L-функция Артина

В математике Артина , L -функция — это тип ряда Дирихле связанного с линейным представлением ρ Галуа G. группы Эти функции были введены в 1923 году Эмилем Артином в связи с его исследованиями в области теории полей классов . Их фундаментальные свойства, в частности описанная ниже гипотеза Артина , оказались не поддающимися простому доказательству. Одна из целей предлагаемой неабелевой теории полей классов функций Артина состоит в том, чтобы включить комплексно-аналитическую природу L- в более широкую структуру, например, предоставляемую автоморфными формами и программой Ленглендса . Пока лишь малая часть такой теории получила прочную основу.

Определение

Данный $\rho$, представление $G$ в конечномерном комплексном векторном пространстве $V$, где $G$ есть группа Галуа конечного расширения $L/K$ числовых полей, Artin $L$-функция $L(\rho ,s)$определяется произведением Эйлера . Для каждого простого идеала ${\mathfrak {p}}$ в $K$В кольце целых чисел существует фактор Эйлера, который легче всего определить в случае, когда ${\mathfrak {p}}$ неразветвлен ​ в $L$ (верно почти для всех ${\mathfrak {p}}$). В этом случае элемент Фробениуса $\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})$ определяется как класс сопряженности в $G$. Следовательно, характеристический полином $\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))$четко определен. Фактор Эйлера для ${\mathfrak {p}}$ представляет собой небольшую модификацию характеристического полинома, столь же четко определенного,

$\operatorname {charpoly} (\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})))^{-1}=\operatorname {det} \left[I-t\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))\right]^{-1},$

как рациональная функция по t , оцениваемая при $t=N({\mathfrak {p}})^{-s}$, с $s$комплексная переменная в обычных обозначениях дзета-функции Римана . (Здесь N — полевая норма идеала.)

Когда ${\mathfrak {p}}$ разветвлено, а I — группа инерции , являющаяся подгруппой G , применяется аналогичная конструкция, но к подпространству V фиксированному (поточечно) I. ,

L-функция Артина $L(\rho ,s)$ тогда это бесконечное произведение по всем простым идеалам ${\mathfrak {p}}$этих факторов. Как показывает взаимность Артина , когда G — абелева группа , эти L -функции имеют второе описание (как Дирихле, L -функции когда K — поле рациональных чисел , и как Гекке L -функции вообще). Новизной являются неабелевы группы G и их представления.

Одним из приложений является факторизация дзета-функций Дедекинда , например, в случае числового поля Галуа над рациональными числами. В соответствии с разложением регулярного представления на неприводимые представления такая дзета-функция распадается в произведение L -функций Артина для каждого неприводимого представления G . Например, простейший случай — когда G — симметрическая группа из трех букв. Поскольку G имеет неприводимое представление степени 2, L -функция Артина для такого представления входит в квадрат при факторизации дзета-функции Дедекинда для такого числового поля в произведение с дзета-функцией Римана (для тривиальное представление ) и L -функцию типа Дирихле для сигнатурного представления.

Точнее для $L/K$ расширение Галуа степени n , факторизация

$\zeta _{L}(s)=L(s,\rho _{\text{regular}})=\prod _{\rho {\text{ Irr rep }}{\text{Gal}}(L/K)}L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}$

следует из

$L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){|V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}$

$-\log \det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}$

$\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho ){\text{tr}}(\rho (\sigma ))={\begin{cases}n&\sigma =1\\0&\sigma \neq 1\end{cases}}$

$-\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[I-N\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]$

где $\deg(\rho )$ – кратность неприводимого представления в регулярном представлении, f порядок – $\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}$ и n заменяется на n/e в разветвленных простых числах.

Поскольку характеры являются ортонормированным базисом функций класса , после показа некоторых аналитических свойств $L(\rho ,s)$ мы получаем теорему плотности Чеботарева как обобщение теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях .

Функциональное уравнение

L-функции Артина удовлетворяют функциональному уравнению . Функция $L(\rho ,s)$ связана по своим значениям с $L(\rho ^{*},1-s)$, где $\rho ^{*}$обозначает комплексно-сопряженное представление . Точнее, L заменяется на $\Lambda (\rho ,s)$, что представляет собой L , умноженное на определенные гамма-множители , и тогда возникает уравнение мероморфных функций

$\Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)$,

с некоторым комплексным числом W (ρ) по модулю 1. Это корневое число Артина . Оно было глубоко изучено в отношении двух типов свойств. Во-первых, Роберт Ленглендс и Пьер Делинь установили факторизацию на локальные константы Ленглендса-Делиня ; это важно в отношении гипотетических отношений с автоморфными представлениями . Кроме того, случай, когда ρ и ρ* являются эквивалентными представлениями, — это именно тот случай, когда функциональное уравнение имеет одну и ту же L-функцию с каждой стороны. С алгебраической точки зрения это тот случай, когда ρ является вещественным представлением или кватернионным представлением . Тогда число корня Артина равно либо +1, либо -1. Вопрос о том, какой знак встречается, связан с теорией модулей Галуа .

Артина

Гипотеза Артина об L-функциях Артина утверждает, что L-функция Артина $L(\rho ,s)$ нетривиального неприводимого представления ρ аналитично во всей комплексной плоскости.

