Словарь математического жаргона

Язык математики обладает обширным словарем специальных и технических терминов. В нем также присутствует определенное количество жаргона : часто используемых фраз, которые являются частью математической культуры, а не самого предмета. Жаргон часто появляется в лекциях, а иногда и в печати, как неформальное обозначение строгих аргументов или точных идей. По большей части это обычный английский язык, но с особым неочевидным значением при использовании в математическом смысле.

Некоторые фразы, например «в целом», встречаются ниже в нескольких разделах.

Философия математики [ править ]

Абстрактная чушь: Ироничная , с помощью которой можно использовать аргументы, устанавливающие (возможно , отсылка к теории категорий конкретный) результат без ссылки на какую-либо специфику настоящей проблемы. По этой причине его также называют общей абстрактной чепухой или обобщенной абстрактной чепухой .

[Доклад Эйленберга и Мак Лейна ( 1942 )] представил очень абстрактную идею « категории » — предмета, который тогда назывался «общей абстрактной чепухой»!
— Сондерс Мак Лейн ( 1997 )

[ Гротендик ] поднял алгебраическую геометрию на новый уровень абстракции... если бы некоторые математики могли какое-то время утешать себя надеждой, что все эти сложные структуры были "абстрактной чепухой"... более поздние работы Гротендика и других показали, что классическая проблемы... которые сопротивлялись усилиям нескольких поколений талантливых математиков, можно было решить с помощью... сложных концепций.
— Михаил Монастырский ( 2001 )

Канонический: Ссылка на стандартное или произвольное представление некоторого математического объекта (например, каноническую карту, каноническую форму или канонический порядок). Тот же термин можно использовать и в более неформальной обстановке для обозначения чего-то «стандартного» или «классического». Например, можно сказать, что доказательство Евклида является «каноническим доказательством» бесконечности простых чисел .

Есть два канонических доказательства, которые всегда используются, чтобы показать нематематикам, что такое математическое доказательство:
— Доказательство того, что существует бесконечно много простых чисел .
— Доказательство иррациональности квадратного корня из двух .
— Фрик Видейк ( 2006 , стр.2)

Глубокий: Результат называется «глубоким», если для его доказательства требуются концепции и методы, выходящие за рамки понятий, необходимых для формулировки результата. Например, теорема о простых числах , первоначально доказанная с помощью методов комплексного анализа , когда-то считалась глубоким результатом, пока не элементарные доказательства . были найдены ^[1] С другой стороны, тот факт, что π иррационально, обычно считается глубоким результатом, поскольку он требует значительного развития реального анализа, прежде чем можно будет установить доказательство - даже если само утверждение может быть сформулировано в терминах простой теории чисел. и геометрия .
Элегантный: Эстетический термин, обозначающий способность идеи дать представление о математике, будь то путем объединения разрозненных областей, введения нового взгляда на одну область или путем предоставления техники доказательства, которая либо является особенно простой, либо которая отражает интуицию или воображение относительно того, почему результат, который он доказывает, верен. В некоторых случаях термин «красивый» также может использоваться с тем же эффектом, хотя Джан-Карло Рота различал элегантность представления и красоту концепции , говоря, что, например, о некоторых темах можно писать элегантно, хотя математическое содержание некрасивы, а некоторые теоремы и доказательства красивы, но могут быть написаны неэлегантно.

Красота математической теории не зависит от эстетических качеств... строгого изложения теории. Некоторым прекрасным теориям никогда не будет представлено представление, соответствующее их красоте... Можно также найти примеры посредственных теорий сомнительной красоты, которым дано блестящее, захватывающее изложение... [Теория категорий] богата красивыми и проницательными определениями. и бедны изящными доказательствами... [Теоремы] остаются неуклюжими и скучными... [Изложения проективной геометрии ] соперничали друг с другом в элегантности изложения и в хитрости доказательства.... Оглядываясь назад, можно задаться вопросом, что вся эта суета была вокруг.

