Mathematical function
Контурный график бета-функции В математике бета -функция , также называемая интегралом Эйлера первого рода, представляет собой специальную функцию , тесно связанную с гамма-функцией и биномиальными коэффициентами . Он определяется интегралом
B
(
z
1
,
z
2
)
=
∫
0
1
t
z
1
−
1
(
1
−
t
)
z
2
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt}
для комплексных чисел ввода
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
ℜ
(
z
1
)
,
ℜ
(
z
2
)
>
0
{\displaystyle \Re (z_{1}),\Re (z_{2})>0}
Бета-функция изучалась Леонардом Эйлером и Адриеном-Мари Лежандром , а свое имя ей дал Жак Бине ; его символ В — греческая заглавная бета .
Бета-функция симметрична , это означает, что
B
(
z
1
,
z
2
)
=
B
(
z
2
,
z
1
)
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{2},z_{1})}
z
1
{\displaystyle z_{1}}
z
2
{\displaystyle z_{2}}
[1]
Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функцией : [1]
B
(
z
1
,
z
2
)
=
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}
Доказательство приведено ниже в § Связь с гамма-функцией .
Бета-функция также тесно связана с биномиальными коэффициентами . Когда m (или n по симметрии) является положительным целым числом, из определения гамма-функции Γ следует , что [1]
B
(
m
,
n
)
=
(
m
−
1
)
!
(
n
−
1
)
!
(
m
+
n
−
1
)
!
=
m
+
n
m
n
/
(
m
+
n
m
)
{\displaystyle \mathrm {B} (m,n)={\frac {(m-1)!\,(n-1)!}{(m+n-1)!}}={\frac {m+n}{mn}}{\Bigg /}{\binom {m+n}{m}}}
Связь с гамма-функцией [ править ] Простой вывод соотношения
B
(
z
1
,
z
2
)
=
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}}
Эмиля Артина « книге Гамма-функция» , стр. 18–19. [2]
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
=
∫
u
=
0
∞
e
−
u
u
z
1
−
1
d
u
⋅
∫
v
=
0
∞
e
−
v
v
z
2
−
1
d
v
=
∫
v
=
0
∞
∫
u
=
0
∞
e
−
u
−
v
u
z
1
−
1
v
z
2
−
1
d
u
d
v
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt]&=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{z_{1}-1}v^{z_{2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}
Заменяя переменные на u = st v = s (1 − t ) u + v = s u / (u+v) = t , мы получаем, что пределы интегрирования для s равны от 0 до ∞, а пределы интегрирование для t от 0 до 1. Таким образом, получается
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
=
∫
s
=
0
∞
∫
t
=
0
1
e
−
s
(
s
t
)
z
1
−
1
(
s
(
1
−
t
)
)
z
2
−
1
s
d
t
d
s
=
∫
s
=
0
∞
e
−
s
s
z
1
+
z
2
−
1
d
s
⋅
∫
t
=
0
1
t
z
1
−
1
(
1
−
t
)
z
2
−
1
d
t
=
Γ
(
z
1
+
z
2
)
⋅
B
(
z
1
,
z
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]&=\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}
Разделив обе части на
Γ
(
z
1
+
z
2
)
{\displaystyle \Gamma (z_{1}+z_{2})}
Указанное тождество можно рассматривать как частный случай тождества интеграла свертки . принимая
f
(
u
)
:=
e
−
u
u
z
1
−
1
1
R
+
g
(
u
)
:=
e
−
u
u
z
2
−
1
1
R
+
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(u)&:=e^{-u}u^{z_{1}-1}1_{\mathbb {R} _{+}}\\g(u)&:=e^{-u}u^{z_{2}-1}1_{\mathbb {R} _{+}},\end{aligned}}}
надо:
Γ
(
z
1
)
Γ
(
z
2
)
=
∫
R
f
(
u
)
d
u
⋅
∫
R
g
(
u
)
d
u
=
∫
R
(
f
∗
g
)
(
u
)
d
u
=
B
(
z
1
,
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
.
