Предположения Вейля

Эта статья посвящена теории алгебраических многообразий над конечными полями. Чтобы узнать о других значениях, см. «Гипотеза Вейля» .

В математике оказали гипотезы Вейля большое влияние на предложения Андре Вейля ( 1949 ). Они привели к успешной многолетней программе их доказательства, в рамках которой многие ведущие исследователи разработали основы современной алгебраической геометрии и теории чисел .

Гипотезы касаются производящих функций (известных как локальные дзета-функции ), полученных в результате подсчета точек на алгебраических многообразиях над конечными полями . Многообразие V над конечным полем с q элементами имеет конечное число рациональных точек (с координатами в исходном поле), а также точек с координатами в любом конечном расширении исходного поля. Производящая функция имеет коэффициенты, полученные из числа N _k точек над полем расширения с q ^к элементы.

Вейль предположил, что такие дзета-функции для гладких многообразий являются рациональными функциями , удовлетворяют определенному функциональному уравнению и имеют нули в ограниченных местах. Последние две части были сознательно смоделированы на основе дзета-функции Римана , своего рода производящей функции для простых целых чисел, которая подчиняется функциональному уравнению и (предположительно) имеет свои нули, ограниченные гипотезой Римана . Рациональность доказала Бернар Дворк ( 1960 ), функциональное уравнение — Александр Гротендик ( 1965 ), а аналог гипотезы Римана — Пьер Делинь ( 1974 ).

Предыстория и история

Самый ранний предшественник гипотез Вейля принадлежит Карлу Фридриху Гауссу и появляется в разделе VII его Disquisitiones Arithmeticae ( Mazur 1974 ), посвященном корням единства и гауссовским периодам . В статье 358 он переходит от периодов, образующих башни квадратичных расширений, к построению правильных многоугольников; и предполагает, что p — простое число, конгруэнтное 1 по модулю 3. Тогда существует циклическое кубическое поле внутри кругового поля корней p -й степени из единицы и нормальный целочисленный базис периодов для целых чисел этого поля (пример Теорема Гильберта–Шпайзера ). Гаусс строит периоды порядка 3, соответствующие циклической группе ( Z / p Z ) ^× ненулевых вычетов по модулю p при умножении и его единственная подгруппа индекса три. Гаусс позволяет ${\mathfrak {R}}$, ${\mathfrak {R}}'$, и ${\mathfrak {R}}''$быть его смежными классами. Взяв периоды (суммы корней из единицы), соответствующие этим смежным классам, примененным к exp(2 πi / p ) , он отмечает, что эти периоды имеют таблицу умножения, доступную для вычислений. Произведения представляют собой линейные комбинации периодов, и он определяет коэффициенты. Он устанавливает, например, $({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})$ равно числу элементов Z / p Z , находящихся в ${\mathfrak {R}}$ и которые после увеличения на единицу также находятся в ${\mathfrak {R}}$. Он доказывает, что это число и связанные с ним числа являются коэффициентами произведений периодов. Чтобы увидеть связь этих множеств с гипотезами Вейля, заметим, что если α и α + 1 оба находятся в ${\mathfrak {R}}$ существуют x и y , то в Z / p Z такие, что x ³ = α и y ³ = α + 1 ; следовательно, х ³ + 1 = и ³ . Поэтому $({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})$ связано с количеством решений задачи x ³ + 1 = и ³ в конечном поле Z / p Z . Остальные коэффициенты имеют аналогичную интерпретацию. Таким образом, определение Гауссом коэффициентов произведений периодов подсчитывает количество точек на этих эллиптических кривых и в качестве побочного результата доказывает аналог гипотезы Римана.

Гипотезы Вейля в частном случае алгебраических кривых были высказаны Эмилем Артином ( 1924 ). Случай кривых над конечными полями был доказан Вейлем, завершив проект, начатый теоремой Хассе об эллиптических кривых над конечными полями. Их интерес был достаточно очевиден изнутри теории чисел : они предполагали верхние границы для экспоненциальных сумм , что является основной проблемой аналитической теории чисел ( Морено 2001 ).

Что действительно привлекло внимание, с точки зрения других математических областей, так это предложенная связь с алгебраической топологией . Учитывая, что конечные поля имеют дискретную природу, а топология говорит только о непрерывном , подробная формулировка Вейля (основанная на разработке некоторых примеров) была поразительной и новой. Он предположил, что геометрия над конечными полями должна соответствовать хорошо известным закономерностям, связанным с числами Бетти , теоремой Лефшеца о неподвижной точке и так далее.