Это известно для одномерных представлений, где L-функции затем связываются с символами Гекке , и, в частности, для L-функций Дирихле . В более общем плане Артин показал, что гипотеза Артина верна для всех представлений, порожденных одномерными представлениями. Если группа Галуа сверхразрешима или, в более общем смысле, мономиальна , то все представления имеют такую ​​форму, поэтому гипотеза Артина верна.

Андре Вейль доказал гипотезу Артина в случае функциональных полей .

Двумерные изображения классифицируются по характеру подгруппы изображений: они могут быть циклическими, двугранными, тетраэдрическими, октаэдрическими или икосаэдрическими. Гипотеза Артина для циклического или диэдрального случая легко следует из Эриха Хекке работы . Ленглендс использовал подъем с изменением основания, чтобы доказать тетраэдрический случай, а Джеррольд Таннелл расширил свою работу, чтобы охватить октаэдрический случай; Эндрю Уайлс использовал эти случаи в своем доказательстве гипотезы модульности . Ричард Тейлор и другие добились некоторого прогресса в (неразрешимом) случае икосаэдра; это активная область исследований. Гипотеза Артина о нечетных, неприводимых двумерных представлениях следует из доказательства гипотезы модулярности Серра независимо от подгруппы проективных изображений.

Из теоремы Брауэра об индуцированных характерах следует, что все L-функции Артина являются произведениями положительных и отрицательных целых степеней L-функций Гекке и, следовательно, мероморфны во всей комплексной плоскости.

Ленглендс (1970) указал, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов философии Ленглендса , касающихся L-функций, связанных с автоморфными представлениями для GL(n) для всех $n\geq 1$. Точнее, гипотезы Ленглендса связывают автоморфное представление группы аделей GL _n ( A _Q ) с каждым n -мерным неприводимым представлением группы Галуа, которое является каспидальным представлением , если представление Галуа неприводимо, такое, что L-представление Артина функция представления Галуа совпадает с автоморфной L-функцией автоморфного представления. Тогда гипотеза Артина непосредственно следует из известного факта, что L-функции каспидальных автоморфных представлений голоморфны. Это было одной из главных мотиваций работы Ленглендса.

Гипотеза Дедекинда

Более слабая гипотеза (иногда известная как гипотеза Дедекинда) утверждает, что если M / K — расширение числовых полей , то фактор $s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)$ их дзета-функций Дедекинда цела.

Теорема Араматы-Брауэра утверждает, что гипотеза верна, если M / K является галуа.

В более общем смысле, пусть N будет замыканием Галуа M над K , и G группа Галуа N / K . Частное $s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)$равен L-функции Артина, ассоциированные с естественным представлением, ассоциированным с действие G на K комплексное вложение -инвариантов M . Таким образом, гипотеза Артина влечет за собой гипотезу Дедекинда.

Гипотеза была доказана, когда G является разрешимой группой , независимо Кодзи Учидой и Р.В. ван дер Ваалом в 1975 году.

См. также

• Эквивариантная L-функция

Библиография

• Артин, Э. (1923). «О новом типе серии L». Хамб. Математика . 3 . Перепечатано в его собрании сочинений. ISBN   0-387-90686-X . Английский перевод в «Артине L-функции: исторический подход » Н. Снайдера.
• Артин, Эмиль (1930), «К теории L-рядов с общими групповыми характерами», Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке), 8 : 292–306, doi : 10.1007/BF02941010 , JFM   56.0173.02 , S2CID   120987633
• Таннелл, Джеррольд (1981). «Гипотеза Артина для представлений октаэдрического типа» . Бык. амер. Математика. Соц . НС 5 (2): 173–175. дои : 10.1090/S0273-0979-1981-14936-3 .
• Гелбарт, Стивен (1977). «Автоморфные формы и гипотеза Артина». Модульные функции одной переменной, VI (Труды Второй международной конференции, Боннский университет, Бонн, 1976) . Конспект лекций по математике. Том. 627. Берлин: Шпрингер. стр. 241–276.
• Ленглендс, Роберт (1967). «Письмо профессору Вейлю» .
• Ленглендс, Роберт П. (1970). «Проблемы теории автоморфных форм». Лекции по современному анализу и приложениям, III . Конспект лекций по математике. Том. 170. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . стр. 18–61. дои : 10.1007/BFb0079065 . ISBN  978-3-540-05284-5 . МР   0302614 .
• Мартине, Дж. (1977). «Теория характеров и L-функции Артина». В Фрелихе, А. (ред.). Алгебраические числовые поля, Учеб. Симп. Лондонская математика. соц., ун-т. Дарем, 1975 год . Академическая пресса. стр. 1–87. ISBN  0-12-268960-7 . Збл   0359.12015 .
• Перлис, Р. (2001) [1994], «Корневые числа Артина» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Прасад, Дипендра; Йогананда, CS (2000). «Отчет о гипотезе голоморфности Артина». В Бамбе, РП; Думир, ВК; Ханс-Гилл, Р.Дж. (ред.). Теория чисел (PDF) . Биркхойзер Базель. стр. 301–314. дои : 10.1007/978-3-0348-7023-8_16 . ISBN  978-3-0348-7023-8 .