Математики могут говорить, что теорема прекрасна, тогда как на самом деле они хотят сказать, что она поучительна. Мы признаем красоту теоремы, когда видим, как она «встает» на свое место... Мы говорим, что доказательство прекрасно, когда такое доказательство наконец раскрывает тайну теоремы...
- Джан-Карло Рота ( 1977 , стр. 173–174, стр. 181–182)

элементарный: Доказательство или результат называются «элементарными», если оно включает только основные концепции и методы в данной области и его следует противопоставлять глубоким результатам, которые требуют дальнейшего развития внутри или за пределами этой области. Понятие «элементарное доказательство» используется конкретно в теории чисел , где оно обычно относится к доказательству, не прибегающему к методам комплексного анализа .
Фольклор: Результат называется «фольклором», если он неочевиден и неопубликован, но общеизвестен специалистам в данной области. Во многих случаях неясно, кто первым получил результат, хотя, если результат значителен, он может в конечном итоге попасть в учебники, после чего перестанет быть фольклором.

Многие из результатов, упомянутых в этой статье, следует считать «фольклорными», поскольку они просто формально излагают идеи, которые хорошо известны исследователям в этой области, но могут быть не очевидны для новичков и, насколько мне известно, не встречаются где-либо еще. в печати.
— Рассел Импальяццо ( 1995 )

мошенничество: Термин, касающийся заявлений. Если утверждение ложно, то говорят, что оно демонстрирует мошенничество . «Что вы имеете в виду, когда подмножество R компактно тогда и только тогда, когда оно ограничено? Это мошенничество!»

Естественный: Подобно «каноническому», но более конкретному и ссылающемуся на описание (почти исключительно в контексте преобразований ) , которое действует независимо от любого выбора. Хотя этот термин долгое время использовался неофициально, он нашел формальное определение в теории категорий.
Патологический: Объект ведет себя патологически (или, в более широком смысле, вырожденным образом), если он либо не соответствует общему поведению таких объектов, не удовлетворяет определенным контекстно-зависимым свойствам регулярности, либо просто не подчиняется математической интуиции . Во многих случаях это могут быть и часто являются противоречивыми требованиями, в то время как в других случаях этот термин более сознательно используется для обозначения объекта, искусственно созданного в качестве контрпримера этим свойствам. Простой пример: из определения треугольника, углы в которого сумме равны π радиан, одна прямая линия патологически соответствует этому определению.

За полвека мы стали свидетелями появления множества причудливых функций , которые, кажется, стараются как можно меньше напоминать честные функции, служащие какой-то цели... Более того, с логической точки зрения именно эти странные функции являются наиболее общими... сегодня они придуманы специально для того, чтобы опровергнуть рассуждения наших отцов...
—Анри Пуанкаре ( 1913 )

[ Функция Дирихле ] приобрела огромное значение... как стимул для создания новых типов функций, свойства которых полностью отличались от того, что интуитивно казалось допустимым. Знаменитым примером такой так называемой «патологической» функции... является пример Вейерштрасса ... Эта функция непрерывна , но не дифференцируема .
- Дж. Соуза Пинто ( 2004 )

В этой последней цитате обратите внимание на то, что, поскольку дифференцируемые функции скудны в пространстве непрерывных функций, как обнаружил Банах в 1931 году, дифференцируемые функции, в разговорной речи, являются редким исключением среди непрерывных. Таким образом, вряд ли можно больше оправдывать называние недифференцируемых непрерывных функций патологическими.
Строгость (строгость): Акт установления математического результата с использованием неоспоримой логики, а не неформальных описательных аргументов. Строгость является краеугольным камнем математики и может сыграть важную роль в предотвращении вырождения математики в заблуждения.
хорошо себя ведет: Объект ведет себя хорошо (в отличие от Патологического ), если он удовлетворяет определенным преобладающим свойствам регулярности или если он соответствует математической интуиции (хотя интуиция часто может подсказывать и противоположное поведение). В некоторых случаях (например, при анализе термин « гладкий » . ) для того же эффекта можно использовать

неформальности Описательные

Хотя в конечном итоге каждый математический аргумент должен соответствовать высоким стандартам точности, математики используют описательные, но неформальные утверждения для обсуждения повторяющихся тем или концепций с помощью громоздких формальных утверждений. Обратите внимание, что многие термины абсолютно строги в контексте.