Аналогия с топологией предполагала создание новой гомологической теории, применяющейся в рамках алгебраической геометрии . На это ушло два десятилетия (это была главная цель работы и школы Александра Гротендика ), основанное на первоначальных предложениях Серра . Рациональная часть гипотез была впервые доказана Бернардом Дворком ( 1960 ) с использованием p -адических методов. Гротендик (1965) и его сотрудники установили гипотезу рациональности, функциональное уравнение и связь с числами Бетти, используя свойства этальных когомологий , новой теории когомологий, разработанной Гротендиком и Майклом Артином для критики гипотез Вейля, как это изложено у Гротендика (1965). 1960) . Из четырех гипотез труднее всего доказать аналог гипотезы Римана. Вдохновленный доказательством Серра (1960) аналога гипотезы Вейля для кэлеровых многообразий , Гротендик предложил доказательство, основанное на его стандартных гипотезах об алгебраических циклах ( Клейман, 1968 ). Однако стандартные гипотезы Гротендика остаются открытыми (за исключением жесткая теорема Лефшеца , которая была доказана Делинем путем расширения его работы над гипотезами Вейля), а аналог гипотезы Римана был доказан Делинем ( 1974 ) , используя теорию этальных когомологий, но обходя использование стандартных гипотез с помощью остроумного аргумента. .

Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотезы Вейля, ограничивающее веса толчка пучка.

Вейля

Предположим, что X — неособое n -мерное проективное алгебраическое многообразие над полем F _q с q элементами. Дзета -функция ζ ( X , s ) X определению по

$\zeta (X,s)=\exp \left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N_{m}}{m}}q^{-ms}\right)$

где N _m — количество точек X степени m . , определенных над расширением F _{q ^м} q F _​ .

Гипотезы Вейля гласят:

1. (Рациональность) ζ ( X , s ) — рациональная функция от T = q. ^{− с} . Точнее, ζ ( X , s ) можно записать как конечное знакопеременное произведение

$\prod _{i=0}^{2n}P_{i}(q^{-s})^{(-1)^{i+1}}={\frac {P_{1}(T)\dotsb P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)\dotsb P_{2n}(T)}},$

где каждый P _i ( T ) является целым многочленом. Кроме того, п ₀ ( Т ) знак равно 1 - Т , п _{2 п} ( Т ) знак равно 1 - q ^н T , и для 1 ≤ i ≤ 2 n − 1 , P _i ( T ) факторизуется по C как $\textstyle \prod _{j}(1-\alpha _{ij}T)$ для некоторых чисел α _ij .

2. (Функциональное уравнение и двойственность Пуанкаре) Дзета-функция удовлетворяет условию

$\zeta (X,n-s)=\pm q^{nE/2-Es}\zeta (X,s)$

или эквивалентно

$\zeta (X,q^{-n}T^{-1})=\pm q^{nE/2}T^{E}\zeta (X,T)$

где E — характеристика X. ​ эйлерова В частности, для каждого i числа α _{2 n − i ,1} , α _{2 n − i ,2} , ... равны числам q ^н / α _{и ,1} , q ^н / α _{i ,2} , ... в некотором порядке.

3. (гипотеза Римана) | α _{я , j} | = q ^{я /2} для всех 1 ≤ i ≤ 2 n - 1 и всех j . что все нули Pk _{Это означает ,} ( T ) лежат на «критической прямой» комплексных чисел s с вещественной частью k /2 .

4. (Числа Бетти) Если X — (хорошая) « редукция по модулю p » неособого проективного многообразия Y определенного над числовым полем, вложенным в поле комплексных чисел, то степень Pi _i равна , ^й Число Бетти пространства комплексных точек Y .

Примеры

Проективная линия

Самый простой пример (кроме точки) — взять X за проективную прямую. Количество точек X над полем с q ^м элементов - это просто N _m = q ^м + 1 (где « + 1 » происходит от « точки бесконечности »). Дзета-функция - это просто

${\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.$

Все части гипотез Вейля легко проверить непосредственно. Например, соответствующее комплексное многообразие — это сфера Римана , а ее начальные числа Бетти — 1, 0, 1.

Проективное пространство

Не намного сложнее создать n -мерное проективное пространство. Количество точек X над полем с q ^м элементов - это просто N _m = 1 + q ^м + д ^22м + ⋯ + д ^нм . Дзета-функция - это просто

${\frac {1}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})\dots (1-q^{n-s})}}.$

Все части гипотез Вейля снова легко проверить непосредственно. ( Комплексное проективное пространство дает соответствующие числа Бетти, которые почти определяют ответ.)

