постоянная Каэна

В математике определяется константа Каэна как значение бесконечного ряда единичных дробей с чередующимися знаками:

$C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.643410546288...$ (последовательность A118227 в OEIS )

Здесь $(s_{i})_{i\geq 0}$ обозначает последовательность Сильвестра , которая рекурсивно определяется формулой

${\begin{array}{l}s_{0}~~~=2;\\s_{i+1}=1+\prod _{j=0}^{i}s_{j}{\text{ for }}i\geq 0.\end{array}}$

Объединение этих дробей в пары приводит к альтернативному разложению константы Каэна как ряда положительных единичных дробей, образованных из членов в четных позициях последовательности Сильвестра. Эта серия констант Каэна образует его жадное египетское расширение :

$C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots$

Эта константа названа в честь Эжена Каэна (также известного как интеграл Каэна – Меллина ), который первым ввел ее и доказал ее иррациональность.

Продолжение расширения фракции

Большинство встречающихся в природе математические константы не имеют известных простых закономерностей в разложении в непрерывные дроби. Тем не менее, полное в цепную дробь разложение константы Каэна $C$ известно: это $$C=\left[a_{0}^{2};a_{1}^{2},a_{2}^{2},a_{3}^{2},a_{4}^{2},\ldots \right]=[0;1,1,1,4,9,196,16641,\ldots ]$$ где последовательность коэффициентов

0, 1, 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... (последовательность A006279 в OEIS )

определяется рекуррентным соотношением $$a_{0}=0,~a_{1}=1,~a_{n+2}=a_{n}\left(1+a_{n}a_{n+1}\right)~\forall ~n\in \mathbb {Z} _{\geqslant 0}.$$ Все частичные частные этого разложения представляют собой квадраты целых чисел. Дэвисон и Шалит использовали разложение непрерывной дроби, чтобы доказать, что $C$ является трансцендентным .

В качестве альтернативы, можно выразить частные частные в разложении константы Каэна в непрерывную дробь через члены последовательности Сильвестра : Чтобы убедиться в этом, мы докажем индукцией по $n\geq 1$ что $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$. Действительно, у нас есть $1+a_{1}a_{2}=2=s_{0}$, и если $1+a_{n}a_{n+1}=s_{n-1}$ держится для некоторых $n\geq 1$, затем

$1+a_{n+1}a_{n+2}=1+a_{n+1}\cdot a_{n}(1+a_{n}a_{n+1})=1+a_{n}a_{n+1}+(a_{n}a_{n+1})^{2}=s_{n-1}+(s_{n-1}-1)^{2}=s_{n-1}^{2}-s_{n-1}+1=s_{n},$где мы использовали рекурсию для $(a_{n})_{n\geq 0}$ на первом этапе соответственно рекурсия для $(s_{n})_{n\geq 0}$ на последнем этапе. Как следствие, $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$ держится для каждого $n\geq 1$, откуда легко заключить, что

$C=[0;1,1,1,s_{0}^{2},s_{1}^{2},(s_{0}s_{2})^{2},(s_{1}s_{3})^{2},(s_{0}s_{2}s_{4})^{2},\ldots ]$.

Наилучший порядок приближения

постоянная Каэна $C$ имеет порядок наилучшего приближения $q^{-3}$. Это означает, что существуют константы $K_{1},K_{2}>0$ такая, что неравенство $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{1}}{q^{3}}}$ имеет бесконечно много решений $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$, а неравенство $0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {K_{2}}{q^{3}}}$ имеет не более конечного числа решений $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$. Это подразумевает (но не эквивалентно) тот факт, что $C$ имеет меру иррациональности 3, которую впервые наблюдали Дюверни и Сиокава (2020) .

Для доказательства обозначим через $(p_{n}/q_{n})_{n\geq 0}$ последовательность подходящих к константе Каэна (т.е. $q_{n-1}=a_{n}{\text{ for every }}n\geq 1$).