{\displaystyle \Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})=\int _{\mathbb {R} }f(u)\,du\cdot \int _{\mathbb {R} }g(u)\,du=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)\,du=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\,\Gamma (z_{1}+z_{2}).}
Дифференцирование бета-функции [ править ] У нас есть
∂
∂
z
1
B
(
z
1
,
z
2
)
=
B
(
z
1
,
z
2
)
(
Γ
′
(
z
1
)
Γ
(
z
1
)
−
Γ
′
(
z
1
+
z
2
)
Γ
(
z
1
+
z
2
)
)
=
B
(
z
1
,
z
2
)
(
ψ
(
z
1
)
−
ψ
(
z
1
+
z
2
)
)
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2})\left({\frac {\Gamma '(z_{1})}{\Gamma (z_{1})}}-{\frac {\Gamma '(z_{1}+z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}\right)=\mathrm {B} (z_{1},z_{2}){\big (}\psi (z_{1})-\psi (z_{1}+z_{2}){\big )},}
∂
∂
z
m
B
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
=
B
(
z
1
,
z
2
,
…
,
z
n
)
(
ψ
(
z
m
)
−
ψ
(
∑
k
=
1
n
z
k
)
)
,
1
≤
m
≤
n
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{m}}}\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})=\mathrm {B} (z_{1},z_{2},\dots ,z_{n})\left(\psi (z_{m})-\psi \left(\sum _{k=1}^{n}z_{k}\right)\right),\quad 1\leq m\leq n,}
где
ψ
(
z
)
{\displaystyle \psi (z)}
дигамма-функцию .
Приближение [ править ] Приближение Стирлинга дает асимптотическую формулу
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
/
2
y
y
−
1
/
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
/
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-1/2}y^{y-1/2}}{({x+y})^{x+y-1/2}}}}
для больших x и больших y .
С другой стороны, если x велико, а y фиксировано, то
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
Интеграл, определяющий бета-функцию, можно переписать разными способами, включая следующие:
B
(
z
1
,
z
2
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
z
1
−
1
(
cos
θ
)
2
z
2
−
1
d
θ
,
=
∫
0
∞
t
z
1
−
1
(
1
+
t
)
z
1
+
z
2
d
t
,
=
n
∫
0
1
t
n
z
1
−
1
(
1
−
t
n
)
z
2
−
1
d
t
,
=
(
1
−
a
)
z
2
∫
0
1
(
1
−
t
)
z
1
−
1
t
z
2
−
1
(
1
−
a
t
)
z
1
+
z
2
d
t
for any
a
∈
R
≤
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2z_{1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}}\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1}+z_{2}}}}dt\qquad {\text{for any }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}
где в предпоследнем тождестве n — любое положительное действительное число. От первого интеграла ко второму можно перейти, подставив
t
=
tan
2
(
θ
)
{\displaystyle t=\tan ^{2}(\theta )}
Бета-функция может быть записана в виде бесконечной суммы [3]
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
1
−
x
)
n
(
y
+
n
)
n
!
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-x)_{n}}{(y+n)\,n!}}}
(где
(
x
)
n
{\displaystyle (x)_{n}}
возрастающий факториал ) и как бесконечный продукт
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1}.}
Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию тождества Паскаля
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
+
1
)
+
B
(
x
+
1
,
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y+1)+\mathrm {B} (x+1,y)}
и простая рекурсия по одной координате:
B
(
x
+
1
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
x
x
+
y
,
B
(
x
,
y
+
1
)
=
B
(
x
,
y
)
⋅
y
x
+
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x+1,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {x}{x+y}},\quad \mathrm {B} (x,y+1)=\mathrm {B} (x,y)\cdot {\dfrac {y}{x+y}}.}
[4] Положительные целые значения бета-функции также являются частными производными двумерной функции: для всех неотрицательных целых чисел
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
B
(
m
+
1
,
n
+
1
)
=
∂
m
+
n
h
∂
a
m
∂
b
n
(
0
,
0
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (m+1,n+1)={\frac {\partial ^{m+n}h}{\partial a^{m}\,\partial b^{n}}}(0,0),}
где
h
(
a
,
b
)
=
e
a
−
e
b
a
−
b
.
{\displaystyle h(a,b)={\frac {e^{a}-e^{b}}{a-b}}.}
Из приведенного выше тождества Паскаля следует, что эта функция является решением уравнения в частных производных первого порядка
h
=
h
a
+
h
b
.
