Сумма Якоби

В математике сумма Якоби представляет собой тип суммы символов , образованной символами Дирихле . Простыми примерами могут служить суммы Якоби J ( χ , ψ ) для характеров Дирихле χ , ψ по модулю простого числа p , определяемые формулой

$J(\chi ,\psi )=\sum \chi (a)\psi (1-a)\,,$

где суммирование проводится по всем остаткам a = 2, 3, ..., p − 1 mod p (для которых ни a, ни 1 − a не равны 0). Суммы Якоби являются аналогами для конечных полей бета -функции . Такие суммы были введены К. Г. Якоби в начале XIX века в связи с теорией циклотомии . Суммы Якоби J можно в общем виде разложить на произведения степеней сумм Гаусса g . Например, когда характер χψ нетривиален,

$J(\chi ,\psi )={\frac {g(\chi )g(\psi )}{g(\chi \psi )}}\,,$

аналог формулы для бета-функции через гамма-функцию . Поскольку нетривиальные суммы Гаусса g имеют абсолютное значение p ^{1 ⁄ 2} , отсюда следует, что J ( χ , ψ ) также имеет абсолютное значение p ^{1 ⁄ 2} когда характеры χψ , χ , ψ нетривиальны. Суммы Якоби J лежат в меньших круговых полях, чем нетривиальные суммы Гаусса g . Слагаемые J ( χ , ψ ), например, не содержат корня p- й степени из единицы , а включают только значения, которые лежат в круговом поле корней ( p - 1) -й степени из единицы. Как и суммы Гаусса, суммы Якоби имеют факторизацию простых идеальных чисел в своих круговых полях; см. теорему Стикельбергера .

Когда х является символом Лежандра ,

$J(\chi ,\chi )=-\chi (-1)=(-1)^{\frac {p+1}{2}}\,.$

В общем случае значения сумм Якоби возникают в связи с локальными дзета-функциями диагональных форм . Результат для символа Лежандра представляет собой формулу p + 1 для количества точек на коническом сечении , которое представляет собой проективную прямую над полем из p элементов. Статья Андре Вейля 1949 года во многом оживила эту тему. Действительно, благодаря соотношению Хассе-Дэвенпорта в конце 20 века формальные свойства степеней сумм Гаусса снова стали актуальными.

Помимо указания на возможность записи локальных дзета-функций для диагональных гиперповерхностей с помощью общих сумм Якоби, Вейль (1952) продемонстрировал свойства сумм Якоби как характеров Гекке . Это стало важным после того, как было установлено сложное умножение абелевых многообразий . Характеры Гекке, о которых идет речь, были именно теми, которые нужны Хассе – Вейля для выражения L -функций . кривых Ферма , например, Точные проводники этих персонажей (вопрос, который Вейль оставил открытым), были определены в более поздних работах.

Ссылки

• Берндт, Британская Колумбия; Эванс, Р.Дж.; Уильямс, Канзас (1998). Суммы Гаусса и Якоби . Уайли.
• Ланг, С. (1978). Циклотомные поля . Тексты для аспирантов по математике. Том. 59. Шпрингер Верлаг. гл. 1. ISBN  0-387-90307-0 .
• Вейль, Андре (1949). «Числа решений уравнений в конечных полях» . Бык. амер. Математика. Соц . 55 (5): 497–508. дои : 10.1090/s0002-9904-1949-09219-4 .
• Вейль, Андре (1952). «Якоби характеризует выдающихся персонажей» . Пер. Матем . 73 (3): 487–495. дои : 10.1090/s0002-9947-1952-0051263-0 .