Число Дотти

В математике число Дотти — это константа , которая является единственным вещественным корнем уравнения.

\cos x=x

,

где аргумент $\cos$ находится в радианах .

Десятичное разложение числа Дотти: $0.739085133215160641655312087673873404...$ . ^[1]

С $\cos(x)-x$ убывает , а ее производная отлична от нуля при $\cos(x)-x=0$ , оно пересекает ноль только в одной точке. Это означает, что уравнение $\cos(x)=x$ имеет только одно реальное решение. Это единственная вещественная неподвижная точка функции косинуса и нетривиальный пример универсальной притягивающей неподвижной точки. Это также трансцендентное число согласно теореме Линдеманна-Вейерштрасса . ^[2] Обобщенный случай $\cos z=z$ для комплексной переменной $z$ имеет бесконечно много корней, но в отличие от числа Дотти не притягивает неподвижные точки.

Решение квадрисекции круга на четыре части одной площади с хордами, выходящими из одной точки, можно выразить через число Дотти.

Используя ряд Тейлора , обратный $f(x)=\cos(x)-x$ в ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ (или, что то же самое, теорема обращения Лагранжа ), число Дотти можно выразить как бесконечный ряд ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}+\sum _{n\,\mathrm {odd} }a_{n}\pi ^{n}}$ где каждый $a_{n}$ - рациональное число, определенное для нечетного n как ^[3]^[4]^[5]^{[номер 1]}

{\begin{aligned}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi }{2}}}{\frac {\partial ^{n-1}}{\partial m^{n-1}}}{\left({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\right)^{-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac {43}{165150720}},\ldots \end{aligned}}

Название константы происходит от профессора французского языка по имени Дотти, которая наблюдала число, неоднократно нажимая кнопку косинуса на своем калькуляторе. ^[3]

Если калькулятор настроен на измерение углов в градусах , последовательность чисел вместо этого будет сходиться к $0.999847...$ , ^[6] корень $\cos \left({\frac {\pi }{180}}x\right)=x$ .

Число Дотти, для которого точное разложение в ряд можно получить с помощью формулы Фаа ди Бруно, имеет интересные связи с задачами Кеплера и окружностью Бертрана. ^[7]

Закрытая форма [ править ]

Число Дотти можно выразить как

D={\sqrt {1-\left(2I_{\frac {1}{2}}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}},

где $I^{-1}$ является обратной регуляризованной бета-функцией . Это значение можно получить с помощью уравнения Кеплера вместе с другими эквивалентными замкнутыми формами. ^[8]^[7]

В таблицах Microsoft Excel и LibreOffice Calc число Дотти может быть выражено в закрытой форме как SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2,1/2,3/2)-1)^2). В Mathematica системе компьютерной алгебры число Дотти равно Sqrt[1 - (2 InverseBetaRegularized[1/2, 1/2, 3/2] - 1)^2].

Интегральные представления [ править ]

Число Дотти можно представить как

D={\sqrt {1-\left(1-\left(\int _{0}^{\infty }{\frac {32(z-\sinh(z))^{2}+24\pi ^{2}}{\left(4(z-\sinh(z))^{2}+3\pi ^{2}\right)^{2}+16\pi ^{2}(z-\sinh(z))^{2}}}\,dz\right)^{-1}\right)^{2}}}

. ^[9]

Примечания [ править ]

^ Каплан не дает явной формулы для членов ряда, что тривиально следует из теоремы обращения Лагранжа .

Ссылки [ править ]

^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003957» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Эрик В. Вайсштейн . «Номер Дотти» .
^ Перейти обратно: ^а ^б Каплан, Сэмюэл Р. (февраль 2007 г.). «Число Дотти» (PDF) . Журнал «Математика» . 80:73 . дои : 10.1080/0025570X.2007.11953455 . S2CID 125871044 . Проверено 29 ноября 2017 г. .
^ «OEIS A302977 Числители рационального множителя ряда Каплана для числа Дотти» . oeis.org . Проверено 26 мая 2019 г.
^ «А306254 - ОЭИС» . oeis.org . Проверено 22 июля 2019 г.
^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A330119» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
^ Перейти обратно: ^а ^б Боль, Жан-Кристоф (2023). «Точное разложение в ряд числа Дотти». arXiv : 2303.17962 .
^ Гайдаш, Тима (23 февраля 2022 г.). "Почему Dottie$=2\sqrt{I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)-I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)^2} = \sin^{-1}\big(1-2I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)\big)$?" . Математический обмен стеками . Проверено 11 августа 2023 г.
^ «Интегральное представление числа Дотти» . Математический обмен стеками .

Внешние ссылки [ править ]

Миллер, TH (февраль 1890 г.). «О числовых значениях корней уравнения cosx = x» . Труды Эдинбургского математического общества . 9 : 80–83. дои : 10.1017/S0013091500030868 .
Салов, Валерий (2012). «Неизбежное число Дотти. Итералы косинуса и синуса». arXiv : 1212.1027 .
Азарян, Мохаммад К. (2008). «О НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ФУНКЦИИ И НЕПОДВИЖНЫХ ТОЧКАХ ЕЕ СОСТАВНЫХ ФУНКЦИЙ» (PDF) . Международный журнал чистой и прикладной математики .

[6] Каплан не дает явной формулы для членов ряда, что тривиально следует из теоремы обращения Лагранжа .

[1] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A003957» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[2] Эрик В. Вайсштейн . «Номер Дотти» .

[Kaplan-3] Перейти обратно: ^а ^б Каплан, Сэмюэл Р. (февраль 2007 г.). «Число Дотти» (PDF) . Журнал «Математика» . 80:73 . дои : 10.1080/0025570X.2007.11953455 . S2CID 125871044 . Проверено 29 ноября 2017 г. .

[4] «OEIS A302977 Числители рационального множителя ряда Каплана для числа Дотти» . oeis.org . Проверено 26 мая 2019 г.

[5] «А306254 - ОЭИС» . oeis.org . Проверено 22 июля 2019 г.

[7] Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A330119» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

[pain2023-8] Перейти обратно: ^а ^б Боль, Жан-Кристоф (2023). «Точное разложение в ряд числа Дотти». arXiv : 2303.17962 .

[9] Гайдаш, Тима (23 февраля 2022 г.). "Почему Dottie$=2\sqrt{I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)-I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)^2} = \sin^{-1}\big(1-2I^{-1}_\frac12(\frac 12,\frac 32)\big)$?" . Математический обмен стеками . Проверено 11 августа 2023 г.

[10] «Интегральное представление числа Дотти» . Математический обмен стеками .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[номер 1]

[6]

[7]

[8]

[9]