почти все: Сокращенный термин для «все, кроме набора нулевой » меры , когда есть мера , о которой можно говорить. Например, «почти все действительные числа трансцендентны » , поскольку алгебраические действительные числа образуют счетное подмножество действительных чисел с нулевой мерой. Можно также говорить о «почти всех» целых числах, имеющих свойство означать «все, кроме конечного числа», несмотря на то, что целые числа не допускают меры, для которой это согласуется с предыдущим использованием. Например, «почти все простые числа нечетные ». Существует и более сложное значение целых чисел, обсуждаемое в основной статье. Наконец, этот термин иногда используется как синоним термина generic (см. ниже).
сколь угодно большой: Понятия, которые возникают в основном в контексте пределов и относятся к повторению явления по мере приближения к пределу. Такое утверждение, как то, что предикату P удовлетворяют сколь угодно большие значения, можно выразить в более формальной записи ∀ x : ∃ y ≥ x : P ( y ) . Смотрите также часто . Утверждение о том, что величину f ( x ), зависящую от x , «можно сделать» сколь угодно большой, соответствует ∀ y : ∃ x : f ( x ) ≥ y .
произвольный: Сокращенное обозначение квантора универсальности . Произвольный выбор — это выбор, который делается неограниченно, или, альтернативно, утверждение справедливо для произвольного элемента набора, если оно справедливо для любого элемента этого набора. Также немало в общеязыковом употреблении среди математиков: «Конечно, эта задача может быть сколь угодно сложной».
в конце концов: В контексте ограничений это сокращенное значение для достаточно больших аргументов ; соответствующий аргумент(ы) неявно присутствует в контексте. Например, функция log(log( x )) со временем становится больше 100"; в этом контексте "в конечном итоге" означает "при достаточно большом x ".
фактор через: Термин в теории категорий , обозначающий композицию морфизмов . Если для трех объектов A , B и C карта $f\colon A\to C$ можно записать в виде композиции $f=h\circ g$ с $g\colon A\to B$ и $h\colon B\to C$ , то f говорят, что факторизует любое (и все) из $B$ , $g$ , и $h$ .
конечный: Когда говорится о значении переменной, принимающей значения из неотрицательных расширенных действительных чисел $\mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \},$ значение обычно «не бесконечно». Например, если дисперсия случайной величины называется конечной, это означает, что это неотрицательное действительное число, возможно, ноль. Однако в некоторых контекстах, например, в «маленькой, но конечной амплитуде», ноль и бесконечно малые значения следует исключить. Когда говорится о значении переменной, принимающей значения из расширенных натуральных чисел $\mathbb {N} \cup \{\infty \},$ смысл просто «не бесконечен». Когда говорят о множестве или математическом объекте, основным компонентом которого является множество, это означает, что мощность множества меньше $\aleph _{0}$ .
часто: В контексте ограничений это сокращение для произвольно больших аргументов и их родственников; как и в конечном итоге , предполагаемый вариант неявен. Например, последовательность $(-1)^{n}$ часто находится в интервале (1/2, 3/2), поскольку существуют сколь угодно большие n , для которых значение последовательности находится в этом интервале.
формально, формально: Квалифицирует все, что достаточно точно для прямого перевода в формальную систему . Например. формальное доказательство , формальное определение .
универсальный: Этот термин имеет те же коннотации, что и почти все остальные , но используется, в частности, для понятий, выходящих за рамки теории меры . Свойство сохраняется «в общем» для множества, если набор удовлетворяет некоторому (зависящему от контекста) понятию плотности или, возможно, если его дополнение удовлетворяет некоторому (зависящему от контекста) понятию малости. Например, свойство, которое выполняется на плотной G _δ ( пересечение счетного числа открытых множеств ), считается выполненным в общем случае. В алгебраической геометрии говорят, что свойство точек алгебраического многообразия , которое справедливо на плотном открытом множестве Зарисского , истинно в общем случае; однако обычно не говорят, что свойство, которое справедливо только на плотном множестве (которое не является открытым по Зарискому), является в этой ситуации общим.
в общем: В описательном контексте эта фраза представляет собой простую характеристику широкого класса объектов с целью выявить объединяющий принцип. Этот термин вводит «изящное» описание, которое справедливо для « произвольных » объектов. Исключения из этого описания могут быть упомянуты явно как « патологические » случаи.

