о змее (и лемму о девяти как особый случай).

Полупростые абелевы категории [ править ]

Абелева категория $\mathbf {A}$ называется полупростым, если существует совокупность объектов $\{X_{i}\}_{i\in I}\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )$ называемые простыми объектами (имеются в виду единственные подобъекты любого $X_{i}$ являются нулевым объектом $0$ и себя) такой, что объект $X\in {\text{Ob}}(\mathbf {A} )$ можно разложить в прямую сумму (обозначая копроизведение абелевой категории)

$X\cong \bigoplus _{i\in I}X_{i}$

Это техническое условие является достаточно сильным и исключает многие естественные примеры абелевых категорий, встречающиеся в природе. Например, большинство категорий модулей по кольцу $R$ не являются полупростыми; на самом деле, это так тогда и только тогда, когда $R$ является полупростым кольцом .

Примеры [ править ]

Некоторые абелевы категории, встречающиеся в природе, полупросты, например

Категория векторных пространств ${\text{Vect}}(k)$ над фиксированным полем $k$ .
По теореме Машке категория представлений ${\text{Rep}}_{k}(G)$ конечной группы $G$ над полем $k$ чья характеристика не делит $|G|$ является полупростой абелевой категорией.
Категория когерентных пучков нётеровой когда схемы полупроста тогда и только тогда, $X$ есть конечное дизъюнктное объединение неприводимых точек. Это эквивалентно конечному совместному произведению категорий векторных пространств над различными полями. Показать, что это верно в прямом направлении, эквивалентно показу всех ${\text{Ext}}^{1}$ группы исчезают, а это означает, что когомологическая размерность равна 0. Это происходит только тогда, когда небоскреб перемещается $k_{x}$ в какой-то момент $x\in X$ имеют касательное пространство Зарисского , равное нулю, которое изоморфно ${\text{Ext}}^{1}(k_{x},k_{x})$ используя локальную алгебру для такой схемы. ^[7]

Непримеры [ править ]

Существуют некоторые естественные контрпримеры абелевых категорий, которые не являются полупростыми, например некоторые категории представлений . Например, категория представлений группы Ли $(\mathbb {R} ,+)$ имеет представительство

$a\mapsto {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}$

который имеет только одно подпредставление измерения $1$ . Фактически это справедливо для любой унипотентной группы. ^[8]^{стр. 112}.

Подкатегории абелевых категорий [ править ]

Существует множество типов (полных, аддитивных) подкатегорий абелевых категорий, встречающихся в природе, а также некоторая противоречивая терминология.

Пусть A — абелева категория, C — полная аддитивная подкатегория, а I — функтор включения.

C является точной подкатегорией, если она сама является точной категорией и включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнуто относительно образов эпиморфизмов и выталкиваний мономорфизмов. Таким образом , точные последовательности в C — это точные последовательности в A для которых все объекты лежат в C. ,
C является абелевой подкатегорией, если она сама является абелевой категорией и включение I является точным функтором . Это происходит тогда и только тогда, когда C замкнут относительно взятия ядер и коядер. Обратите внимание, что существуют примеры полных подкатегорий абелевой категории, которые сами по себе являются абелевыми, но у которых функтор включения неточен, поэтому они не являются абелевыми подкатегориями (см. Ниже).
C является толстой подкатегорией, если она замкнута при взятии прямых слагаемых и удовлетворяет свойству 2 из 3 на коротких точных последовательностях; то есть, если $0\to M'\to M\to M''\to 0$ — короткая точная последовательность в A такая, что два из $M',M,M''$ лежат в C , то и третий тоже. Другими словами, C замкнут относительно ядер эпиморфизмов, коядер мономорфизмов и расширений. Обратите внимание, что П. Габриэль использовал термин « толстая подкатегория» для описания того, что мы здесь называем подкатегорией Серра .
C является топологизирующей подкатегорией, если она замкнута относительно подчастных .
C является подкатегорией Серра , если для всех коротких точных последовательностей $0\to M'\to M\to M''\to 0$ в A у нас есть M в C тогда и только тогда, когда оба $M',M''$ находятся C. в Другими словами, C замкнут относительно расширений и подфакторов . Эти подкатегории в точности являются ядрами точных функторов из А в другую абелеву категорию.
C является локализующей подкатегорией , если это подкатегория Серра такая, что фактор-функтор $Q\colon \mathbf {A} \to \mathbf {A} /\mathbf {C}$ допускает правый сопряженный .
Есть два конкурирующих понятия широкой подкатегории. Одна из версий состоит в том, что C содержит все объекты A (с точностью до изоморфизма); для полной подкатегории это явно не интересно. (Это также называется подкатегорией lluf .) Другая версия состоит в том, что C закрыт относительно расширений.

