Квадратный корень из 2

«Постоянная Пифагора» перенаправляется сюда. Не путать с числом Пифагора .

Квадратный корень из 2

равен длине гипотенузы равнобедренного прямоугольного Квадратный корень из 2 треугольника с длиной катета 1.
Представительства
десятичный	1.41421 35623 73095 0488...
Непрерывная дробь	$1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}$

Квадратный корень из 2 (приблизительно 1,4142) — это положительное действительное число , которое при умножении на себя или в квадрате равняется числу 2 . На математическом языке это можно записать как ${\sqrt {2}}$ или $2^{1/2}$. Это алгебраическое число и, следовательно, не трансцендентное число . Технически его следует называть главным квадратным корнем из 2, чтобы отличать его от отрицательного числа с тем же свойством.

Геометрически квадратный корень из 2 — это длина диагонали квадрата со сторонами в одну единицу длины ; это следует из теоремы Пифагора . Вероятно, это было первое известное число иррационально . Фракция 99/70 857 1,4142 (≈ ) иногда используется как хорошее рациональное приближение с достаточно малым знаменателем .

Последовательность A002193 в Электронной энциклопедии целочисленных последовательностей состоит из цифр в десятичном виде квадратного корня из 2, здесь усеченных до 65 десятичных знаков:

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

История

Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 с аннотациями. Помимо отображения квадратного корня из 2 в шестидесятеричной форме ( 1 24 51 10 ), табличка также дает пример, где одна сторона квадрата равна 30, а диагональ равна 42 25 35 . Шестидесятеричная цифра 30 также может обозначать 0 30 = 1/2 0 42 , и в этом случае 25 35 примерно равно 0,7071065.

Вавилонская о глиняная табличка YBC 7289 ( ок. 1800–1600 до н.э.) дает приблизительное представление ${\sqrt {2}}$ четырьмя шестидесятеричными цифрами, 1 24 51 10 , что с точностью до шести десятичных цифр, и является ближайшим возможным трехзначным шестидесятеричным представлением ${\sqrt {2}}$, что представляет собой погрешность всего –0,000042%:

$1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.$

Другое раннее приближение дано в древнеиндийских математических текстах « Сулбасутры» ( ок. 800–200 до н. э.) следующим образом: Увеличьте длину [стороны] на ее треть, а эту треть – на ее собственную четвертую за вычетом тридцать четвертой части. тот четвертый. То есть,

$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.$

Это приближение, отклоняющееся от действительного значения ${\sqrt {2}}$ примерно на +0,07%, является седьмым в последовательности все более точных приближений, основанных на последовательности чисел Пелля , которые могут быть получены из непрерывных дробей разложения ${\sqrt {2}}$. Несмотря на меньший знаменатель, оно лишь немного менее точно, чем вавилонское приближение.

Пифагорейцы открыли, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или, выражаясь современным языком, что квадратный корень из двух иррационален . Мало что известно с уверенностью о времени и обстоятельствах этого открытия, но часто упоминается имя Гиппаса Метапонтумского. Некоторое время пифагорейцы считали официальной тайной открытие того, что квадратный корень из двух иррационален, и, согласно легенде, Гиппас был убит за его разглашение, хотя в традиционной исторической практике это не имеет практически никаких существенных доказательств. Квадратный корень из двух иногда называют числом Пифагора или константой Пифагора , например, Conway & Guy (1996) .

Древнеримская архитектура

В древнеримской архитектуре Витрувий описывает использование техники квадратного корня из 2 или техники adquaratum . Он заключается в основном в геометрическом, а не арифметическом методе удвоения квадрата, при котором диагональ исходного квадрата равна стороне полученного квадрата. Витрувий приписывает эту идею Платону . Система использовалась для строительства тротуаров путем создания квадрата, касательного к углам исходного квадрата под углом 45 градусов. Пропорция также использовалась для проектирования атриумов, придавая им длину, равную диагонали, взятой из квадрата, стороны которого эквивалентны ширине предполагаемого атриума.

Десятичное значение

Алгоритмы вычислений

Дополнительная информация: Методы вычисления квадратных корней.