Норберт А'Кампо из Базельского университета однажды спросил Гротендика о чем-то, связанном с Платоновыми телами . Гротендик посоветовал соблюдать осторожность. Платоновы тела настолько красивы и настолько исключительны, сказал он, что нельзя предполагать, что такая исключительная красота сохранится и в более общих ситуациях.
— Аллин Джексон ( 2004 , стр.1197)

левая сторона, правая сторона (LHS, RHS): Чаще всего они относятся просто к левой или правой части уравнения ; например, $x=y+1$ имеет $x$ на левой стороне и $y+1$ на РХС. Иногда они используются в смысле lvalue и rvalue: RHS является примитивным, а LHS — производным.
хороший: Математический объект в просторечии называется хорошим или достаточно хорошим, если он удовлетворяет гипотезам или свойствам, иногда неопределенным или даже неизвестным, которые особенно желательны в данном контексте. Это неформальный антоним слова « патологический» . Например, можно предположить, что дифференциальный оператор должен удовлетворять определенному условию ограниченности «для хороших пробных функций», или можно утверждать, что некоторый интересный топологический инвариант должен быть вычислим «для хороших пространств X ».
на: Функция (которая в математике обычно определяется как отображение элементов одного множества A на элементы другого B ) называется « A на B » (вместо « A на B » или « A на B »), только если она сюръективна. ; можно даже сказать, что « f находится на» (т. е. сюръективно). Непереводится (без оговорок) на некоторые языки, кроме английского.
правильный: Если для некоторого понятия подструктуры объекты являются подструктурами самих себя (то есть отношения рефлексивны квалификация ), то собственно требует, чтобы объекты были разными. Например, правильное подмножество множества S — это подмножество S , отличное от S , а собственный делитель числа n — это делитель числа n , отличный от n . Это перегруженное слово также не является жаргоном для правильного морфизма .
обычный: Функция называется регулярной , если она удовлетворяет удовлетворительным свойствам непрерывности и дифференцируемости, которые часто зависят от контекста. Эти свойства могут включать в себя наличие определенного количества производных , при этом функция и ее производные обладают некоторым приятным свойством (см. «Хорошо выше»), например непрерывностью по Гельдеру . Неофициально этот термин иногда используется как синоним слова Smooth (см. ниже). Такое неточное использование слова «регулярный» не следует путать с понятием регулярного топологического пространства , которое строго определено.
соотв.: (Соответственно) Соглашение о сокращении параллельных изложений. « A (соответственно B ) [имеет некоторое отношение к] X (соответственно Y )» означает, что A [имеет некоторое отношение к] X , а также что B [имеет (то же самое) отношение к] Y . Например, квадраты (соответственно треугольники) имеют 4 стороны (соответственно 3 стороны); или компактные (соответственно Линделефа ) пространства - это пространства, в которых каждое открытое покрытие имеет конечное (соответственно счетное) открытое подпокрытие.
острый: Часто математическая теорема устанавливает ограничения на поведение некоторого объекта; например, будет показано, что функция имеет верхнюю или нижнюю границу . Ограничение является жестким (иногда оптимальным ), если его нельзя сделать более строгим, не потерпев при этом ошибок в некоторых случаях. Например, для произвольных неотрицательных действительных чисел x показательная функция e ^Икс, где e = 2,7182818..., дает верхнюю оценку значений квадратичной функции x ². Это не резко; разрыв между функциями всюду не менее 1. Среди показательных функций вида α ^Икс, полагая α = e ^{2/ и}= 2,0870652... приводит к четкой верхней границе; немного меньший выбор α = 2 не дает верхней границы, поскольку тогда α ³ = 8 < 3 ². В прикладных областях слово «плотный» часто употребляется в том же значении. ^[2]
