Если и только если

«Если» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. IFF (значения) .

«↔» перенаправляется сюда. Не путать с двунаправленным трафиком .

«⟺» и «⇔» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Стрелка (символ) .

↔⇔≡⟺
Логические символы, представляющие iff   

В логике и смежных областях, таких как математика и философия , « тогда и только если » (часто сокращается до « если только ») перефразируется с помощью бикондиционала , логической связки . между утверждениями. Двуусловие истинно в двух случаях, когда либо оба утверждения истинны, либо оба ложны. Связка двуусловная (утверждение о материальной эквивалентности ), и может быть уподоблен стандартному материальному условию («только если», равному «если… тогда») в сочетании с его обратным («если»); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения истинны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли определённая таким образом связка переводится в английском языке «if и только если» — с его ранее существовавшим смыслом. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что P истинно всякий раз, когда Q истинно, и единственный случай, в котором P истинно, - это если Q также истинно, тогда как в случае P if Q могут быть и другие сценарии, когда P истинно, а Q ложно.

В письменной речи фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P «тогда и только если» Q, включают: Q необходимо и достаточно для P , для P необходимо и достаточно, чтобы Q , P был эквивалентен (или материально эквивалентен) Q (сравните с материальная импликация ), P точно, если Q , P точно (или точно), когда Q , P точно в случае Q , и P только в случае Q. Некоторые авторы считают слово «iff» непригодным для формального письма; другие считают это «пограничным случаем» и терпят его использование. В логических формулах используются логические символы, такие как $\leftrightarrow$ и $\Leftrightarrow$, используются вместо этих фраз; см . § Обозначения ниже.

Определение

$\neg P\land \neg Q$

$P\land Q$

$P\rightarrow Q$

$P\leftarrow Q$

$P\leftrightarrow Q$

истинности Таблица P ​ $\leftrightarrow$ Вопрос заключается в следующем:

$P$	$Q$	$\neg P\land \neg Q$	$P\land Q$	$P\rightarrow Q$	$P\leftarrow Q$	$P\leftrightarrow Q$
Ф	Ф	Т	Ф	Т	Т	Т
Ф	Т	Ф	Ф	Т	Ф	Ф
Т	Ф	Ф	Ф	Ф	Т	Ф
Т	Т	Ф	Т	Т	Т	Т

Это эквивалентно тому, что создается логическим элементом «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» , и противоположно тому, которое создается логическим элементом «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» .

Использование

Обозначения

Соответствующие логические символы: « $\leftrightarrow$", " $\Leftrightarrow$", и $\equiv$, а иногда и «если». Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако в некоторых текстах по математической логике (особенно по логике первого порядка , а не по логике высказываний ) проводится различие между ними: первый, ↔, используется как символ в логических формулах, а ⇔ используется в рассуждениях о эти логические формулы (например, в металогике ). В Лукасевича польской записи это префиксный символ. $E$.

Другой термин для обозначения логической связки , т. е. символа в логических формулах, не является ни исключающим, ни .

В TeX «тогда и только тогда» отображается как длинная двойная стрелка: $\iff$ с помощью команды \iff или \Longleftrightarrow.

Доказательства

В большинстве логических систем . утверждение вида «P тогда и только тогда Q» доказывается либо «если P, то Q» и «если Q, то P», либо «если P, то Q» и «если не-P» , то не-Q". Доказательство этих пар утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, поскольку не существует очевидных условий, при которых можно было бы напрямую вывести двуусловие. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена непосредственно из любого из ее дизъюнктов, то есть потому, что «iff» является истинностно-функциональным , P тогда и только тогда, когда Q" следует, если было доказано, что P и Q оба истинны или оба ложны.

Происхождение слова iff и произношение

Использование аббревиатуры «iff» впервые появилось в печати в книге Джона Л. Келли « 1955 года Общая топология» . Его изобретение часто приписывают Полу Халмошу , который написал: «Я изобрел слово «если и только если» — но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем».

Несколько неясно, как должно было произноситься слово «iff». В современной практике одно слово «iff» почти всегда читается как четыре слова «тогда и только если». Однако в предисловии к «Общей топологии» Келли предлагает читать ее по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует «тогда и только тогда», а эвфония требует чего-то меньшего, я использую «ифф» Халмоша». Авторы одного учебника дискретной математики предполагают: «Если вам нужно произнести iff, действительно держитесь за «ff» , чтобы люди услышали разницу с «if», подразумевая, что «iff» можно произносить как [ɪfː] .