Но теперь это следует из $a_{n+2}=a_{n}\cdot s_{n-1}$и рекурсия для $(s_{n})_{n\geq 0}$ что

${\frac {a_{n+2}}{a_{n+1}^{2}}}={\frac {a_{n}\cdot s_{n-1}}{a_{n-1}^{2}\cdot s_{n-2}^{2}}}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}\cdot {\frac {s_{n-2}^{2}-s_{n-2}+1}{s_{n-1}^{2}}}={\frac {a_{n}}{a_{n-1}^{2}}}\cdot {\Big (}1-{\frac {1}{s_{n-1}}}+{\frac {1}{s_{n-1}^{2}}}{\Big )}$

для каждого $n\geq 1$. Как следствие, пределы

$\alpha :=\lim _{n\to \infty }{\frac {q_{2n+1}}{q_{2n}^{2}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\Big (}1-{\frac {1}{s_{2n}}}+{\frac {1}{s_{2n}^{2}}}{\Big )}$ и $\beta :=\lim _{n\to \infty }{\frac {q_{2n+2}}{q_{2n+1}^{2}}}=2\cdot \prod _{n=0}^{\infty }{\Big (}1-{\frac {1}{s_{2n+1}}}+{\frac {1}{s_{2n+1}^{2}}}{\Big )}$

(напомним, что $s_{0}=2$) оба существуют в силу основных свойств бесконечных произведений, что обусловлено абсолютной сходимостью $\sum _{n=0}^{\infty }{\Big |}{\frac {1}{s_{n}}}-{\frac {1}{s_{n}^{2}}}{\Big |}$. Численно это можно проверить $0<\alpha <1<\beta <2$. Таким образом, известное неравенство

${\frac {1}{q_{n}(q_{n}+q_{n+1})}}\leq {\Big |}C-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}{\Big |}\leq {\frac {1}{q_{n}q_{n+1}}}$

урожайность

${\Big |}C-{\frac {p_{2n+1}}{q_{2n+1}}}{\Big |}\leq {\frac {1}{q_{2n+1}q_{2n+2}}}={\frac {1}{q_{2n+1}^{3}\cdot {\frac {q_{2n+2}}{q_{2n+1}^{2}}}}}<{\frac {1}{q_{2n+1}^{3}}}$ и ${\Big |}C-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}{\Big |}\geq {\frac {1}{q_{n}(q_{n}+q_{n+1})}}>{\frac {1}{q_{n}(q_{n}+2q_{n}^{2})}}\geq {\frac {1}{3q_{n}^{3}}}$

для всех достаточно больших $n$. Поэтому $C$ имеет порядок наилучшего приближения 3 (при этом $K_{1}=1{\text{ and }}K_{2}=1/3$), где мы используем, что любое решение $(p,q)\in \mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ к

$0<{\Big |}C-{\frac {p}{q}}{\Big |}<{\frac {1}{3q^{3}}}$

обязательно является сходящейся к постоянной Каэна.

Ссылки

• Каэн, Эжен (1891), «Заметка о развитии числовых величин, которая представляет некоторую аналогию с развитием цепных дробей», Nouvelles Annales de Mathématiques , 10 : 508–514.
• Дэвисон, Дж. Лес; Шалит, Джеффри О. (1991), «Непрерывные дроби для некоторых чередующихся рядов», Monthly Books for Mathematics , 111 (2): 119–126, doi : 10.1007/BF01332350 , S2CID   120003890
• Борвейн, Джонатан; ван дер Портен, Альф; Шалит, Джеффри ; Зудилин, Вадим (2014), Бесконечные дроби: введение в непрерывные дроби , Серия лекций Австралийского математического общества, том. 23, Издательство Кембриджского университета, номер домена : 10.1017/CBO9780511902659 , ISBN.  978-0-521-18649-0 , МР   3468515
• Дюверни, Дэниел; Сиокава, Иеката (2020), «Показатели иррациональности чисел, связанных с константой Каэна», Monthly Books for Mathematics , 191 (1): 53–76, doi : 10.1007/s00605-019-01335-0 , MR   4050109 , S2CID   209968916

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Константа Каэна» , MathWorld
• «Константа Каэна до 4000 цифр» , Инвертор Плуффа , Университет Квебека в Монреале , заархивировано из оригинала 17 марта 2011 г. , получено 19 марта 2011 г.
• «Константа Каэна (1 000 000 цифр)» , коммуникационная группа Darkside , получено 25 декабря 2017 г.