Комплексное гиперболическое пространство

В математике гиперболическое комплексное пространство — это эрмитово многообразие, которое является эквивалентом реального гиперболического пространства в контексте комплексных многообразий. Комплексное гиперболическое пространство представляет собой кэлерово многообразие и характеризуется тем, что является единственным односвязным кэлеровым многообразием которого , голоморфная секционная кривизна постоянна и равна -1. Его основное риманово многообразие имеет непостоянную отрицательную кривизну, зажатую между -1 и -1/4 (или -4 и -1, в зависимости от выбора нормализации метрики): в частности, это CAT(-1 /4) пространство .

Комплексные гиперболические пространства также являются симметрическими пространствами, связанными с группами Ли. $PU(n,1)$ . Они составляют одно из трёх семейств симметричных пространств ранга один некомпактного типа вместе с вещественными и кватернионными гиперболическими пространствами, к классификации которых необходимо добавить одно исключительное пространство — плоскость Кэли.

Построение комплексного гиперболического пространства

Проективная модель

Позволять $\langle u,v\rangle :=-u_{1}{\overline {v_{1}}}+u_{2}{\overline {v_{2}}}+\dots +u_{n+1}{\overline {v_{n+1}}}$ быть псевдоэрмитовой формой подписи $(n,1)$ в комплексном векторном пространстве $\mathbb {C} ^{n+1}$ . Проективная модель комплексного гиперболического пространства представляет собой проективизированное пространство всех отрицательных векторов этой формы: $\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}=\{[\xi ]\in \mathbb {CP} ^{n}|\langle \xi ,\xi \rangle <0\}.$

Как открытое множество комплексного проективного пространства, это пространство наделено структурой комплексного многообразия . Он биголоморфен единичному шару $\mathbb {C} ^{n}$ , как можно увидеть, заметив, что отрицательный вектор должен иметь ненулевую первую координату и, следовательно, имеет уникального представителя с первой координатой, равной 1, в проективном пространстве . Состояние $\langle \xi ,\xi \rangle <0$ когда $\xi =(1,x_{1},\dots ,x_{n+1})\in \mathbb {C} ^{n+1}$ эквивалентно $\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}<1$ . Карта, передающая точку $(x_{1},\dots ,x_{n})$ единичного шара $\mathbb {C} ^{n}$ в точку $[1:x_{1}:\dots :x_{n}]$ проективного пространства определяет, таким образом, требуемый биголоморфизм.

Эта модель является эквивалентом модели диска Пуанкаре . В отличие от реального гиперболического пространства, комплексное проективное пространство нельзя определить как лист гиперболоида. $\langle x,x\rangle =-1$ , поскольку проекция этого гиперболоида на проективную модель соединила волокна $\mathbb {S} ^{1}$ (волокно, являющееся $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ в реальном случае).

Эрмитова метрика определяется на $\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ следующим образом: если $p\in \mathbb {C} ^{n+1}$ принадлежит конусу $\langle p,p\rangle =-1$ , то ограничение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ в ортогональное пространство $(\mathbb {C} p)^{\perp }\subset \mathbb {C} ^{n+1}$ определяет определенное положительное эрмитово произведение на этом пространстве, и поскольку касательное пространство $\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ в точку $[p]$ естественно можно отождествить с $(\mathbb {C} p)^{\perp }$ , это определяет эрмитово скалярное произведение на $T_{[p]}\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ . Как видно из вычислений, этот внутренний продукт не зависит от выбора представителя $p$ . Чтобы иметь голоморфную секционную кривизну, равную -1, а не -4, нужно перенормировать эту метрику в коэффициент $1/2$ . Эта метрика является метрикой Кэлера .

Модель уплотнения

Модель Зигеля комплексного гиперболического пространства является подмножеством $(w,z)\in \mathbb {C} \times \mathbb {C} ^{n-1}$ такой, что

i({\bar {w}}-w)>2z{\bar {z}}.

Он биголоморфен единичному шару в $\mathbb {C} ^{n}$ через преобразование Кэли

(w,z)\mapsto \left({\frac {w-i}{w+i}},{\frac {2z}{w+i}}\right).

