Полная категория
В математике — полная категория это категория , в которой существуют все малые пределы . То есть категория C является полной, если каждая F : J → C ( где J мало диаграмма ) имеет предел C. в Двойственно — кополная категория это категория, в которой существуют все малые копределы . — Биполная категория это категория, которая одновременно является полной и кополной.
Существование всех пределов (даже если J — собственный класс ) слишком строго, чтобы иметь практическое значение. Любая категория с этим свойством обязательно является тонкой категорией : для любых двух объектов может существовать не более одного морфизма одного объекта в другой.
Более слабая форма полноты — это форма конечной полноты. Категория является конечно полной, если существуют все конечные пределы (т.е. пределы диаграмм, индексированных конечной категорией J ). Двойственным образом категория является конечно кополной, если существуют все конечные копределы.
Теоремы [ править ]
следует Из теоремы существования пределов , что категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет эквалайзеры (всех пар морфизмов) и все (малые) произведения . Поскольку эквалайзеры могут быть построены из обратных моделей и бинарных произведений (рассмотрим обратную связь ( f , g ) по диагонали Δ), категория является полной тогда и только тогда, когда она имеет обратные модели и произведения.
Двойственным образом категория является кополной тогда и только тогда, когда она имеет ковыравниватели и все (маленькие) копродукции или, что то же самое, вытеснения и копродукции.
Конечная полнота может быть охарактеризована несколькими способами. Для категории C все следующие условия эквивалентны:
- C конечно полный,
- C имеет эквалайзеры и все конечные произведения,
- В C есть эквалайзеры, бинарные произведения и терминальный объект .
- C имеет откаты и конечный объект.
Двойные утверждения также эквивалентны.
Малая категория C полна тогда и только тогда, когда она кополна. [1] Небольшая полная категория обязательно тонкая.
Посетальная категория бессмысленно имеет все уравниватели и совыравниватели, следовательно, она (конечно) полна тогда и только тогда, когда она имеет все (конечные) произведения, и двойственно для кополноты. Без ограничения конечности посетальная категория со всеми произведениями автоматически является кополной и двойственной по теореме о полных решетках.
Примеры и непримеры [ править ]
 |
- Следующие категории являются биполными:
- Set , категория наборов
- Top , категория топологических пространств.
- Grp , категория групп
- Ab , категория абелевых групп
- Кольцо , категория колец
- K -Vect , категория векторных пространств над полем K
- R -Mod , категория модулей над коммутативным кольцом R.
- CmptH , категория всех компактов Хаусдорфа.
- Кот , категория всех маленьких категорий
- Whl , категория колес
- sSet , категория симплициальных множеств [2]
- Следующие категории конечно полны и конечно кополны, но не полны и не кополны:
- Категория конечных множеств
- Категория конечных абелевых групп
- Категория конечномерных векторных пространств
- Любая ( пред ) абелева категория конечно полна и конечно кополна.
- Категория полных решеток полна, но не кополна.
- Категория метрических пространств Met конечно полна, но не имеет ни бинарных копродукций, ни бесконечных произведений.
- Категория полей Field не является ни конечно полной , ни конечно кополной.
- , ЧУ-множество рассматриваемое как малая категория, является полным (и кополным) тогда и только тогда, когда оно является полной решеткой .
- Частично упорядоченный класс всех порядковых чисел является сополным, но не полным (поскольку у него нет терминального объекта).
- Группа, рассматриваемая как категория с одним объектом, является полной тогда и только тогда, когда она тривиальна . В нетривиальной группе есть откат и выталкивание, но нет произведений, копроизведений, эквалайзеров, соэквалайзеров, конечных или начальных объектов.
Ссылки [ править ]
- ^ Абстрактные и конкретные категории, Иржи Адамек, Хорст Херрлих и Джордж Э. Стрекер, теорема 12.7, стр. 213
- ^ Риль, Эмили (2014). Категорическая теория гомотопии . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 32. ISBN 9781139960083 . OCLC 881162803 .
Дальнейшее чтение [ править ]
- Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990). Абстрактные и конкретные категории (PDF) . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-60922-6 .
- Мак Лейн, Сондерс (1998). Категории для работающего математика . Тексты для аспирантов по математике 5 ((2-е изд.) Изд.). Спрингер. ISBN 0-387-98403-8 .