Дискретная группа

Целые числа со своей обычной топологией представляют собой дискретную подгруппу действительных чисел.

В математике G топологическая группа называется дискретной группой, если в ней нет предельной точки (т. е. для каждого элемента в G существует окрестность, содержащая только этот элемент). Эквивалентно, группа G дискретна тогда и только тогда, когда единица изолирована ее .

Подгруппа если H топологической группы G называется дискретной подгруппой, H дискретна , когда наделена топологией подпространства из G . существует окрестность единицы, Другими словами, в G не содержащая других элементов из H . Например, числа целые Z образуют дискретную подгруппу действительных чисел R ( со стандартной метрической топологией ), а рациональные числа Q — нет.

Любую группу можно наделить дискретной топологией , что делает ее дискретной топологической группой. Поскольку каждое отображение дискретного пространства является непрерывным , топологические гомоморфизмы между дискретными группами — это в точности групповые гомоморфизмы между базовыми группами. Следовательно, существует изоморфизм между категорией групп и категорией дискретных групп. Таким образом, дискретные группы можно идентифицировать с лежащими в их основе (нетопологическими) группами.

Бывают случаи, когда топологическая группа или группа Ли с пользой наделяются дискретной топологией «против природы». Это происходит, например, в теории компактификации Бора и в теории групповых когомологий групп Ли.

Дискретная группа изометрий — это такая группа изометрий, что для каждой точки метрического пространства множество образов точки под изометриями представляет собой дискретное множество . Дискретная группа симметрии — это группа симметрии, которая является дискретной группой изометрии.

Свойства

Поскольку топологические группы однородны , достаточно посмотреть только в одну точку, чтобы определить, является ли топологическая группа дискретной. В частности, топологическая группа дискретна только в том случае, если одиночный элемент, содержащий единицу, является открытым множеством .

Дискретная группа — это то же самое, что и нульмерная группа Ли ( несчетные дискретные группы не являются вторично-счетными , поэтому авторы, которые требуют, чтобы группы Ли обладали этим свойством, не считают эти группы группами Ли). Единичный компонент дискретной группы — это просто тривиальная подгруппа , тогда как группа компонентов изоморфна самой группе.

Поскольку единственной топологией Хаусдорфа на конечном множестве является дискретная, конечная топологическая группа Хаусдорфа обязательно должна быть дискретной. Отсюда следует, что каждая конечная подгруппа хаусдорфовой группы дискретна.

Дискретная подгруппа H группы G называется кокомпактной , если существует компактное подмножество K группы G такое, что HK = G .

Дискретные нормальные подгруппы играют важную роль в теории накрывающих групп и локально изоморфных групп . Дискретная нормальная подгруппа связной группы G обязательно лежит в центре G , и, следовательно абелева .

Другие свойства :

• каждая дискретная группа полностью несвязна
• каждая подгруппа дискретной группы дискретна.
• каждый фактор дискретной группы дискретен.
• произведение конечного числа дискретных групп дискретно.
• дискретная группа компактна тогда и только тогда, когда она конечна.
• каждая дискретная группа локально компактна .
• каждая дискретная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута.
• каждая дискретная подгруппа компактной хаусдорфовой группы конечна.

Примеры

• Группы фриза и группы обоев представляют собой дискретные подгруппы группы изометрии евклидовой плоскости. Группы обоев компактны, а группы Frieze — нет.
• Кристаллографическая группа обычно означает кокомпактную дискретную подгруппу изометрий некоторого евклидова пространства. Однако иногда кристаллографическая группа может быть кокомпактной дискретной подгруппой нильпотентной или разрешимой группы Ли .
• Каждая группа треугольников T является дискретной подгруппой группы изометрий сферы (когда T конечна), евклидовой плоскости (когда T имеет подгруппу Z + Z конечного индекса ) или гиперболической плоскости .
• Фуксовы группы по определению являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболической плоскости.
  • Фуксова группа, сохраняющая ориентацию и действующая на модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости, является дискретной подгруппой группы Ли PSL(2, R ), группы сохраняющих ориентацию изометрий модели верхней полуплоскости гиперболической плоскости. самолет.
  • Фуксову группу иногда рассматривают как частный случай клейновой группы путем изометрического вложения гиперболической плоскости в трехмерное гиперболическое пространство и распространения действия группы на плоскости на все пространство.
  • Модулярная группа PSL(2, Z ) рассматривается как дискретная подгруппа PSL(2, R ). Модульная группа представляет собой решетку в PSL(2, R ), но она не кокомпактна.
• Клейновы группы по определению являются дискретными подгруппами группы изометрий гиперболического 3-пространства . К ним относятся квазифуксовы группы .
  • Клейнинова группа, сохраняющая ориентацию и действующая на модели верхнего полупространства гиперболического 3-пространства, является дискретной подгруппой группы Ли PSL(2, C ), группы сохраняющих ориентацию изометрий модели верхнего полупространства гиперболического 3- пространства. -космос.
• Решетка — это в группе Ли дискретная подгруппа такая, что мера Хаара фактор-пространства конечна.

См. также

• кристаллографическая точечная группа
• конгруэнтная подгруппа
• арифметическая группа
• геометрическая теория групп
• вычислительная теория групп
• свободно прерывистый
• бесплатный стандартный набор

Ссылки

• Понтрягин, Леон (1946). Топологические группы . Издательство Принстонского университета .
• «Дискретная группа преобразований» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Дискретная подгруппа» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с дискретными группами, на Викискладе?