Количество точек на проективной прямой и проективном пространстве так легко вычислить, потому что их можно записать как непересекающиеся объединения конечного числа копий аффинных пространств. Также легко доказать гипотезы Вейля для других пространств, таких как грассманианы и многообразия флагов, которые обладают тем же свойством «мощения».

Эллиптические кривые

Они дают первые нетривиальные случаи гипотезы Вейля (доказанной Хассе). Если E — эллиптическая кривая над конечным полем с q элементами, то количество точек E , определенных над полем с q ^м элементы: 1 − a ^м − б ^м + д ^м , где α и β — комплексно-сопряженные числа с абсолютным значением √ q . Дзета-функция

${\frac {(1-\alpha q^{-s})(1-\beta q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}}.$

Числа Бетти задаются тором , 1,2,1, а числитель является квадратичным.

Гиперэллиптические кривые

В качестве примера рассмотрим гиперэллиптическую кривую

$C:y^{2}+y=x^{5},$

который принадлежит к роду $g=2$ и размер $n=1$. Сначала рассматривается как кривая $C/\mathbb {Q}$ определенное над рациональными числами $\mathbb {Q}$, эта кривая имеет хорошую редукцию во всех простых числах $5\neq q\in \mathbb {P}$. Итак, после приведения по модулю $q\neq 5$, получается гиперэллиптическая кривая $C/{\bf {F}}_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)$ рода 2, с $h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]$. принимая $q=41$ например, полиномы Вейля $P_{i}(T)$, $i=0,1,2,$ и дзета-функция $C/{\bf {F}}_{41}$ принять форму

$\zeta (C/{\bf {F}}_{41},s)={\frac {P_{1}(T)}{P_{0}(T)\cdot P_{2}(T)}}={\frac {1-9\cdot T+71\cdot T^{2}-9\cdot 41\cdot T^{3}+41^{2}\cdot T^{4}}{(1-T)(1-41\cdot T)}}.$

Ценности $c_{1}=-9$ и $c_{2}=71$ можно определить, посчитав количество решений $(x,y)$ из $y^{2}+y=x^{5}$ над ${\bf {F}}_{41}$ и ${\bf {F}}_{41^{2}}$соответственно, и добавляя 1 к каждому из этих двух чисел, чтобы учесть точку, находящуюся в бесконечности. $\infty$. Этот подсчет дает $N_{1}=33$ и $N_{2}=1743$. Следует:

$c_{1}=N_{1}-1-q=33-1-41=-9$ и

$c_{2}=(N_{2}-1-q^{2}+c_{1}^{2})/2=(1743-1-41^{2}+(-9)^{2})/2=71.$

Нули $P_{1}(T)$ являются $z_{1}:=0,12305+{\sqrt {-1}}\cdot 0,09617$ и $z_{2}:=-0,01329+{\sqrt {-1}}\cdot 0,15560$ (десятичные разложения этих действительных и мнимых частей отсекаются после пятого десятичного знака) вместе с их комплексно сопряженными $z_{3}:={\bar {z}}_{1}$ и $z_{4}:={\bar {z}}_{2}$. Итак, при факторизации $P_{1}(T)=\prod _{j=1}^{4}(1-\alpha _{1,j}T)$, у нас есть $\alpha _{1,j}=1/z_{j}$. Как сказано в третьей части (гипотеза Римана) гипотезы Вейля, $|\alpha _{1,j}|={\sqrt {41}}$ для $j=1,2,3,4$.

Неособое проективное комплексное многообразие , принадлежащее $C/\mathbb {Q}$ имеет числа Бетти $B_{0}=1,B_{1}=2g=4,B_{2}=1$. Как описано в четвертой части гипотез Вейля, (топологически определенные!) числа Бетти совпадают со степенями полиномов Вейля $P_{i}(T)$, для всех простых чисел $q\neq 5$: ${\rm {deg}}(P_{i})=B_{i},\,i=0,1,2$.

Когомологии Вейля

Вейль предположил, что эти гипотезы будут следовать из существования подходящей « теории когомологий Вейля » для многообразий над конечными полями, подобной обычным когомологиям с рациональными коэффициентами для комплексных многообразий. Его идея заключалась в том, что если F — автоморфизм Фробениуса над конечным полем, то число точек многообразия X над полем порядка q ^м — количество неподвижных точек F ^м (действующий на все точки многообразия X , определенного над алгебраическим замыканием). В алгебраической топологии число неподвижных точек автоморфизма можно определить с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке , заданной как знакопеременная сумма следов на группах когомологий . Таким образом, если бы существовали подобные группы когомологий для многообразий над конечными полями, то дзета-функция могла бы быть выражена через них.