{\displaystyle h=h_{a}+h_{b}.}
Для
x
,
y
≥
1
{\displaystyle x,y\geq 1}
свертки , включающей усеченную степенную функцию
t
↦
t
+
x
{\displaystyle t\mapsto t_{+}^{x}}
B
(
x
,
y
)
⋅
(
t
↦
t
+
x
+
y
−
1
)
=
(
t
↦
t
+
x
−
1
)
∗
(
t
↦
t
+
y
−
1
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \left(t\mapsto t_{+}^{x+y-1}\right)={\Big (}t\mapsto t_{+}^{x-1}{\Big )}*{\Big (}t\mapsto t_{+}^{y-1}{\Big )}}
Оценки в определенных точках могут значительно упроститься; например,
B
(
1
,
x
)
=
1
x
{\displaystyle \mathrm {B} (1,x)={\dfrac {1}{x}}}
и
B
(
x
,
1
−
x
)
=
π
sin
(
π
x
)
,
x
∉
Z
{\displaystyle \mathrm {B} (x,1-x)={\dfrac {\pi }{\sin(\pi x)}},\qquad x\not \in \mathbb {Z} }
[5] Принимая
x
=
1
2
{\displaystyle x={\frac {1}{2}}}
Γ
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}}.}
Интеграл Эйлера для бета-функции можно преобразовать в интеграл по контуру Похгаммера C как
(
1
−
e
2
π
i
α
)
(
1
−
e
2
π
i
β
)
B
(
α
,
β
)
=
∫
C
t
α
−
1
(
1
−
t
)
β
−
1
d
t
.
{\displaystyle \left(1-e^{2\pi i\alpha }\right)\left(1-e^{2\pi i\beta }\right)\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}
Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции.
Точно так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы , бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\,\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Более того, для целого числа n В значений можно факторизовать, чтобы получить интерполяционную функцию замкнутой формы для непрерывных k :
(
n
k
)
=
(
−
1
)
n
n
!
⋅
sin
(
π
k
)
π
∏
i
=
0
n
(
k
−
i
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}=(-1)^{n}\,n!\cdot {\frac {\sin(\pi k)}{\pi \displaystyle \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
Обратная бета-функция [ править ] Обратная бета-функция — это функция вида
f
(
x
,
y
)
=
1
B
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{\mathrm {B} (x,y)}}}
Интересно, что их интегральные представления тесно связаны как определенный интеграл тригонометрических функций с произведением ее степени и кратного угла : [6]
∫
0
π
sin
x
−
1
θ
sin
y
θ
d
θ
=
π
sin
y
π
2
2
x
−
1
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \sin {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
∫
0
π
sin
x
−
1
θ
cos
y
θ
d
θ
=
π
cos
y
π
2
2
x
−
1
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
∫
0
π
cos
x
−
1
θ
sin
y
θ
d
θ
=
π
cos
y
π
2
2
x
−
1
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }\cos ^{x-1}\theta \sin y\theta ~d\theta ={\frac {\pi \cos {\frac {y\pi }{2}}}{2^{x-1}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
∫
0
π
2
cos
x
−
1
θ
cos
y
θ
d
θ
=
π
2
x
x
B
(
x
+
y
+
1
2
,
x
−
y
+
1
2
)
{\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{x-1}\theta \cos y\theta ~d\theta ={\frac {\pi }{2^{x}x\mathrm {B} \left({\frac {x+y+1}{2}},{\frac {x-y+1}{2}}\right)}}}
Неполная бета-функция [ править ] Неполная бета-функция , обобщение бета-функции, определяется как [7] [8]
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.}
При x = 1 неполной гамма-функцией . Для натуральных чисел a и b неполная бета-функция будет многочленом степени a + b - 1 с рациональными коэффициентами.
Регуляризованная неполная бета-функция (или для краткости регуляризованная бета-функция ) определяется в терминах неполной бета-функции и полной бета-функции:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\frac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.}
Регуляризованная неполная бета-функция является кумулятивной функцией распределения бета -распределения и связана с кумулятивной функцией распределения.
F
(
k
;
n
,
p
)
{\displaystyle F(k;\,n,p)}
величины X, следующей биномиальному распределению с вероятностью единичного успеха p и количеством испытаний Бернулли n :
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
=
1
−
I
p
(
k
+
1
,
n
−
k
)
.