Существует множество алгоритмов аппроксимации. ${\sqrt {2}}$ как отношение целых чисел или как десятичное число. Наиболее распространенным алгоритмом для этого, который положен в основу многих компьютеров и калькуляторов, является вавилонский метод. для вычисления квадратных корней - пример метода Ньютона для вычисления корней произвольных функций. Это происходит следующим образом:

Сначала выберите предположение, $a_{0}>0$; значение предположения влияет только на то, сколько итераций потребуется для достижения аппроксимации определенной точности. Затем, используя это предположение, выполните следующие рекурсивные вычисления:

$a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.$

Каждая итерация улучшает аппроксимацию, примерно удваивая количество правильных цифр. Начиная с $a_{0}=1$, последующие итерации дают:

${\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\[3mu]a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\[3mu]a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\[3mu]a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\[3mu]&\qquad \vdots \end{alignedat}}$

приближения

Простое рациональное приближение 99/70 857 1,4142 (≈ Иногда используется ). Несмотря на то, что знаменатель равен всего 70, оно отличается от правильного значения менее чем на 1/10 000 +0,72 ок. ( × 10 ⁻⁴ ).

Следующие два лучших рациональных приближения: 140/99 . 1,414 (≈ 1414 ...) с немного меньшей ошибкой (приблизительно −0,72 × 10) ⁻⁴ ), и 239/169 × 012 (≈ −0,12 ) с ошибкой примерно 1,4142 . 10 ⁻⁴ .

Рациональное приближение квадратного корня из двух, полученное в результате четырех итераций вавилонского метода после начала с = ₀ 1 ( 665 857/470 832 ) слишком велик примерно на 1,6 × 10 ⁻¹² ; его квадрат ≈ 2.000 000 000 0045 .

Записи в вычислениях

В 1997 году стоимость ${\sqrt {2}}$ с точностью до 137 438 953 444 знаков после запятой был рассчитан командой Ясумаса Канада . В феврале 2006 года был установлен рекорд по подсчету ${\sqrt {2}}$ был затмлен использованием домашнего компьютера. Сигэру Кондо вычислил один триллион десятичных знаков в 2010 году. Другие математические константы , десятичные разложения которых были рассчитаны с такой же высокой точностью, включают π , e и золотое сечение . Целью таких вычислений является эмпирическая проверка того, являются ли такие числа нормальными .

Это таблица последних рекордов в вычислении цифр ${\sqrt {2}}$.

Дата	Имя	Количество цифр
5 января 2022 г.	Тициан Ханзельманн	10 000 000 001 000
28 июня 2016 г.	Рон Уоткинс	10 000 000 000 000
3 апреля 2016 г.	Рон Уоткинс	5 000 000 000 000
20 января 2016 г.	Рон Уоткинс	2 000 000 000 100
9 февраля 2012 г.	Александр Йи	2 000 000 000 050
22 марта 2010 г.	Сигэру Кондо	1 000 000 000 000

Доказательства иррациональности

бесконечным

Одним из доказательств иррациональности числа является следующее доказательство бесконечным спуском . Это также доказательство отрицания путем опровержения : оно доказывает утверждение « ${\sqrt {2}}$ не рационально», предполагая, что оно рационально, а затем выводя ложь.

1. Предположим, что ${\sqrt {2}}$ — рациональное число, означающее, что существует пара целых чисел, отношение которых точно равно ${\sqrt {2}}$.
2. Если два целых числа имеют общий делитель , его можно исключить с помощью алгоритма Евклида .
3. Затем ${\sqrt {2}}$ можно записать в виде неприводимой дроби ${\frac {a}{b}}$ такие, что a и b являются взаимно простыми целыми числами (не имеющими общего делителя), что дополнительно означает, что хотя бы одно из a или b должно быть нечетным .
4. Отсюда следует, что ${\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2$ и $a^{2}=2b^{2}$.   (  ( а / б ) ^н = а ^н / б ^н ) ( а ² и б ² являются целыми числами)
5. образом, Таким ² четно , поскольку оно равно 2 b ² . ( 2 б ² обязательно четно, поскольку оно в 2 раза больше другого целого числа.)
6. Отсюда следует, что a должно быть четным (поскольку квадраты нечетных целых чисел никогда не бывают четными).
7. Поскольку a четно, существует целое число k , удовлетворяющее условиям $a=2k$.
8. Подставив 2 k из шага 7 на a во второе уравнение шага 4: $2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$, что эквивалентно $b^{2}=2k^{2}$.
9. Потому что 2 тыс. ² делится на два и, следовательно, четно, и поскольку $2k^{2}=b^{2}$, отсюда следует, что b ² также четно, что означает, что b четно.
10. На шагах 5 и 8 оба a и b четные, что противоречит шагу 3 (что ${\frac {a}{b}}$ является неприводимым).

