Локализация подкатегории

В математике Серр и локализующие подкатегории образуют важные классы подкатегорий категории абелевой . Локализирующими подкатегориями являются определенные подкатегории Серра. Они тесно связаны с понятием фактор-категории .

Подкатегории Серра

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть абелевой категорией . Непустая полная подкатегория ${\mathcal {C}}$ называется подкатегорией Серра (или также плотной подкатегорией ), если для каждой короткой точной последовательности $0\rightarrow A'\rightarrow A\rightarrow A''\rightarrow 0$ в ${\mathcal {A}}$ объект $A$ находится в ${\mathcal {C}}$ тогда и только тогда, когда объекты $A'$и $A''$ принадлежать ${\mathcal {C}}$. Словами: ${\mathcal {C}}$ закрывается по подобъектам, фактор-объектами расширения.

Каждая подкатегория Серра ${\mathcal {C}}$ из ${\mathcal {A}}$ сама является абелевой категорией, а функтор включения ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {A}}$ это точно . Важность этого понятия обусловлена ​​тем, что ядра точных функторов между абелевыми категориями являются подкатегориями Серра и можно построить (для локально малых ${\mathcal {A}}$) факторкатегория (в смысле Габриэля , Гротендика , Серра ) ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$, который имеет те же объекты, что и ${\mathcal {A}}$, является абелевым и имеет точный функтор (называемый фактор-функтором) $T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ чье ядро ${\mathcal {C}}$.

Локализация подкатегорий

Позволять ${\mathcal {A}}$ быть локально небольшим. Подкатегория Серр ${\mathcal {C}}$ называется локализующим, если фактор-функтор $T\colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ имеет правосопряженный $S\colon {\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {A}}$. С того времени $T$, как левый сопряженный, сохраняет копределы , каждая локализующая подкатегория замкнута относительно копределов. Функтор $T$ (или иногда $ST$) также называется функтором локализации и $S$ сечения функтор . Функтор сечения точен слева и полностью точен .

Если абелева категория ${\mathcal {A}}$ более того кополна и имеет инъективные оболочки (например, если это категория Гротендика ), то категория Серраподкатегория ${\mathcal {C}}$ является локализующим тогда и только тогда, когда ${\mathcal {C}}$ замкнут относительно произвольных копроизведений (т.н.прямые суммы). Следовательно, понятие локализующей подкатегорииэквивалентно понятию наследственного торсионного класса .

Если ${\mathcal {A}}$ является категорией Гротендика и ${\mathcal {C}}$ локализующую подкатегорию, затем ${\mathcal {C}}$ и фактор-категория ${\mathcal {A}}/{\mathcal {C}}$ снова категории Гротендика.

Теорема Габриэля-Попеску подразумевает, что каждая категория Гротендика является фактор-категорией категории модуля. $\operatorname {Mod} (R)$ (с $R$ подходящее кольцо ) по модулю локализующей подкатегории.

См. также

• Подкатегория Жиро

Ссылки

• Николае Попеску ; 1973 год; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Академик Пресс, Инк.; распродан.