Первая проблема заключается в том, что поле коэффициентов теории когомологий Вейля не может быть рациональными числами. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим случай суперсингулярной эллиптической кривой над конечным полем характеристики p . Это кольцо эндоморфизмов представляет собой порядок в алгебре кватернионов над рациональными числами и должно действовать на первую группу когомологий, которая должна быть двумерным векторным пространством над полем коэффициентов по аналогии со случаем комплексной эллиптической кривой. Однако алгебра кватернионов над рациональными числами не может действовать в двумерном векторном пространстве над рациональными числами. Тот же аргумент исключает возможность того, что поле коэффициентов является действительным или p -адическим числом, поскольку алгебра кватернионов по-прежнему является алгеброй с делением над этими полями. Однако это не исключает возможности того, что поле коэффициентов является полем ℓ -адических чисел для некоторого простого числа ℓ ≠ p , поскольку над этими полями алгебра с делением распадается и становится матричной алгеброй, которая может действовать в двумерном векторном пространстве. . Гротендик и Майклу Артину удалось построить подходящие теории когомологий над полем ℓ -адических чисел для каждого простого числа ℓ ≠ p , называемые ℓ -адическими когомологиями .

Гротендика трех из

К концу 1964 года Гротендик вместе с Артином и Жаном-Луи Вердье (а также более ранней работой Дворка 1960 года) доказали гипотезы Вейля, за исключением самой сложной третьей гипотезы, приведенной выше (гипотезы «гипотезы Римана») (Grotendieck 1965). Общие теоремы об этальных когомологиях позволили Гротендику доказать аналог формулы неподвижной точки Лефшеца для теории ℓ -адических когомологий, и, применив ее к автоморфизму Фробениуса F, он смог доказать предполагаемую формулу для дзета-функции:

$\zeta (s)={\frac {P_{1}(T)\cdots P_{2n-1}(T)}{P_{0}(T)P_{2}(T)\cdots P_{2n}(T)}}$

где каждый многочлен P _i является определителем I − TF на группе ℓ -адических когомологий H ^я .

Рациональность дзета-функции вытекает сразу. Функциональное уравнение для дзета-функции следует из двойственности Пуанкаре для ℓ -адических когомологий, а связь с комплексными числами Бетти лифта следует из теоремы сравнения ℓ -адических и обычных когомологий для комплексных многообразий.

В более общем смысле Гротендик доказал аналогичную формулу для дзета-функции (или «обобщенной L-функции») пучка F ₀ :

$Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{x\in |X_{0}|}\det(1-F_{x}^{*}t^{\deg(x)}\mid F_{0})^{-1}$

как произведение по группам когомологий:

$Z(X_{0},F_{0},t)=\prod _{i}\det(1-F^{*}t\mid H_{c}^{i}(F))^{(-1)^{i+1}}$

Частный случай постоянного пучка дает обычную дзета-функцию.

Делинь гипотезы гипотезы

Вердье (1974) , Серр (1975) , Кац (1976) и Фрайтаг и Киль (1988) дали пояснительные отчеты о первом доказательстве Делиня (1974) . Большая часть истории ℓ -адических когомологий описана в ( Deligne 1977 ).

Первое доказательство Делинь оставшейся третьей гипотезы Вейля («гипотезы Римана») использовало следующие шаги:

Использование карандашей Lefschetz

• Гротендик выразил дзета-функцию через след Фробениуса на ℓ -адических группах когомологий, поэтому гипотезы Вейля для d -мерного многообразия V над конечным полем с q элементами зависят от доказательства того, что собственные значения α Фробениуса, действующие на i th ℓ -адическая группа когомологий H ^я ( V ) из V имеют абсолютные значения | α | = q ^{я /2} (для вложения алгебраических элементов Q _ℓ в комплексные числа).
• Развернув V V и расширив базовое поле, можно предположить, что многообразие имеет морфизм на проективную прямую P ¹ , с конечным числом особых слоев с очень мягкими (квадратичными) особенностями. Теория монодромии пучков Лефшеца , введенная для комплексных многообразий (и обычных когомологий) Лефшецем (1924) и расширенная Гротендиком (1972) и Делинем и Кацем (1973) до ℓ -адических когомологий, связывает когомологии V с этим его волокон. Отношение зависит от пространства E _x исчезающих циклов , подпространства когомологий H ^{д -1} ( V _x ) неособого слоя V _x , натянутого на классы, которые исчезают на особых слоях.
• связывает Спектральная последовательность Лере среднюю группу когомологий V с когомологиями слоя и базы. Труднее всего иметь дело с группой H. ¹ ( П ¹ , j _* E ) = ЧАС ¹
  _c ( U , E ), где U — точки проективная прямая с неособыми слоями, j — включение U в проективную прямую, а E — пучок со слоями пространства Ex _{исчезающих} циклов.