Поскольку мы получили неверный вывод, предположение (1) о том, что ${\sqrt {2}}$ является рациональным числом, должно быть ложным. Это означает, что ${\sqrt {2}}$ не является рациональным числом; то есть, ${\sqrt {2}}$ иррационально.

На это доказательство намекнул Аристотель в своей Analytica Priora , §I.23. Впервые оно появилось как полное доказательство в Евклида » « Началах , как предложение 117 книги X. Однако с начала 19 века историки согласились, что это доказательство является интерполяцией и не принадлежит Евклиду.

Доказательство уникальной факторизацией

Как и при доказательстве методом бесконечного спуска, получаем $a^{2}=2b^{2}$. Будучи одной и той же величиной, каждая сторона имеет одинаковую простую факторизацию согласно фундаментальной теореме арифметики , и, в частности, множитель 2 должен встречаться одинаковое количество раз. Однако множитель 2 справа появляется нечетное количество раз, а слева — четное количество раз — противоречие.

теоремы о

Иррациональность ${\sqrt {2}}$ также следует из теоремы о рациональном корне что рациональный корень многочлена , которая утверждает , , если он существует, должен быть частным множителем постоянного члена и множителем старшего коэффициента . В случае $p(x)=x^{2}-2$, единственными возможными рациональными корнями являются $\pm 1$ и $\pm 2$. Как ${\sqrt {2}}$ не равен $\pm 1$ или $\pm 2$, отсюда следует, что ${\sqrt {2}}$ иррационально. В этом приложении также используется теорема о целочисленном корне, более сильная версия теоремы о рациональном корне для случая, когда $p(x)$ – монический многочлен с целыми коэффициентами ; для такого многочлена все корни обязательно являются целыми числами (что ${\sqrt {2}}$ нет, поскольку 2 не является точным квадратом) или иррационально.

Теорему о рациональном корне (или теорему о целочисленном корне) можно использовать, чтобы показать, что любой квадратный корень из любого натурального числа , которое не является точным квадратом, иррационален. Другие доказательства того, что квадратный корень из любого неквадратного натурального числа иррационален, см. в разделе «Квадратичное иррациональное число или бесконечное спуск» .

Геометрическое доказательство

доказательство Стэнли Тенненбаума иррациональности √ Рисунок 1. Геометрическое 2

Простое доказательство приписывают Стэнли Тенненбауму , когда он был студентом в начале 1950-х годов. соответственно Даны два квадрата с целыми сторонами a и b , один из которых в два раза превышает площадь другого, поместите две копии меньшего квадрата в больший, как показано на рисунке 1. Область перекрытия квадрата в середине ( $(2b-a)^{2}$) должно равняться сумме двух непокрытых квадратов ( $2(a-b)^{2}$). Однако эти квадраты на диагонали имеют целые положительные стороны, которые меньше исходных квадратов. Повторяя этот процесс, получим сколь угодно маленькие квадраты, один из которых в два раза больше площади другого, но оба имеют целые положительные стороны, что невозможно, поскольку положительные целые числа не могут быть меньше 1.

Рисунок 2. Геометрическое доказательство Тома Апостола иррациональности √ 2

Том М. Апостол выдвинул еще один аргумент геометрического доведения до абсурда, показывающий, что ${\sqrt {2}}$ иррационально. Это также пример доказательства путем бесконечного спуска. Он использует классический компас и линейку , доказывая теорему методом, аналогичным тому, который использовали древнегреческие геометры. По сути, это то же самое алгебраическое доказательство, что и в предыдущем абзаце, но рассмотренное с геометрической точки зрения по-другому.