гладкий: Гладкость — это понятие, которому математика наделила множество значений: от простой дифференцируемости до бесконечной дифференцируемости и аналитичности , а также других, более сложных. Каждое такое использование пытается вызвать физически интуитивное понятие гладкости.
сильный, сильнее: Теорема называется сильной, если она выводит ограничительные результаты из общих гипотез. Одним из знаменитых примеров является теорема Дональдсона , которая налагает жесткие ограничения на то, что в противном случае могло бы показаться большим классом многообразий. Такое (неформальное) использование отражает мнение математического сообщества: такая теорема не только должна быть сильной в описательном смысле (ниже), но также должна быть окончательной в своей области. Теорема, результат или условие далее называется более сильным , чем другое, если доказательство второго можно легко получить из первого, но не наоборот. Примером может служить последовательность теорем: малая теорема Ферма , теорема Эйлера , теорема Лагранжа , каждая из которых сильнее предыдущей; во-вторых, точная верхняя граница (см. резкую выше) является более сильным результатом, чем неточная. Наконец, прилагательное сильное или наречие сильно можно добавить к математическому понятию, чтобы указать на связанное с ним более сильное понятие; например, сильная антицепь — это антицепь удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям, а также сильно регулярный граф — это регулярный граф, удовлетворяющий более сильным условиям. При таком использовании более сильное понятие (например, «сильная антицепь») представляет собой технический термин с точно определенным значением; природа дополнительных условий не может быть выведена из определения более слабого понятия (например, «антицепи»).
достаточно большой , достаточно маленький, достаточно близко: В контексте пределов эти термины относятся к некоторой (неуказанной, даже неизвестной) точке, в которой явление преобладает по мере приближения к пределу. Такое утверждение, как то, что предикат P выполняется для достаточно больших значений, может быть выражено в более формальных обозначениях как ∃ x : ∀ y ≥ x : P ( y ). См. также в конце концов .
наверху, внизу: Описательный термин, относящийся к обозначениям, в которых два объекта пишутся один над другим; верхний находится наверху , а нижний — внизу . Например, в пучке волокон общее пространство часто располагается наверху , а базовое пространство — внизу . В дробях числитель внизу иногда располагается наверху , а знаменатель — , как в случае «перенос члена наверх».
до , по модулю, мод.: Расширение математического дискурса понятий модульной арифметики . Утверждение истинно до определенного условия, если установление этого условия является единственным препятствием на пути к истинности утверждения. Также используется при работе с членами классов эквивалентности , особенно в теории категорий , где отношением эквивалентности является (категорический) изоморфизм; например: «Тензорное произведение в слабой моноидальной категории ассоциативно и унитально с точностью до естественного изоморфизма ».
исчезнуть: Принять значение 0. Например: «Функция sin( x ) обращается в нуль для тех значений x , которые являются целыми кратными π». Это также может относиться к пределам: см. Vanish at infinity .
слабый, слабее: Обратное к сильному .
четко определенный: Точно и точно описано или указано. Например, иногда определение основано на выборе какого-либо объекта; тогда результат определения должен быть независим от этого выбора.