Ключевая оценка

Суть доказательства Делиня состоит в том, чтобы показать, что пучок E над U чист, другими словами, найти абсолютные значения собственных значений Фробениуса на его стеблях. Это делается путем изучения дзета-функций четных степеней E ^к E . и применяя формулу Гротендика для дзета-функций как знакопеременных произведений над группами когомологий Ключевая идея рассмотрения даже k степеней E была вдохновлена ​​​​работой Ранкина ( 1939 ), который использовал аналогичную идею с k = 2 для ограничения тау-функции Рамануджана . Ленглендс (1970 , раздел 8) указал, что обобщение результата Рэнкина для более высоких четных значений k будет подразумевать гипотезу Рамануджана , а Делинь понял, что в случае дзета-функций многообразий теория дзета-функций пучков Гротендика предоставила аналог этого обобщения.

• Полюсы дзета-функции E ^к находятся по формуле Гротендика

$Z(U,E^{k},T)={\frac {\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{1}(E^{k}))}{\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{0}(E^{k}))\det(1-F^{*}T\mid H_{c}^{2}(E^{k}))}}$

и явно вычисляем группы когомологий в знаменателе. Н ​ ⁰
_{Член c} обычно равен 1, поскольку U обычно не компактен, а H ²
_c можно вычислить явно следующим образом. Двойственность Пуанкаре связывает H ²
_есть (​ ^к ) до Ч ⁰
( И ^к ), которое, в свою очередь, является пространством ковариантов группы монодромии, которая является геометрической фундаментальной группой U , действующей на слое E ^к в какой-то момент. Слой E имеет билинейную форму, индуцированную произведением чашки , которое антисимметрично, если d четно, и превращает E в симплектическое пространство. (Это немного неточно: позже Делинь показал, что E ∩ E ^⊥ = 0 с использованием жесткой теоремы Лефшеца , для этого требуются гипотезы Вейля, а доказательство гипотез Вейля действительно должно использовать немного более сложный аргумент с E / E ∩ E ^⊥ а не E. ) Аргументация Каждана и Маргулиса показывает, что образ группы монодромии, действующей на E , заданный формулой Пикара–Лефшеца , плотен по Зарисскому в симплектической группе и поэтому имеет те же инварианты, которые хорошо известны из классическая теория инвариантов. Отслеживание действия Фробениуса в этом расчете показывает, что все его собственные значения равны q. ^{к ( d −1)/2+1} , поэтому дзета-функция Z ( E ^к , T ) имеет полюсы только в точке T = 1/ q ^{к ( d −1)/2+1} .

• Произведение Эйлера для дзета-функции E ^к является

$Z(E^{k},T)=\prod _{x}{\frac {1}{Z(E_{x}^{k},T)}}$

Если k четно , то все коэффициенты множителей справа (рассматриваемые как степенные ряды в T ) неотрицательны ; это следует из написания

${\frac {1}{\det(1-T^{\deg(x)}F_{x}\mid E^{k})}}=\exp \left(\sum _{n>0}{\frac {T^{n}}{n}}\operatorname {Trace} (F_{x}^{n}\mid E)^{k}\right)$

и используя тот факт, что следы степеней F рациональны, поэтому их степени k неотрицательны, поскольку k четно. Делинь доказывает рациональность следов, связывая их с количеством точек многообразий, которые всегда являются (рациональными) целыми числами.