{\displaystyle F(k;\,n,p)=\Pr \left(X\leq k\right)=I_{1-p}(n-k,k+1)=1-I_{p}(k+1,n-k).}
I
0
(
a
,
b
)
=
0
I
1
(
a
,
b
)
=
1
I
x
(
a
,
1
)
=
x
a
I
x
(
1
,
b
)
=
1
−
(
1
−
x
)
b
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
I
x
(
a
+
1
,
b
)
=
I
x
(
a
,
b
)
−
x
a
(
1
−
x
)
b
a
B
(
a
,
b
)
I
x
(
a
,
b
+
1
)
=
I
x
(
a
,
b
)
+
x
a
(
1
−
x
)
b
b
B
(
a
,
b
)
∫
B
(
x
;
a
,
b
)
d
x
=
x
B
(
x
;
a
,
b
)
−
B
(
x
;
a
+
1
,
b
)
B
(
x
;
a
,
b
)
=
(
−
1
)
a
B
(
x
x
−
1
;
a
,
1
−
a
−
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(a,b)&=0\\I_{1}(a,b)&=1\\I_{x}(a,1)&=x^{a}\\I_{x}(1,b)&=1-(1-x)^{b}\\I_{x}(a,b)&=1-I_{1-x}(b,a)\\I_{x}(a+1,b)&=I_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\mathrm {B} (a,b)}}\\I_{x}(a,b+1)&=I_{x}(a,b)+{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{b\mathrm {B} (a,b)}}\\\int \mathrm {B} (x;a,b)\mathrm {d} x&=x\mathrm {B} (x;a,b)-\mathrm {B} (x;a+1,b)\\\mathrm {B} (x;a,b)&=(-1)^{a}\mathrm {B} \left({\frac {x}{x-1}};a,1-a-b\right)\end{aligned}}}
расширение фракции Продолжающееся
B
(
x
;
a
,
b
)
=
x
a
(
1
−
x
)
b
a
(
1
+
d
1
1
+
d
2
1
+
d
3
1
+
d
4
1
+
⋯
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)={\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{a\left(1+{\frac {{d}_{1}}{1+}}{\frac {{d}_{2}}{1+}}{\frac {{d}_{3}}{1+}}{\frac {{d}_{4}}{1+}}\cdots \right)}}}
с нечетными и четными коэффициентами соответственно
d
2
m
+
1
=
−
(
a
+
m
)
(
a
+
b
+
m
)
x
(
a
+
2
m
)
(
a
+
2
m
+
1
)
{\displaystyle {d}_{2m+1}=-{\frac {(a+m)(a+b+m)x}{(a+2m)(a+2m+1)}}}
d
2
m
=
m
(
b
−
m
)
x
(
a
+
2
m
−
1
)
(
a
+
2
m
)
{\displaystyle {d}_{2m}={\frac {m(b-m)x}{(a+2m-1)(a+2m)}}}
быстро сходится, когда
x
{\displaystyle x}
4
m
{\displaystyle 4m}
4
m
+
1
{\displaystyle 4m+1}
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
4
m
+
2
{\displaystyle 4m+2}
4
m
+
3
{\displaystyle 4m+3}
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
Для
x
>
a
+
1
a
+
b
+
2
{\displaystyle x>{\frac {a+1}{a+b+2}}}
B
(
x
;
a
,
b
)
=
B
(
a
,
b
)
−
B
(
1
−
x
;
b
,
a
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\mathrm {B} (a,b)-\mathrm {B} (1-x;\,b,a)}
[8]
Многомерная бета-функция [ править ] Бета-функция может быть расширена до функции с более чем двумя аргументами:
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
)
=
Γ
(
α
1
)
Γ
(
α
2
)
⋯
Γ
(
α
n
)
Γ
(
α
1
+
α
2
+
⋯
+
α
n
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})={\frac {\Gamma (\alpha _{1})\,\Gamma (\alpha _{2})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n})}}.}
Эта многомерная бета-функция используется при определении распределения Дирихле . Его связь с бета-функцией аналогична взаимосвязи между полиномиальными коэффициентами и биномиальными коэффициентами. Например, он удовлетворяет аналогичной версии тождества Паскаля:
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
)
=
B
(
α
1
+
1
,
α
2
,
…
α
n
)
+
B
(
α
1
,
α
2
+
1
,
…
α
n
)
+
⋯
+
B
(
α
1
,
α
2
,
…
α
n
+
1
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=\mathrm {B} (\alpha _{1}+1,\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})+\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2}+1,\ldots \alpha _{n})+\cdots +\mathrm {B} (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n}+1).}
Приложения [ править ] Бета-функция полезна при вычислении и представлении амплитуды рассеяния для траекторий Редже . Более того, это была первая известная амплитуда рассеяния в теории струн , впервые предложенная Габриэле Венециано . Это также происходит в теории процесса предпочтительной привязанности , разновидности стохастического процесса урны . Бета-функция также важна в статистике, например, для бета-распределения и бета-простого распределения . Как кратко упоминалось ранее, бета-функция тесно связана с гамма-функцией и играет важную роль в исчислении .
