Гиперболическое пространство

В математике , гиперболическое пространство размерности n — это единственное односвязное - n мерное риманово многообразие постоянной секционной кривизны равной −1. ^[1] Оно однородно и удовлетворяет более сильному свойству симметричности пространства . Существует много способов построить его как открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ с явно написанной римановой метрикой; такие конструкции называются моделями. Гиперболическое 2-пространство, H ², который был изучен первым экземпляром, также называется гиперболической плоскостью .

Его также иногда называют пространством Лобачевского или пространством Бояи-Лобачевского по имени автора, впервые опубликовавшего информацию на тему гиперболической геометрии . Иногда добавляется квалификационное слово «реальный», чтобы отличить его от комплексных гиперболических пространств , кватернионных гиперболических пространств и октононных гиперболических плоскостей , которые являются другими симметричными пространствами отрицательной кривизны.

Гиперболическое пространство служит прототипом гиперболического пространства Громова , которое представляет собой далеко идущую идею, включающую дифференциально-геометрические, а также более комбинаторные пространства посредством синтетического подхода к отрицательной кривизне. Другое обобщение — это понятие пространства CAT(−1) .

и модели Формальное определение

Определение [ править ]

The $n$ -мерное гиперболическое пространство или гиперболическое $n$ -space , обычно обозначается $\mathbb {H} ^{n}$ , является единственным односвязным, $n$ -мерное полное риманово многообразие с постоянной отрицательной секционной кривизной, равной −1. ^[1] Единственность означает, что любые два римановых многообразия, удовлетворяющие этим свойствам, изометричны друг другу. Это следствие теоремы Киллинга–Хопфа .

Модели гиперболического пространства [ править ]

Чтобы доказать существование такого пространства, как описано выше, его можно явно построить, например, как открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ с римановой метрикой, заданной простой формулой. Существует множество таких конструкций или моделей гиперболического пространства, каждая из которых подходит для разных аспектов его изучения. Они изометричны друг другу согласно предыдущему абзацу, и в каждом случае может быть явно задана явная изометрия. Вот список наиболее известных моделей, которые более подробно описаны в одноименных статьях:

Модель полуплоскости Пуанкаре : это верхнее полупространство. $\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}>0\}$ с метрикой ${\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{x_{n}^{2}}}$
Модель диска Пуанкаре : это единичный шар $\mathbb {R} ^{n}$ с метрикой $4{\tfrac {dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{n}^{2}}{(1-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}))^{2}}}$ . Изометрия модели полупространства может быть реализована с помощью гомографии, отправляющей точку единичной сферы в бесконечность.
Гиперболоидная модель : в отличие от двух предыдущих моделей реализует гиперболическую модель. $n$ -пространство как изометрически встроенное внутрь $(n+1)$ -мерное пространство Минковского (которое является не римановым, а лоренцевым многообразием ). Точнее, глядя на квадратичную форму $q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}$ на $\mathbb {R} ^{n+1}$ , его ограничение на касательные пространства верхнего листа гиперболоида, заданного формулой $q(x)=-1$ определенно положительны, поэтому они наделяют его римановой метрикой, которая оказывается постоянной кривизны −1. Изометрию предыдущих моделей можно реализовать путем стереографической проекции гиперболоида на плоскость. $\{x_{n+1}=0\}$ , беря вершину, из которой нужно проецировать, $(0,\ldots ,0,1)$ для шара и бесконечной точки в конусе $q(x)=0$ внутри проективного пространства полупространства.
Модель Бельтрами – Клейна : это еще одна модель, реализованная на единичном шаре $\mathbb {R} ^{n}$ ; вместо того, чтобы задаваться как явная метрика, ее обычно представляют как полученную с помощью стереографической проекции модели гиперболоида в пространстве Минковского на ее горизонтальную касательную плоскость (т.е. $x_{n+1}=1$ ) от происхождения $(0,\ldots ,0)$ .
Симметричное пространство: гиперболическое $n$ -пространство можно реализовать как симметрическое пространство простой группы Ли. $\mathrm {SO} (n,1)$ (группа изометрий квадратичной формы $q$ с положительным определителем); как набор последний является смежным пространством $\mathrm {SO} (n,1)/\mathrm {O} (n)$ . Изометрия модели гиперболоида осуществляется непосредственно за счет действия связного компонента $\mathrm {SO} (n,1)$ на гиперболоиде.