• Степенной ряд для Z ( E ^к , T ) сходится при T меньше абсолютного значения 1/ q ^{к ( d −1)/2+1} своего единственно возможного полюса. Когда k четно, коэффициенты всех его факторов Эйлера неотрицательны, так что каждый из факторов Эйлера имеет коэффициенты, ограниченные константой, умноженной на коэффициенты Z ( E ^к , T ) и поэтому сходится в одной области и не имеет в этой области полюсов. Таким образом, для k даже полиномы Z ( E ^к
  _x , T ) не имеют нулей в этой области, или, другими словами, собственные значения Фробениуса на стеблях E ^к имеют абсолютное значение не более q ^{к ( d −1)/2+1} .
• Эту оценку можно использовать для нахождения абсолютного значения любого собственного значения α Фробениуса на слое E следующим образом. Для любого целого k , α ^к является собственным значением Фробениуса на стебле E ^к , который при четном k ограничен q ^{1+ k ( d −1)/2} . Так

$|\alpha ^{k}|\leq q^{k(d-1)/2+1}$

Поскольку это верно для сколь угодно большого четного k , это означает, что

$|\alpha |\leq q^{(d-1)/2}.$

из двойственности Пуанкаре Тогда следует, что

$|\alpha |=q^{(d-1)/2}.$

Завершение доказательства

Вывод гипотезы Римана из этой оценки в основном представляет собой довольно прямолинейное использование стандартных методов и делается следующим образом.

• Собственные значения Фробениуса на H ¹
  _c ( U , E поскольку они являются нулями дзета-функции пучка E. ) теперь можно оценить , Эту дзета-функцию можно записать как произведение Эйлера дзета-функций слоев E , и использование оценки собственных значений на этих слоях показывает, что это произведение сходится при | Т | < д ^{− d /2−1/2} , так что в этой области нет нулей дзета-функции. Отсюда следует, что собственные значения Фробениуса на E не превосходят q ^{д /2+1/2} по абсолютной величине (на самом деле вскоре будет видно, что они имеют абсолютное значение ровно q ^{д /2} ). Этот этап рассуждения очень похож на обычное доказательство того, что дзета-функция Римана не имеет нулей с действительной частью больше 1, путем записи ее в виде произведения Эйлера.
• Вывод из этого состоит в том, что собственные значения α многообразия Фробениуса многообразия четной размерности d на группе средних когомологий удовлетворяют

$|\alpha |\leq q^{d/2+1/2}$

Чтобы получить гипотезу Римана, нужно исключить 1/2 из показателя степени. Это можно сделать следующим образом. Применяя эту оценку к любой четной степени V ^к V показывает , и с помощью формулы Кюннета что собственные значения Фробениуса на средних когомологиях многообразия V любой размерности d удовлетворяют условиям

$|\alpha ^{k}|\leq q^{kd/2+1/2}$

Поскольку это верно для сколь угодно большого четного k , это означает, что

$|\alpha |\leq q^{d/2}$

из двойственности Пуанкаре Тогда следует, что

$|\alpha |=q^{d/2}.$

• Это доказывает гипотезу Вейля о средних когомологиях многообразия. Гипотезы Вейля для когомологий ниже среднего измерения следуют из этого путем применения слабой теоремы Лефшеца , а гипотезы для когомологий выше среднего измерения следуют из двойственности Пуанкаре.

Второе доказательство Делиня

Делинь (1980) нашел и доказал обобщение гипотезы Вейля, ограничивающее веса толчка пучка. На практике именно это обобщение, а не исходные гипотезы Вейля, чаще всего используется в приложениях, таких как жесткая теорема Лефшеца . Большая часть второго доказательства представляет собой переработку идей его первого доказательства. Основная необходимая дополнительная идея — это аргумент, тесно связанный с теоремой Жака Адамара и Шарля Жана де ла Валле Пуссена , использованной Делинем, чтобы показать, что различные L -ряды не имеют нулей с действительной частью 1.

Конструктивный пучок на многообразии над конечным полем называется чистым с весом β, если для всех точек x все собственные значения фробениуса в точке x имеют абсолютное значение N ( x ). ^{БИ 2} , и называется смешанным с весом ≤ β, если его можно записать в виде повторных расширений чистыми пучками с весами ≤ β .

Теорема Делиня утверждает, что если f — морфизм схем конечного типа над конечным полем, то R ^я е _! переводит смешанные пучки веса ≤ β в смешанные пучки веса ≤ β + i .

Исходные гипотезы Вейля следуют из того, что f является морфизмом гладкого проективного многообразия в точку и рассматривается постоянный пучок Q _ℓ на этом многообразии. Это дает верхнюю границу абсолютных значений собственных значений Фробениуса, а двойственность Пуанкаре показывает, что это также нижняя граница.

В целом Р ^я е _! не переводит чистые связки в чистые связки. Однако это происходит, когда имеет место подходящая форма двойственности Пуанкаре, например, если f является гладким и правильным или если кто-то работает с извращенными пучками , а не с пучками, как в Beilinson, Bernstein & Deligne (1982) .

