Адельная алгебраическая группа

В абстрактной алгебре адельная алгебраическая группа — это полутопологическая группа, определяемая алгебраической группой G над числовым полем K и кольцом аделей A = A ( K ) K. поля Он состоит из точек G, имеющих значения в A ; определение подходящей топологии является прямым только в случае, если G — линейная алгебраическая группа . В случае, когда G является абелевым многообразием , это представляет собой техническое препятствие, хотя известно, что эта концепция потенциально полезна в связи с числами Тамагавы. Адельные алгебраические группы широко используются в теории чисел , особенно в теории автоморфных представлений и арифметике квадратичных форм .

В случае, если G — линейная алгебраическая группа, это аффинное алгебраическое многообразие в аффинном N -пространстве. Топология адельной алгебраической группы $G(A)$ в качестве топологии подпространства в A ^Н, декартово произведение N копий кольца аделей. В этом случае, $G(A)$ является топологической группой.

История терминологии

Исторически idèles ( / ɪ ˈ d ɛ l z / ) были введены Шевалле ( 1936 ) под названием «élément idéal», что на французском языке означает «идеальный элемент», который Шевалле (1940) затем сократил до «idèle» после предложение Хассе. (В этих статьях он также дал иделям нехаусдорфову топологию .) Целью этой работы было сформулировать теорию полей классов для бесконечных расширений в терминах топологических групп. Вейль (1938) определил (но не назвал) кольцо аделей в случае функционального поля и указал, что группа Idealelemente Шевалле представляет собой группу обратимых элементов этого кольца. Тейт (1950) определил кольцо аделей как ограниченное прямое произведение, хотя он назвал его элементы «векторами оценки», а не аделями.

Шевалле (1951) определил кольцо аделей в случае функционального поля под названием «перераспределения»; современный термин adèle означает «аддитивные идели», а также может быть именем француженки. Термин «адель» стал использоваться вскоре после этого ( Jaffard 1953 ) и, возможно, был введен Андре Вейлем . Общая конструкция адельных алгебраических групп Оно (1957) следовала теории алгебраических групп, основанной Арманом Борелем и Хариш-Чандрой .

Идель

Важным примером является группа иделей (группа идеальных элементов) I ( K ), это случай $G=GL_{1}$ . Здесь множество иделей состоит из обратимых аделей; но топология группы иделей не является их топологией как подмножества аделей. Вместо этого, учитывая, что $GL_{1}$ лежит в двумерном аффинном пространстве как « гипербола », параметрически определяемая формулой

\{(t,t^{-1})\},

топология, правильно присвоенная группе иделей, - это топология, индуцированная включением в A ²; из композиции с проекцией следует, что идели имеют более тонкую топологию, чем топология подпространства из A .

Внутри А ^Н, произведение К ^Н лежит как дискретная подгруппа . Это означает, что G ( K ) также является дискретной подгруппой G ( A ). В случае группы иделей факторгруппа

I(K)/K^{\times }\,

это группа класса idele . Она тесно связана с идеальной классовой группой (хотя и превосходит ее) . Группа классов idele сама по себе не компактна; идели необходимо сначала заменить иделями нормы 1, а затем образ таковых в группе классов иделей будет компактной группой ; доказательство этого по существу эквивалентно конечности числа классов.

Исследование когомологий Галуа групп идельных классов — центральный вопрос теории полей классов . Персонажи группы классов idele, которые теперь обычно называются персонажами Гекке или персонажами Грёсена, дают начало самому основному классу L-функций .

Числа Тамагавы

Для более общего G число Тамагавы определяется (или косвенно вычисляется) как мера

Г ( А ) / Г ( К ).

Наблюдение Цунео Тамагавы заключалось в том, что, начиная с инвариантной дифференциальной формы ω на G , определенной над K , используемая мера была четко определена : в то время как ω можно было заменить на c ω с c ненулевым элементом K , произведение Формула для оценок в K отражается независимостью от c меры частного для меры произведения, построенной из ω на каждом эффективном факторе. Вычисление чисел Тамагавы для полупростых групп содержит важные части классической теории квадратичных форм .

См. также

Кольцо Адели

Ссылки

Шевалле, Клод (1936), «Обобщение теории поля классов для бесконечных расширений», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке), 15 : 359–371, JFM 62.1153.02
Шевалле, Клод (1940), «Теория корпусов классов», Анналы математики , вторая серия, 41 (2): 394–418, doi : 10.2307/1969013 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1969013 , MR 0002357
Шевалле, Клод (1951), Введение в теорию алгебраических функций одной переменной , Математические обзоры, № VI, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR 0042164
Жаффар, Поль (1953), кольца Адель (по Ивасаве) , Семинар Бурбаки, Математический секретариат, Париж, MR 0157859
Оно, Такаши (1957), «Об арифметическом свойстве коммутативных алгебраических групп» , Bulletin de la Société Mathématique de France , 85 : 307–323, doi : 10.24033/bsmf.1491 , ISSN 0037-9484 , MR 0094362
Тейт, Джон Т. (1950), «Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке», Алгебраическая теория чисел (Proc. Training Conf., Брайтон, 1965) , Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 305–347, ISBN 978-0-9502734-2-6 , МР 0217026
Вейль, Андре (1938), «К алгебраической теории алгебраических функций». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 179 : 129–133, doi : 10.1515/crll.1938.179.129 , ISSN 0075-4102 , S2CID 116472982

Внешние ссылки

Рапинчук, А.С. (2001) [1994], «Число Тамагавы» , Энциклопедия Математики , EMS Press