Терминология доказательства

Формальный язык доказательства постоянно опирается на небольшой набор идей, многие из которых на практике используются посредством различных лексических сокращений.

в противном случае: Устаревший термин, используемый для объявления читателю альтернативного метода или доказательства результата. Поэтому в доказательстве он отмечает часть рассуждения, которая является излишней с логической точки зрения, но имеет какой-то другой интерес.
методом от противного (BWOC), или «ибо, если нет,...»: Риторическая прелюдия к доказательству от противного , предшествующая отрицанию доказываемого утверждения.
тогда и только тогда, когда (если только): Аббревиатура для логической эквивалентности утверждений.
в общем: В контексте доказательств эту фразу часто можно увидеть в аргументах индукции при переходе от базового случая к шагу индукции, а также в определении последовательностей, первые несколько членов которых представлены как примеры формулы, задающей каждый член последовательности. .
необходимое и достаточное: Незначительный вариант «тогда и только если»; « А необходимо , ( достаточно ) для B » означает « А если (только если) B ». Например, «Для того, чтобы поле K было алгебраически замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело конечных расширений поля » означает, что « K алгебраически замкнуто тогда и только тогда, когда оно не имеет конечных расширений». Часто используется в списках, например: «Следующие условия необходимы и достаточны для того, чтобы поле было алгебраически замкнутым...».
нужно показать (NTS), требуется доказать (RTP), хочу показать, хочу показать (WTS): Доказательства иногда начинаются с перечисления нескольких условий, выполнение которых вместе будет означать искомую теорему; таким образом, нужно показать именно эти высказывания.
один и только один: Заявление о существовании и уникальности объекта; объект существует, и более того, другого такого объекта не существует.
КЭД: ( Quod Erat DemonStrandum ): латинская аббревиатура, означающая «что должно было быть продемонстрировано», исторически помещалась в конце доказательств, но в настоящее время встречается реже, поскольку была заменена знаком конца доказательства Halmos , квадратным знаком ∎.
достаточно приятно: Условие для объектов, рассматриваемых в рамках обсуждения, которое будет указано позже, которое будет гарантировать, что для них сохраняется некоторое заявленное свойство. При разработке теоремы использование этого выражения в формулировке теоремы указывает на то, что рассматриваемые условия могут быть еще не известны говорящему и что цель состоит в том, чтобы собрать условия, которые будут признаны необходимыми для того, чтобы доказательство теоремы, которое необходимо пройти.
следующие эквивалентны (TFAE): несколько эквивалентных условий (особенно для определения, такого как нормальная подгруппа Часто на практике одинаково полезны ); вводится теорема, утверждающая эквивалентность более чем двух утверждений с TFAE.
транспортировка конструкции: Часто бывает так, что два объекта в некотором роде эквивалентны и один из них наделен дополнительной структурой. Используя эквивалентность, мы можем определить такую структуру и для второго объекта посредством транспорта структуры . Например, любые два векторных пространства одной и той размерности изоморфны же ; если одному из них задан скалярный продукт и если мы зафиксируем конкретный изоморфизм, то мы можем определить скалярный продукт в другом пространстве путем факторизации изоморфизма.

Пусть V — конечномерное векторное пространство над k .... Пусть ( e _i ) _{⩽ 1妻i — n} базис для 1 V .... Существует изоморфизм алгебры полиномов k [ T _ij ] _{妻 i , j ≤ n,} на алгебру Sym _k ( V ⊗ V ^*)....Она продолжается до изоморфизма k [ GL _n ] до локализованной алгебры Sym _k ( V ⊗ V ^*) _D , где D = det( e _i ⊗ e _j^*)....Мы пишем k [ GL ( V )] для этой последней алгебры. Переносом структуры мы получаем линейную алгебраическую группу GL ( V ), изоморфную GL _n .
— Игорь Шафаревич ( 1991 , с.12)

без (какой-либо) потери общности (WLOG, WOLOG, WALOG), можно предположить (WMA): Иногда утверждение легче доказать с помощью дополнительных предположений об объектах, которых оно касается. Если сформулированное предложение следует из этого модифицированного с простым и минимальным объяснением (например, если остальные частные случаи тождественны, кроме обозначений), то этой фразой вводятся модифицированные предположения и измененное предложение доказывается.

Методы доказательства [ править ]

У математиков есть несколько фраз для описания доказательств или методов доказательства. Их часто используют в качестве подсказок для заполнения утомительных деталей.