Вдохновленный работой Виттена (1982) по теории Морса , Лаумон (1987) Делиня нашел другое доказательство, используя ℓ -адическое преобразование Фурье , что позволило ему упростить доказательство Делиня, избегая использования метода Адамара и Валле Пуссена. . Его доказательство обобщает классический расчет абсолютного значения сумм Гаусса, используя тот факт, что норма преобразования Фурье имеет простую связь с нормой исходной функции. Киль и Вайсауэр (2001) использовали доказательство Лаумона как основу для изложения теоремы Делиня. Кац (2001) дал дальнейшее упрощение доказательства Лаумона, используя монодромию в духе первого доказательства Делиня. Кедлайя (2006) дал еще одно доказательство с использованием преобразования Фурье, заменив этальные когомологии жесткими когомологиями .

Приложения

• Делинь (1980) смог доказать сложную теорему Лефшеца над конечными полями, используя свое второе доказательство гипотезы Вейля.
• Делинь (1971) ранее показал, что гипотеза Рамануджана-Петерссона следует из гипотез Вейля.
• Делинь (1974 , раздел 8) использовал гипотезы Вейля для доказательства оценок экспоненциальных сумм.
• Ник Кац и Уильям Мессинг ( 1974 ) смогли доказать стандартную гипотезу типа Кюннета над конечными полями, используя доказательство Делиня гипотез Вейля.