Геометрические свойства [ править ]

Параллельные линии [ править ]

Гиперболическое пространство, независимо разработанное Николаем Лобачевским , Яношем Бойяи и Карлом Фридрихом Гауссом , представляет собой геометрическое пространство, аналогичное евклидову пространству , но такое, что постулат о параллельности Евклида больше не считается верным. Вместо этого постулат параллельности заменяется следующей альтернативой (в двух измерениях):

Для любой прямой L и точки P, не лежащей на L проходят как минимум две различные прямые , через P которые не пересекают L. ,

Тогда теорема состоит в том, что таких прямых, проходящих через P, бесконечно много . Эта аксиома еще не характеризует однозначно гиперболическую плоскость с точностью до изометрии ; существует дополнительная константа, кривизна K < 0 , которую необходимо указать. Однако оно однозначно характеризует его с точностью до гомотети , то есть до биекций, которые меняют понятие расстояния только на общую константу. Таким образом, выбрав подходящий масштаб длины, можно без ограничения общности предположить, что K = −1 .

Евклидовы вложения [ править ]

Гиперболическая плоскость не может быть изометрически вложена в евклидово 3-пространство по теореме Гильберта . С другой стороны, из теоремы вложения Нэша следует, что гиперболическое n-пространство может быть изометрически вложено в некоторое евклидово пространство большей размерности (5 для гиперболической плоскости по теореме вложения Нэша).

При изометрическом вложении в евклидово пространство каждая точка гиперболического пространства является седловой точкой .

и изопериметрическое неравенство Рост объема

Объем шаров в гиперболическом пространстве увеличивается экспоненциально по отношению к радиусу шара, а не полиномиально, как в евклидовом пространстве. А именно, если $B(r)$ это любой шар радиуса $r$ в $\mathbb {H} ^{n}$ затем:

\mathrm {Vol} (B(r))=\mathrm {Vol} (S^{n-1})\int _{0}^{r}\sinh ^{n-1}(t)dt

где

S^{n-1}

это полный объём евклидовой

(n-1)

-сфера радиуса 1.

Гиперболическое пространство также удовлетворяет линейному изопериметрическому неравенству , то есть существует константа $i$ такой, что любой встроенный диск, граница которого имеет длину $r$ имеет площадь не более $i\cdot r$ . Это следует противопоставить евклидову пространству, где изопериметрическое неравенство является квадратичным.

Другие свойства метрики [ править ]

Есть еще много метрических свойств гиперболического пространства, которые отличают его от евклидова пространства. Некоторые из них можно обобщить на ситуацию с гиперболическими пространствами Громова, что является обобщением понятия отрицательной кривизны на общие метрические пространства с использованием только крупномасштабных свойств. Более тонкое понятие — это CAT(−1)-пространство.

Гиперболические многообразия [ править ]

Каждое полное связное односвязное многообразие пространству постоянной отрицательной кривизны −1 изометрично вещественному гиперболическому H. ^н. В результате универсальное накрытие любого замкнутого многообразия M постоянной отрицательной кривизны −1, т. е. гиперболического многообразия , есть H ^н. Таким образом, каждое такое M можно записать как H ^н‍/ , без кручения где Γ — дискретная группа изометрий ‍ Γ на H ^н. То есть Γ является решеткой в SO ⁺( п , 1) .

Римановы поверхности [ править ]

Двумерные гиперболические поверхности также можно понимать на языке римановых поверхностей . Согласно теореме об униформизации , каждая риманова поверхность является эллиптической, параболической или гиперболической. Большинство гиперболических поверхностей имеют нетривиальную фундаментальную группу π ₁ = Γ ; группы, возникающие таким образом, известны как фуксовы группы . Факторпространство H ²‍/ ‍ Γ верхней полуплоскости по модулю фундаментальной группы известна как фуксова модель гиперболической поверхности. Полуплоскость Пуанкаре также гиперболична, но односвязна и некомпактна . Это универсальное покрытие других гиперболических поверхностей.

Аналогичной конструкцией для трехмерных гиперболических поверхностей является модель Клейна .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Сноски [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Григорьян, Александр; Ногучи, Масакадзу (1998), «Тепловое ядро в гиперболическом пространстве», Бюллетень Лондонского математического общества , 30 (6): 643–650, doi : 10.1112/S0024609398004780 , MR 1642767

Библиография [ править ]

Рэтклифф, Джон Г., Основы гиперболических многообразий , Нью-Йорк, Берлин. Спрингер-Верлаг, 1994.
Рейнольдс, Уильям Ф. (1993) «Гиперболическая геометрия на гиперболоиде», American Mathematical Monthly 100:442–455.
Вольф, Джозеф А. Пространства постоянной кривизны , 1967. См. стр. 67.

[gn98-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Григорьян, Александр; Ногучи, Масакадзу (1998), «Тепловое ядро в гиперболическом пространстве», Бюллетень Лондонского математического общества , 30 (6): 643–650, doi : 10.1112/S0024609398004780 , MR 1642767

[1]