Программная реализация [ править ] Даже если они недоступны напрямую, полные и неполные значения бета-функции можно рассчитать с помощью функций, обычно включаемых в электронные таблицы или системы компьютерной алгебры .
в Microsoft Excel полную бета-функцию можно вычислить с помощью Например, GammaLn special.gammaln в пакете Python SciPy ):
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b)) свойств Этот результат следует из перечисленных выше .
Неполную бета-функцию нельзя вычислить напрямую с использованием таких соотношений, поэтому необходимо использовать другие методы. В GNU Octave оно вычисляется с использованием разложения цепной дроби .
Неполная бета-функция уже реализована на распространенных языках. Например, betainc (неполная бета-функция) в MATLAB и GNU Octave , pbeta (вероятность бета-распределения) в R или special.betainc в SciPy вычисляют регуляризованную неполную бета-функцию — которая, по сути, является кумулятивным бета-распределением — и поэтому, чтобы получить фактическую неполную бета-функцию, нужно умножить результат betainc по результату, возвращаемому соответствующим betaфункция. В Математике Beta[x, a, b] и BetaRegularized[x, a, b] давать
B
(
x
;
a
,
b
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)}
I
x
(
a
,
b
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)}
^ Перейти обратно: а б с Дэвис, Филип Дж. (1972), «6. Гамма-функция и родственные функции», в Абрамовице, Милтон ; Стеган, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами Dover Publications , стр. 258, ISBN 978-0-486-61272-0 ^ Артин, Эмиль, Гамма-функция (PDF) , стр. 18–19, заархивировано из оригинала (PDF) 12 ноября 2016 г. , получено 11 ноября 2016 г. ^ Бета-функция: Представления серий (формула 18.06.06.0007) ^ Мяклин, Томми (2022), Вероятностные методы метагеномики высокого разрешения (PDF) , Серия публикаций A / Департамент компьютерных наук, Хельсинкский университет, Хельсинки: Unigrafia, стр. 27, ISBN 978-951-51-8695-9 ISSN 2814-4031 ^ «Формула отражения Эйлера — ProofWiki» , proofwiki.org , получено 2 сентября 2020 г. ^ Пэрис, РБ (2010), «Бета-функция» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248 ^ Зелен, М.; Северо, Северная Каролина (1972), «26. Функции вероятности», в Абрамовице, Милтон ; Стеган, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами Dover Publications , стр. 944 , ISBN 978-0-486-61272-0 ^ Перейти обратно: а б Пэрис, РБ (2010), «Неполные бета-функции» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248
Аски, РА ; Рой, Р. (2010), «Бета-функция» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям ISBN 978-0-521-19225-5 МР 2723248 Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 оригинала 27 октября 2021 г. , получено 9 августа 2011 г. Внешние ссылки [ править ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-u}u^{ z_{1}-1}\,du\cdot \int _{v=0}^{\infty }\ e^{-v}v^{z_{2}-1}\,dv\\[6pt] &=\int _{v=0}^{\infty }\int _{u=0}^{\infty }\ e^{-uv}u^{z_{1}-1}v^{z_{ 2}-1}\,du\,dv.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0602e0665bdaf2c38b4056fa812ae684ba773b53)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z_{1})\Gamma (z_{2})&=\int _{s=0}^{\infty }\int _{t=0}^{ 1}e^{-s}(st)^{z_{1}-1}(s(1-t))^{z_{2}-1}s\,dt\,ds\\[6pt]& =\int _{s=0}^{\infty }e^{-s}s^{z_{1}+z_{2}-1}\,ds\cdot \int _{t=0}^{ 1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt\\&=\Gamma (z_{1}+z_{2})\cdot \mathrm {B} (z_{1},z_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39f6cdeb03466b3835ea08e07d50371712318dd8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {B} (z_{1},z_{2})&=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta)^{2z_ {1}-1}(\cos \theta )^{2z_{2}-1}\,d\theta ,\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {t ^{z_{1}-1}}{(1+t)^{z_{1}+z_{2}}}}\,dt,\\[6pt]&=n\int _{0}^{ 1}t^{nz_{1}-1}(1-t^{n})^{z_{2}-1}\,dt,\\&=(1-a)^{z_{2}} \int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{z_{1}-1}t^{z_{2}-1}}{(1-at)^{z_{1 }+z_{2}}}}dt\qquad {\text{для любого }}a\in \mathbb {R} _{\leq 1},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0163d50bcc0f2359f68f9ac5acc1fccbf45a262f)