Ссылки

• Артин, Эмиль (1924), «Квадратные тела в области высших конгруэнций. II. Аналитическая часть», Mathematical Journal , 19 (1): 207–246, doi : 10.1007/BF01181075 , ISSN   0025-5874 , S2CID   117936362
• Бейлинсон, Александр А .; Бернштейн, Джозеф ; Делинь, Пьер (1982), «Извращенные балки», Анализ и топология сингулярных пространств, I (Luminy, 1981) , Asterisk, vol. 100, Париж: Математическое общество Франции , стр. 5–171, МР   0751966
• Делинь, Пьер (1971), «Модульные формы и l-адические представления», Семинар Бурбаки, том. 1968/69 Лекции 347–363 , Конспекты лекций по математике, том. 179, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0058801 , ISBN.  978-3-540-05356-9
• Делинь, Пьер (1974), «Гипотеза Вейля. I» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 43 (43): 273–307, doi : 10.1007/BF02684373 , ISSN   1618-1913 , MR   0340258 , S2CID   12313934 3
• Делинь, Пьер , изд. (1977), Семинар Буа Мари по алгебраической геометрии - Эталь когомологии (SGA 4.5) , Конспекты лекций по математике (на французском языке), том. 569, Берлин: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0091516 , ISBN.  978-0-387-08066-6 , заархивировано из оригинала 15 мая 2009 г. , получено 3 февраля 2010 г.
• Делинь, Пьер (1980), «Гипотеза Вейля. II» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 52 (52): 137–252, doi : 10.1007/BF02684780 , ISSN   1618-1913 , MR   0601520 , S2CID   18976946 9
• Делинь, Пьер ; Кац, Николас (1973), Группы монодромии в алгебраической геометрии. II , Конспекты лекций по математике, Vol. 340, том. 340, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0060505 , ISBN.  978-3-540-06433-6 , МР   0354657
• Дворк, Бернард (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия», American Journal of Mathematics , 82 (3), American Journal of Mathematics, Vol. 82, № 3: 631–648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372974 , MR   0140494
• Пятница, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 13, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-662-02541-3 , ISBN.  978-3-540-12175-6 , МР   0926276
• Гротендик, Александр (1960), «Теория когомологий абстрактных алгебраических многообразий» , Proc. Интерн. Конгресс математики. (Эдинбург, 1958) , Издательство Кембриджского университета , стр. 103–118, MR   0130879
• Гротендик, Александр (1995) [1965], «Формула Лефшеца и рациональность L-функций», Семинар Бурбаки , том. 9, Париж: Математическое общество Франции , стр. 41–55, МР   1608788
• Гротендик, Александр (1972), Группы монодромии в алгебраической геометрии. I , Конспект лекций по математике, Vol. 288, том. 288, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068688 , ISBN.  978-3-540-05987-5 , МР   0354656
• Кац, Николас М. (1976), «Обзор доказательства Делинь гипотезы Римана для многообразий над конечными полями», Математические разработки, вытекающие из проблем Гильберта , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XXVIII, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 275–305, MR   0424822.
• Кац, Николас (2001), «L-функции и монодромия: четыре лекции по Вейлю II» , «Достижения в математике» , 160 (1): 81–132, doi : 10.1006/aima.2000.1979 , MR   1831948
• Кац, Николас М .; Мессинг, Уильям (1974), «Некоторые следствия гипотезы Римана для многообразий над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 23 : 73–77, Bibcode : 1974InMat..23...73K , doi : 10.1007/BF01405203 , ISSN   0020- 9910 , МР   0332791 , С2КИД   121989640
• Kedlaya, Kiran S. (2006), «Преобразования Фурье и P -адик 'weil II' », Compositio Mathematica , 142 (6): 1426–1450, Arxiv : Math/0210149 , DOI : 10.1112/S0010437X06002338 , ISSN   0010-437X , МР   2278753 , S2CID   5233570
• Киль, Рейнхардт; Вайсауэр, Райнер (2001), гипотезы Вейля, извращенные пучки и адическое преобразование Фурье , результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике. 42, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-662-04576-3 , ISBN.  978-3-540-41457-5 , МР   1855066
• Клейман, Стивен Л. (1968), «Алгебраические циклы и гипотезы Вейля», Десять эссе по когомологиям схем , Амстердам: Северная Голландия, стр. 359–386, МР   0292838
• Ленглендс, Роберт П. (1970), «Проблемы теории автоморфных форм» , Лекции по современному анализу и приложениям, III , Конспекты лекций по математике, том. 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 18–61, doi : 10.1007/BFb0079065 , ISBN.  978-3-540-05284-5 , МР   0302614
• Лаумон, Жерар (1987), «Преобразование Фурье, константы функциональных уравнений и гипотеза Вейля» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 65 (65): 131–210, doi : 10.1007/BF02698937 , ISSN   1618-1913 , MR   0908218 , S2CID   119951352
• Лефшец, Соломон (1924), Анализ положения и алгебраическая геометрия , Сборник монографий, опубликованных под руководством М. Эмиля Бореля (на французском языке), Париж: Готье-Виллар, перепечатано в Лефшец, Соломон (1971), Избранные статьи , Нью-Йорк: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7 , МР   0299447
• Мазур, Барри (1974), «Собственные значения Фробениуса, действующие на алгебраические многообразия над конечными полями», в Хартшорне, Робин (ред.), Алгебраическая геометрия, Arcata 1974 , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 29, ISBN  0-8218-1429-Х
• Морено, О. (2001) [1994], «Граница Бомбьери – Вейля» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Рэнкин, Роберт А .; Харди, GH (1939), «Вклад в теорию функции Рамануджана τ и подобных арифметических функций. II. Порядок коэффициентов Фурье целочисленных модульных форм», Труды Кембриджского философского общества , 35 (3): 357–372 , Bibcode : 1939PCPS...35..357R , doi : 10.1017/S0305004100021101 , MR   0000411 , S2CID   251097961
• Серр, Жан-Пьер (1960), «Аналоги определённых гипотез де Вейля», Анналы математики , вторая серия, 71 (2), Анналы математики, Vol. 71, № 2: 392–394, doi : 10.2307/1970088 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1970088 , MR   0112163
• Серр, Жан-Пьер (1975), «Правильные значения эндоморфизмов Фробениуса [по П. Делинь]», Семинар Бурбаки, том. 1973/74 Лекции 436–452 , Конспекты лекций по математике, том. 431, с. 190–204, номер домена : 10.1007/BFb0066371 , ISBN.  978-3-540-07023-8
• Вердье, Жан-Луи (1974), «Независимость от ℓ многочленов, характерных для эндоморфизмов Фробениуса ℓ-адических когомологий», Bourbaki Seminar vol. 1972/73 Лекции 418–435 , Конспекты лекций по математике, том. 383, Springer Berlin/Heidelberg, стр. 98–115, номер домена : 10.1007/BFb0057304 , ISBN.  978-3-540-06796-2
• Вейль, Андре (1949), «Числа решений уравнений в конечных полях» , Бюллетень Американского математического общества , 55 (5): 497–508, doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 , ISSN   0002 -9904 , MR   0029393 Перепечатано в Oeuvres Scientifiques/Сборник статей Андре Вейля. ISBN   0-387-90330-5
• Виттен, Эдвард (1982), «Суперсимметрия и теория Морса», Журнал дифференциальной геометрии , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492 , ISSN   0022-040X , MR   0683171