Использование в определениях

Обычно определения представляют собой утверждения типа «тогда и только если»; » Келли некоторые тексты, такие как «Общая топология , следуют этому соглашению и используют «тогда и только тогда» или iff в определениях новых терминов. Однако такое использование «если и только если» относительно необычно и упускает из виду тот лингвистический факт, что «если» в определении интерпретируется как означающее «тогда и только если». Большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи в английской Википедии) следуют лингвистическому соглашению, интерпретирующему «если» как «тогда и только тогда», когда речь идет о математическом определении (например, «топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»). Более того, в случае рекурсивного определения единственная половина определения интерпретируется как предложение на метаязыке, утверждающее, что предложения в определении предиката являются единственными предложениями , определяющими расширение предиката.

В терминах диаграмм Эйлера

• 
  A является собственным подмножеством B . Число находится в A только в том случае, если оно находится в B ; число находится в B , если оно находится A. в
• 
  C является подмножеством, но не собственным B. подмножеством Число находится в B тогда и только тогда, когда оно находится в C , а число находится в C когда оно находится в B. тогда и только тогда ,

Диаграммы Эйлера показывают логические связи между событиями, свойствами и т. д. «P только если Q», «если P, то Q» и «P→Q» означают, что P является подмножеством Q, правильным или неправильным. «P если Q», «если Q, то P» и Все Q→P означают, что Q является правильным или неправильным подмножеством P. «P тогда и только тогда, когда Q» и «Q тогда и только тогда, когда P» означают, что множества P и Q идентичны друг другу.

Более общее использование

Iff используется и за пределами логики. Везде, где применяется логика, особенно в математических дискуссиях, она имеет то же значение, что и выше: это сокращение от if и only if , указывающее, что одно утверждение одновременно необходимо и достаточно для другого. Это пример математического жаргона (хотя, как отмечалось выше, if чаще используется , чем iff в формулировках определения ).

элементы X являются Все элементами Y , что означает: «Для любого z в области дискурса z z находится в X тогда и только тогда, когда находится в Y ».

Когда «если» означает «тогда и

В своей книге «Искусственный интеллект: современный подход» Рассел и Норвиг отмечают (стр. 282): по сути, часто более естественно выражать тогда и только тогда, когда как будто вместе с «семантикой базы данных (или логического программирования)». Они приводят пример английского предложения «У Ричарда есть два брата, Джеффри и Джон».

В базе данных или логической программе это можно представить просто двумя предложениями:

Брат(Ричард, Джеффри).

Брат (Ричард, Джон).

Семантика базы данных интерпретирует базу данных (или программу) как содержащую все и только те знания, которые необходимы для решения проблем в данной области. Он интерпретирует только тогда, когда выражает на метаязыке то, что предложения в базе данных представляют собой единственное знание, которое следует учитывать при выводе выводов из базы данных.

В логике первого порядка (FOL) со стандартной семантикой одно и то же английское предложение должно быть представлено с использованием if и only if , только если интерпретировано на объектном языке, в некоторой такой форме, как:

$\forall$ X(Брат(Ричард, X) тогда и только тогда, когда X = Джеффри или X = Джон).

Джеффри ≠ Джон.

По сравнению со стандартной семантикой для FOL семантика базы данных имеет более эффективную реализацию. Вместо рассуждений предложениями вида:

вывод, если и только если условия

он использует предложения вида:

вывод, если условия

рассуждать вперед от условий к выводам или назад от выводов к условиям .

Семантика базы данных аналогична юридическому принципу expressio unius est exclusio alterius (явное упоминание одной вещи исключает все остальные). Более того, он лежит в основе применения логического программирования для представления юридических текстов и юридических рассуждений.

См. также

• Определение
• Отношение эквивалентности
• Логическое двуусловие
• Логическое равенство
• Логическая эквивалентность
• Тогда и только тогда, когда в логических программах
• Полисиллогизм

Внешние ссылки

• «Таблицы истинности тогда и только тогда, когда» . Архивировано из оригинала 5 мая 2000 года.
• Языковой журнал: «На всякий случай»
• Философия Южной Калифорнии для аспирантов-философов: «На всякий случай»