погоня за углом: Используется для описания геометрического доказательства, которое включает в себя поиск взаимосвязей между различными углами на диаграмме. ^[3]
Предварительный расчет: Неформальное вычисление, в котором отсутствует большая строгость, но без ущерба для корректности. Часто это вычисление является «доказательством концепции» и рассматривает только доступный частный случай.
грубая сила: Вместо того, чтобы находить основополагающие принципы или закономерности, это метод, при котором можно оценить столько случаев, сколько необходимо, чтобы в достаточной степени доказать или предоставить убедительные доказательства того, что рассматриваемая вещь верна. Иногда это включает в себя оценку каждого возможного случая (это также известно как доказательство путем исчерпывания ).
на примере: Доказательство примером – это аргумент, посредством которого утверждение не доказывается, а вместо этого иллюстрируется примером. Если все сделано правильно, конкретный пример можно легко обобщить до общего доказательства.
путем проверки: Риторический ярлык, сделанный авторами, которые предлагают читателю с первого взгляда убедиться в правильности предлагаемого выражения или вывода. Если выражение можно оценить путем прямого применения простых методов, не прибегая к расширенным вычислениям или общей теории, то его можно оценить путем проверки . Он также применяется для решения уравнений; например, найти корни квадратного уравнения путем осмотра — значит «заметить» их или мысленно проверить их. «Проверкой» может играть своего рода гештальт- роль: ответ или решение просто встают на свое место.
путем запугивания: Стиль доказательства, при котором утверждения, которые, по мнению автора, легко проверяются, помечаются как «очевидные» или «тривиальные», что часто приводит читателя в замешательство.
ясно, можно легко показать: Термин, который сокращает вычисления, которые математик считает утомительными или рутинными, доступными любому члену аудитории, обладающему необходимым опытом в этой области; Лаплас использовал очевидное ( фр . évident ).
полная интуиция: обычно используется для шуток (каламбуры при полной индукции ).
погоня за диаграммой: ^[4]Учитывая коммутативную диаграмму объектов и морфизмов между ними, если кто-то хочет доказать какое-то свойство морфизмов (например, инъективность ), которое можно сформулировать в терминах элементов , то доказательство можно продолжить, прослеживая путь элементов различных объектов вокруг диаграмму, поскольку к ней применяются последовательные морфизмы. То есть мы преследуем элементы по диаграмме или преследуем диаграмму .
махать руками: Нетехника доказательства, чаще всего используемая на лекциях, где формальная аргументация не является строго необходимой. Он основан на упущении деталей или даже важных ингредиентов и является всего лишь аргументом правдоподобия.
в общем: В контексте, не требующем строгости, эта фраза часто появляется как средство экономии труда, когда технические детали полной аргументации перевешивают концептуальные преимущества. Автор в достаточно простом случае приводит доказательство разумности вычислений, а затем указывает, что «в целом» доказательство аналогично.
индексная битва: Для доказательств, включающих объекты с несколькими индексами, которые можно решить, дойдя до конца (если кто-то захочет приложить усилия). Похоже на погоню за диаграммой.
очевидно: Смотрите ясно .
доказательство оставлено читателю в качестве упражнения: Обычно применяется к утверждению в рамках более крупного доказательства, когда доказательство этого утверждения может быть представлено в обычном порядке любым членом аудитории, обладающим необходимым опытом, но оно не настолько просто, чтобы быть очевидным .
тривиальный: Похоже на: ясно . Концепция тривиальна, если она верна по определению, является непосредственным следствием известного утверждения или представляет собой простой частный случай более общей концепции.

Разное [ править ]

В этом разделе представлены термины, используемые в различных областях математики , а также термины, которые обычно не встречаются в более специализированных глоссариях. Термины, используемые только в некоторых конкретных областях математики, см. в глоссариях в категории: Глоссарии по математике .

Б [ править ]

двоичный: Бинарное отношение — это набор упорядоченных пар; Говорят, что элемент x связан с другим элементом y тогда и только тогда, когда (x,y) находятся в множестве.

С [ править ]

канонический: 1. Каноническое отображение — это отображение или морфизм между объектами, который естественным образом возникает в результате определения или построения отображаемых друг на друга объектов.; 2. Каноническая форма объекта – это некий стандартный или универсальный способ выражения объекта.
переписка: Переписка из набора $A$ в набор $B$ является подмножеством декартова произведения $A\times B$ ; другими словами, это бинарное отношение, но со спецификацией окружающих множеств $A,B$ используется в определении.

Д [ править ]

диаграмма: См. математическую диаграмму .

Ф [ править ]

функция: Функция $f:A\to B$ это упорядоченная тройка $(A,B,f)$ состоящий из наборов $A,B$ и подмножество $f$ декартова произведения $A\times B$ при условии $(a,b),(a,b')\in f$ подразумевает $b=b'$ . Другими словами, это особый вид соответствия , в котором задан элемент $a$ из $A$ , есть уникальный элемент $b$ из $B$ это соответствует этому.

Я [ править ]

инвариант: Инвариант . объекта или пространства — это свойство или номер объекта или пространства, остающееся неизменным при некоторых преобразованиях

М [ править ]

карта: Синоним функции между множествами или морфизма в категории. В зависимости от авторов термин «карты» или термин «функции» может быть зарезервирован для конкретных видов функций или морфизмов (например, функция как аналитический термин и карта как общий термин).
математика: См. математику .
многозначный: « Многозначная функция » из множества $A$ в множество $B$ — это функция из $A$ в подмножества $B.$ Обычно она обладает тем свойством, что почти для всех точек $x$ из $B$ существует окрестность $x$ такая, что ограничение функцию окрестности можно рассматривать как набор функций из окрестности $B$ .