Пусть △ ABC — прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы m и катетами n, как показано на рисунке 2. По теореме Пифагора , ${\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}$. Предположим, что m и n — целые числа. Пусть m : n будет соотношением, заданным в самых низких выражениях .

Нарисуйте дуги BD и CE с A. центром Присоединяйтесь к ДЭ . Отсюда следует, что AB = AD , AC = AE и ∠ BAC и ∠ DAE совпадают. Следовательно треугольники ABC и ADE равны по SAS , .

Поскольку ∠ EBF — прямой угол, а ∠ BEF — половина прямого угла, △ BEF — также прямоугольный равнобедренный треугольник. Следовательно, из BE = m − n следует, что BF = m − n . По симметрии DF = m − n и △ FDC также является прямоугольным равнобедренным треугольником. Отсюда также следует, что FC знак равно п - ( м - п ) знак равно 2 п - м .

Следовательно, существует еще меньший прямоугольный равнобедренный треугольник с длиной гипотенузы 2 n − m и катетами m − n . Эти значения представляют собой целые числа, даже меньшие, чем m и n , и в том же соотношении, что противоречит гипотезе о том, что m : n находится в самом низком выражении. Следовательно, m и n не могут быть одновременно целыми числами; следовательно, ${\sqrt {2}}$ иррационально.

Конструктивное доказательство

Хотя доказательства путем бесконечного спуска конструктивно действительны, когда «иррациональное» определяется как означающее «нерациональное», мы можем получить конструктивно более сильное утверждение, используя положительное определение «иррационального» как «количественно отдельного от всякого рационального». Пусть a и b — целые положительные числа такие, что 1< a / b <3/2 (так как 1<2<9/4 удовлетворяет этим границам). Сейчас 2 б ² и ​ ² не может быть равным, так как первый имеет нечетное число множителей 2, а второй — четное число множителей 2. Таким образом, | 2 б ² − а ² | ≥ 1 . Умножение абсолютной разницы | √ 2 − а / б | по б ² ( √ 2 + a / b ) в числителе и знаменателе получим

$\left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},$

последнее неравенство верно, поскольку предполагается, что 1< a / b <3/2 , что дает a / b + √ 2 ≤ 3 (иначе количественную раздельность можно установить тривиально). Это дает нижнюю границу 1/3 ​ ​ б ² за разницу | √ 2 − а / б | , дающий прямое доказательство иррациональности в его конструктивно более сильной форме, не опирающийся на закон исключенного третьего ; см. Эрретт Бишоп (1985, стр. 18). Это доказательство конструктивно демонстрирует явное несоответствие между ${\sqrt {2}}$ и любое рациональное.

Доказательство тройками Пифагора

В этом доказательстве используется следующее свойство примитивных пифагоровых троек :

Если a , b и c — взаимно простые положительные целые числа такие, что a ² + б ² = с ² , то c никогда не бывает четным.

Эту лемму можно использовать, чтобы показать, что из двух одинаковых идеальных квадратов невозможно сложить еще один совершенный квадрат.

Предположим противное, что ${\sqrt {2}}$ является рациональным. Поэтому,

${\sqrt {2}}={a \over b}$

где $a,b\in \mathbb {Z}$ и $\gcd(a,b)=1$

Возведя в квадрат обе стороны,

$2={a^{2} \over b^{2}}$

$2b^{2}=a^{2}$

$b^{2}+b^{2}=a^{2}$

Здесь (b, b, a) — примитивная пифагорова тройка, а по лемме a никогда не бывает четной. Однако это противоречит уравнению 2 b ² = а ² откуда следует, что a должно быть четным.

Мультипликативное обратное

Мультипликативный обратный (обратный) квадратный корень из двух (т. е. квадратный корень из 1/2 — константа широко используемая . )

${\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=$ 0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 47 ... (последовательность A010503 в OEIS )

Половина ${\sqrt {2}}$, также обратная величина ${\sqrt {2}}$, является общей величиной в геометрии и тригонометрии , поскольку единичный вектор , образующий угол 45 ° с осями в плоскости, имеет координаты

$\left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.$

Это число удовлетворяет

${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.$

Свойства

Размер угла и площадь сектора одинаковы, если радиус конуса равен √ 2 . Эта диаграмма иллюстрирует круговые и гиперболические функции, основанные на площадях секторов u .