Вот явный пример полной аддитивной подкатегории абелевой категории, которая сама по себе является абелевой, но функтор включения не является точным. Пусть k — поле, $T_{n}$ алгебра верхнетреугольных $n\times n$ матрицы над k и $\mathbf {A} _{n}$ категория конечномерных $T_{n}$ -модули. Затем каждый $\mathbf {A} _{n}$ — абелева категория, и у нас есть функтор включения $I\colon \mathbf {A} _{2}\to \mathbf {A} _{3}$ выявление простых проективных, простых инъективных и неразложимых проективно-инъективных модулей. Сущностный образ Я представляет собой полную, аддитивную подкатегорию, но Я не точен.

История [ править ]

Абелевы категории были введены Бухсбаумом (1955) (под названием «точная категория») и Гротендиком (1957) с целью объединить различные теории когомологий. В то время существовала теория когомологий для пучков и теория когомологий для групп . Эти два понятия были определены по-разному, но имели схожие свойства. Фактически, большая часть теории категорий была разработана как язык для изучения этих сходств. Гротендик объединил две теории: обе они возникают как производные функторы абелевых категорий; абелева категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве и абелева категория G -модулей для данной группы G .

См. также [ править ]

Триангулированная категория

Ссылки [ править ]

^ Мак Лейн, Сондерс (17 апреля 2013 г.). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (второе изд.). Springer Science+Business Media. п. 205. ИСБН 978-1-4757-4721-8 .
^ Гротендик (1957)
^ Дэвид Эйзенбуд и Ежи Вейман. «МЕМОРИАЛЬНАЯ ДАНЬ Вспоминая Дэвида Буксбаума» (PDF) . Американское математическое общество . Проверено 22 декабря 2023 г.
^ Бухсбаум (1955)
^ Питер Фрейд, Абелевы категории
^ Справочник по категориальной алгебре, том. 2, Ф. Борсо
^ «Алгебраическая геометрия - Касательное пространство в точке и первая внешняя группа» . Математический обмен стеками . Проверено 23 августа 2020 г.
^ Хамфрис, Джеймс Э. (2004). Линейные алгебраические группы . Спрингер. ISBN 0-387-90108-6 . OCLC 77625833 .

Бухсбаум, Дэвид А. (1955), «Точные категории и двойственность», Труды Американского математического общества , 80 (1): 1–34, doi : 10.1090/S0002-9947-1955-0074407-6 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1993003 , МР 0074407
Фрейд, Питер (1964), Абелевские категории , Нью-Йорк: Харпер и Роу
Гротендик, Александр (1957), «О некоторых моментах гомологической алгебры» , Tohoku Mathematical Journal , Second Series, 9 : 119–221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537
Митчелл, Барри (1965), Теория категорий , Бостон, Массачусетс: Academic Press
Попеску, Николае (1973), Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям , Бостон, Массачусетс: Academic Press

[1] Мак Лейн, Сондерс (17 апреля 2013 г.). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике . Том. 5 (второе изд.). Springer Science+Business Media. п. 205. ИСБН 978-1-4757-4721-8 .

[2] Гротендик (1957)

[3] Дэвид Эйзенбуд и Ежи Вейман. «МЕМОРИАЛЬНАЯ ДАНЬ Вспоминая Дэвида Буксбаума» (PDF) . Американское математическое общество . Проверено 22 декабря 2023 г.

[4] Бухсбаум (1955)

[5] Питер Фрейд, Абелевы категории

[6] Справочник по категориальной алгебре, том. 2, Ф. Борсо

[7] «Алгебраическая геометрия - Касательное пространство в точке и первая внешняя группа» . Математический обмен стеками . Проверено 23 августа 2020 г.

[8] Хамфрис, Джеймс Э. (2004). Линейные алгебраические группы . Спрингер. ISBN 0-387-90108-6 . OCLC 77625833 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]