П [ править ]

проекция: Грубо говоря, проекция . — это карта одного пространства или объекта в другое, без учета некоторой информации об этом объекте или пространстве Например, $\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x$ является проекцией, и его ограничение, скажем, на график функции, также является проекцией. Термины « идемпотентный оператор » и « забывчивое отображение » также являются синонимами проекции.

С [ править ]

состав: Математическая структура объекта — это дополнительный набор объектов или данных, прикрепленных к объекту (например, отношение, операция, метрика, топология).

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Гольдфельд, Дориан. «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . Колумбийский университет .
^ Бойд, Стивен (2004). Выпуклая оптимизация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521833783 .
^ Роу, Джон (1993), Элементарная геометрия , Оксфордские научные публикации, стр. 119, ISBN 978-0-19-853456-3
^ Многочисленные примеры можно найти в (Mac Lane 1998 ), например, на стр. 100.

Ссылки [ править ]

Эйленберг, Сэмюэл ; Мак Лейн, Сондерс (1942), «Естественные изоморфизмы в теории групп», Proc. Натл. акад. наук. США , 28 (12): 537–543, Bibcode : 1942PNAS...28..537E , doi : 10.1073/pnas.28.12.537 , PMC 1078535 , PMID 16588584 .
Импальяццо, Рассел (1995), «Личный взгляд на сложность среднего случая», Proc. Десятая ежегодная конференция по теории сложности (SCT'95) , стр. 134–147, CiteSeerX 10.1.1.678.8930 , doi : 10.1109/SCT.1995.514853 , ISBN 978-0-8186-7052-7 , S2CID 2154064 .
Джексон, Аллин (2004), «Comme Appelé du Néant — Как будто вызванный из пустоты: Жизнь Александра Гротендика», Уведомления AMS , 51 (9, 10) (Части I и II ).
Мак Лейн, Сондерс (1997), «ПНАС тогда» (PDF) , Proc. Натл. акад. наук. США , 94 (12): 5983–5985, Bibcode : 1997PNAS...94.5983M , doi : 10.1073/pnas.94.12.5983 , PMC 33670 , PMID 9177152 .
Мак Лейн, Сондерс (1998), Категории для работающего математика , Springer .
Монастырский, Майкл (2001), «Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса» (PDF) , кан. Математика. Соц. Примечания , 33 (2 и 3) .
Пинто, Дж. Соуза (2004), Хоскинс, Р.Ф. (ред.), Бесконечно-малые методы математического анализа , Horwood Publishing, стр. 246, ISBN 978-1-898563-99-0 .
Пуанкаре, Анри (1913), Холстед, Брюс (редактор), «Основы науки» , The Science Press, стр. 435 .
Рота, Джан-Карло (1977), «Феноменология математической красоты», Synthese , 111 (2): 171–182, doi : 10.1023/A:1004930722234 , ISSN 0039-7857 , S2CID 44064821 .
Шафаревич, Игорь (1991), Кандалл, Г.А. (редактор), Алгебраическая геометрия , вып. IV, Спрингер .
Видийк, Фрик, изд. (2006), Семнадцать испытателей мира , Birkhäuser, ISBN. 978-3-540-30704-4 .

Библиография [ править ]

Энциклопедия математики

[1] Гольдфельд, Дориан. «Элементарное доказательство теоремы о простых числах: историческая перспектива» (PDF) . Колумбийский университет .

[2] Бойд, Стивен (2004). Выпуклая оптимизация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521833783 .

[3] Роу, Джон (1993), Элементарная геометрия , Оксфордские научные публикации, стр. 119, ISBN 978-0-19-853456-3

[4] Многочисленные примеры можно найти в (Mac Lane 1998 ), например, на стр. 100.

[1]

[2]

[3]

[4]

Философия математики [ править ]

неформальности Описательные ​ ​

Терминология доказательства ​ ​

Методы доказательства [ править ]

Разное [ править ]

Б [ править ]

С [ править ]

Д [ править ]

Ф [ править ]

Я [ править ]

М [ править ]

П [ править ]

С [ править ]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

неформальности Описательные

Терминология доказательства