Одно интересное свойство ${\sqrt {2}}$ является

$\!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1$

с

$\left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.$

Это связано со свойством серебряных соотношений .

${\sqrt {2}}$ также может быть выражено через копии мнимой единицы i, используя только квадратный корень и арифметические операции , если символ квадратного корня интерпретируется подходящим образом для комплексных чисел i и − i :

${\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}$

${\sqrt {2}}$ также является единственным действительным числом, отличным от 1, бесконечная тетрата которого (т. е. бесконечная экспоненциальная башня) равна его квадрату. Другими словами: если для c > 1 , x ₁ = c и x _{n +1} = c ^{х _н} для n > 1 предел n x n _→ при ) ∞ будет называться (если этот предел существует f ( c ) . Затем ${\sqrt {2}}$ — единственное число c > 1, для которого f ( c ) = c ² . Или символически:

${\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.$

${\sqrt {2}}$ появляется в формуле Вьетнама для π ,

${\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ,$

что связано с формулой

$\pi =\lim _{m\to \infty }2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}} _{m{\text{ square roots}}}\,.$

Похожи по внешнему виду, но с конечным числом терминов. ${\sqrt {2}}$ появляется в различных тригонометрических константах :

${\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}$

Неизвестно, является ли ${\sqrt {2}}$ — нормальное число , что является более сильным свойством, чем иррациональность, но статистический анализ его двоичного разложения согласуется с гипотезой о том, что основание двойки является нормальным .

Представления

Серия и продукт

Идентичность , потому что π / 4 = грех π / 4 = 1 / √ 2 , наряду с представлениями бесконечного произведения для синуса и косинуса , приводит к таким произведениям, как

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots$

и

${\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots$

или эквивалентно,

${\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .$

Число также можно выразить, взяв ряд Тейлора от тригонометрической функции . Например, ряд для cos π / 4 дает

${\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.$

Ряд Тейлора √ 1 + x с x = 1 и использованием двойного факториала n !! дает

${\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .$

Сходимость преобразования этого ряда можно ускорить с помощью Эйлера , производя

${\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .$

Неизвестно, является ли ${\sqrt {2}}$ может быть представлен формулой типа BBP . Однако формулы типа BBP известны для π √ 2 и √ 2   ln (1+ √ 2 ) .

Число может быть представлено бесконечной серией египетских дробей со знаменателями, определяемыми цифрами 2. ^н -й член Фибоначчи типа рекуррентного отношения a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n − 2), a (0) = 0, a (1) = 6.

${\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)$

Непрерывная дробь

Квадратный корень из 2 и приближения подходящими дробями цепных дробей

Квадратный корень из двух имеет следующее представление цепной дроби :

${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}.$

Конвергенторы ​ p / q, образованные путем усечения этого представления, образуют последовательность дробей, которые с возрастающей точностью приближают квадратный корень из двух и описываются числами Пелла (т. е. p ² − 2 q ² = ±1 ). Первые конвергенты: 1 / 1 , 3 / 2 , 7 / 5 , 17 / 12 , 41 / 29 , 99 / 70 , 239 / 169 , 577/408 и следующие сходящиеся п / к это п + 2 д / п + д . Конвергентный p / q отличается от ${\sqrt {2}}$ почти точно 1 / 2 √ 2 q ² , что следует из:

$\left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}$

Вложенный квадрат

Следующие вложенные квадратные выражения сходятся к ${\textstyle {\sqrt {2}}}$:

${\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}$

Приложения

Размер бумаги

Серия размеров бумаги

В 1786 году немецкий профессор физики Георг Кристоф Лихтенберг. обнаружил, что любой лист бумаги, длинный край которого ${\sqrt {2}}$ раз длиннее, чем его короткий край, можно было сложить пополам и выровнять по более короткой стороне, чтобы получить лист точно таких же пропорций, как и оригинал. Такое соотношение длин более длинной стороны к более короткой гарантирует, что разрезание листа пополам вдоль линии приведет к тому, что меньшие листы будут иметь то же (приблизительное) соотношение, что и исходный лист. Германия стандартизировала размеры бумаги Когда в начале 20-го века «А» . , они использовали соотношение Лихтенберга для создания серии размеров бумаги Сегодня (приблизительное) соотношение сторон форматов бумаги по стандарту ISO 216 (A4, A0 и т. д.) составляет 1: ${\sqrt {2}}$.

