Отношение Хассе – Давенпорта

Отношения Хассе-Дэвенпорта , введенные Давенпортом и Хассе ( 1935 ), представляют собой два связанных тождества для сумм Гаусса , одно из которых называется отношением подъема Хассе-Дэвенпорта , а другое - отношением произведения Хассе-Дэвенпорта . Подъемное отношение Хассе – Давенпорта представляет собой равенство в теории чисел, связывающее суммы Гаусса по различным полям. Вейль (1949) использовал его для вычисления дзета-функции гиперповерхности Ферма над конечным полем , что послужило основанием для гипотез Вейля .

Суммы Гаусса являются аналогами гамма -функции над конечными полями, а отношение произведения Хассе – Давенпорта является аналогом формулы умножения Гаусса.

$\Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{1/2-kz}\;\Gamma (kz).\,\!$

Фактически отношение произведения Хассе-Дэвенпорта следует из аналогичной формулы умножения для p -адических гамма-функций вместе с Гросса-Коблица формулой Gross & Koblitz (1979) .

Подъемное соотношение Хассе – Давенпорта

Пусть F — конечное поле с q элементами, а F _s — поле такое, что [ F _s : F ] = s , то есть s — размерность векторного пространства F _s над F .

Позволять $\alpha$ быть элементом $F_{s}$.

Позволять $\chi$ быть мультипликативным символом от F до комплексных чисел.

Позволять $N_{F_{s}/F}(\alpha )$ быть нормой от $F_{s}$ к $F$ определяется

$N_{F_{s}/F}(\alpha ):=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdots \alpha ^{q^{s-1}}.\,$

Позволять $\chi '$ быть мультипликативным символом на $F_{s}$ какой состав $\chi$ с нормой от F _s до F , то есть

$\chi '(\alpha ):=\chi (N_{F_{s}/F}(\alpha ))$

Пусть ψ — некоторый нетривиальный аддитивный характер F и пусть $\psi '$ быть аддитивным символом на $F_{s}$ какой состав $\psi$ со следом от F _s до F , то есть

$\psi '(\alpha ):=\psi (Tr_{F_{s}/F}(\alpha ))$

Позволять

$\tau (\chi ,\psi )=\sum _{x\in F}\chi (x)\psi (x)$

— сумма Гаусса по F и пусть $\tau (\chi ',\psi ')$ быть суммой Гаусса по $F_{s}$.

Тогда лифтинговое соотношение Хассе – Давенпорта утверждает, что

$(-1)^{s}\cdot \tau (\chi ,\psi )^{s}=-\tau (\chi ',\psi ').$

Отношение продуктов Хассе – Давенпорта

Соотношение продуктов Хассе – Давенпорта утверждает, что

$\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\chi \rho ^{a},\psi )=-\chi ^{-m}(m)\tau (\chi ^{m},\psi )\prod _{a{\bmod {m}}}\tau (\rho ^{a},\psi )$

где ρ — мультипликативный характер точного порядка m, делящий q –1, χ — любой мультипликативный характер, а ψ — нетривиальный аддитивный характер.

Ссылки

• Давенпорт, Гарольд; Хассе, Гельмут (1935), «О нулях конгруэнтных дзета-функций в некоторых циклических случаях» , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 172 : 151–182, ISSN   0075-4102 , Zbl   0010.33803
• Гросс, Бенедикт Х.; Коблиц, Нил (1979), «Суммы Гаусса и p-адическая Γ-функция», Annals of Mathematics , Second Series, 109 (3): 569–581, doi : 10.2307/1971226 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971226 , МИСТЕР   0534763
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Спрингер. стр. 158–162 . ISBN  978-0-387-97329-6 .
• Вейль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN   0002-9904 , МР   0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборнике статей Андре Вейля. ISBN   0-387-90330-5