Доказательство:
Позволять $S=$ более короткая длина и $L=$ большая длина сторон листа бумаги, с

$R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}$ согласно требованиям ISO 216.

Позволять $R'={\frac {L'}{S'}}$ - аналогичное соотношение половины листа, тогда

$R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R$.

Физические науки

Есть несколько интересных свойств, связанных с квадратным корнем из 2 в физических науках :

• Квадратный корень из двух — это соотношение частот интервала тритонового в двенадцатитоновой музыке равной темперации .
• Квадратный корень из двух образует соотношение диафрагм в фотообъективах, что, в свою очередь, означает, что соотношение площадей между двумя последовательными диафрагмами равно 2.
• Небесная широта (склонение) Солнца в течение астрономических точек поперечной четверти дня планеты равна наклону оси планеты, разделенному на ${\sqrt {2}}$.

Расстояния между вершинами двойного единичного куба представляют собой квадратные корни первых шести натуральных чисел , включая квадратный корень из 2 (√7 невозможно из-за теоремы Лежандра о трёх квадратах ).

• В мозгу есть решетчатые клетки, открытые в 2005 году группой под руководством Мэй-Бритт и Эдварда Мозера. «Ячейки сетки были обнаружены в области коры головного мозга, расположенной рядом с гиппокампом [...] На одном конце этой области коры размер ячейки мал, а на другом очень велик. не оставлено на волю случая, а увеличивается на квадратный корень из двух от одной области к другой».

См. также

• Список математических констант
• Квадратный корень из 3 , √ 3
• Квадратный корень из 5 , √ 5
• Константа Гельфонда–Шнайдера , 2 ^{√ 2}
• Коэффициент серебра , 1 + √ 2

Ссылки

• Апостол, Том М. (2000), «Иррациональность квадратного корня из двух – геометрическое доказательство», American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi : 10.2307/2695741 , JSTOR   2695741 .
• Аристотель (2007), Analytica Priora , eBooks@Adelaide
• Бишоп, Эрретт (1985), Шизофрения в современной математике. Эрретт Бишоп: размышления о нем и его исследованиях (Сан-Диего, Калифорния, 1983), 1–32, Contemp. Математика. 39, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд.
• Фланнери, Дэвид (2005), Квадратный корень из двух , Springer-Verlag, ISBN  0-387-20220-Х .
• Фаулер, Дэвид ; Робсон, Элеонора (1998), «Приближения квадратного корня в старовавилонской математике: YBC 7289 в контексте», Historia Mathematica , 25 (4): 366–378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .
• Хорошо, Эй Джей ; Говер, Теннесси (1967), «Обобщенный последовательный тест и двоичное разложение ${\sqrt {2}}$", Журнал Королевского статистического общества, серия A , 130 (1): 102–107, doi : 10.2307/2344040 , JSTOR   2344040 .
• Хендерсон, Дэвид В. (2000), «Квадратные корни в Сулба-сутрах», в Горини, Кэтрин А. (редактор), «Геометрия в работе: статьи по прикладной геометрии» , Cambridge University Press, стр. 39–45, ISBN  978-0-88385-164-7 .

Внешние ссылки

• Гурдон, X.; Себах, П. (2001), «Константа Пифагора: ${\sqrt {2}}$", Числа, константы и вычисления .
• Квадратный корень из двух до 5 миллионов цифр Джерри Боннелл и Роберт Дж. Немирофф . Май 1994 года.
• Квадратный корень из 2 иррационален , сборник доказательств
• Грайм, Джеймс; Боули, Роджер. «Квадратный корень ${\sqrt {2}}$ из двух» . Числофил . Брэйди Харан .
• √ 2 Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр √ 2 , π и e