Граница на бесконечности

В проективной модели комплексное гиперболическое пространство отождествляется с комплексным единичным шаром размерности. $n$ , а его границу можно определить как границу шара, диффеоморфного сфере вещественной размерности $2n-1$ . Это эквивалентно определению: $\partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}=\{[\xi ]\in \mathbb {CP} ^{n}|\langle \xi ,\xi \rangle =0\}.$

Как пространство CAT(0) , комплексное гиперболическое пространство также имеет границу на бесконечности. $\partial _{\infty }\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ . Эта граница совпадает с границей $\partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ только что определил.

Граница комплексного гиперболического пространства естественным образом имеет структуру CR . Эта структура также является стандартной контактной структурой на (нечетной) сфере.

Группа голоморфных изометрий и симметрическое пространство

Группа голоморфных изометрий комплексного гиперболического пространства — это группа Ли $PU(n,1)$ . Эта группа действует транзитивно на комплексном гиперболическом пространстве, а стабилизатор точки изоморфен унитарной группе $U(n)$ . Таким образом, комплексное гиперболическое пространство гомеоморфно однородному пространству. $PU(n,1)/U(n)$ . Стабилизатор $U(n)$ — максимальная компактная подгруппа группы $PU(n,1)$ .

Как следствие, комплексное гиперболическое пространство является римановым симметрическим пространством. $SU(n,1)/S(U(n)\times U(1))$ , ^[1] где $SU(n,1)$ является псевдоунитарной группой.

Группа голоморфных изометрий комплексного гиперболического пространства также действует на границе этого пространства и, таким образом, действует гомеоморфизмами на замкнутом диске. ${\bar {\mathbb {D} }}=\mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}\cup \partial \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ . По теореме Брауэра о неподвижной точке любая голоморфная изометрия комплексного гиперболического пространства должна фиксировать хотя бы одну точку в ${\bar {\mathbb {D} }}$ . Существует классификация изометрий на три типа: ^[2]

Изометрия называется эллиптической, если она фиксирует точку в комплексном гиперболическом пространстве.
Изометрия называется параболической, если она не фиксирует точку в комплексном гиперболическом пространстве и фиксирует единственную точку на границе.
Изометрия называется гиперболической (или локсодромной), если она не фиксирует точку в комплексном гиперболическом пространстве и фиксирует ровно две точки на границе.

Разложение Ивасавы $\mathrm {PU} (n,1)$ это разложение $\mathrm {PU} (n,1)=K\times A\times N$ , где $K=U(n)$ это унитарная группа , $A=\mathbb {R}$ - аддитивная группа действительных чисел и $N={\mathcal {H_{n}}}$ это группа Гейзенберга действительной размерности $2n-1$ . Такое разложение зависит от выбора:

точка $\xi$ на границе комплексного гиперболического пространства ( $N$ тогда является группой унипотентных параболических элементов $\mathrm {PU} (n,1)$ фиксация $\xi$ )
Ориентированная геодезическая линия $\ell$ собираюсь $\xi$ на бесконечности ( $A$ тогда является группой гиперболических элементов $\mathrm {PU} (n,1)$ действуя как перенос вдоль этой геодезической и не имея вращательной части вокруг нее)
Выбор происхождения для $\ell$ , т.е. параметризация единичной скорости $\gamma :\mathbb {R} \to \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ чей образ $\ell$ ( $K$ тогда группа эллиптических элементов $\mathrm {PU} (n,1)$ фиксация $\gamma (0)$ )

Для любого такого разложения $\mathrm {PU} (n,1)$ , действие подгруппы $A\times N$ свободен и транзитивен, следовательно, индуцирует диффеоморфизм $\mathrm {A} \times N\to \mathbb {H} _{\mathbb {C} }^{n}$ . Этот диффеоморфизм можно рассматривать как обобщение модели Зигеля.

Кривизна

Группа голоморфных изометрий $PU(n,1)$ действует транзитивно на касательных комплексных прямых гиперболического комплексного пространства. Вот почему это пространство имеет постоянную голоморфную секционную кривизну , которую можно вычислить равной -4 (с указанной выше нормализацией метрики). Это свойство характеризует гиперболическое комплексное пространство: с точностью до изометрического биголоморфизма существует только одно односвязное полное кэлерово многообразие заданной постоянной голоморфной секционной кривизны . ^[3]

Более того, когда эрмитово многообразие имеет постоянную голоморфную секционную кривизну, равную $k$ , кривизна сечения каждой действительной касательной плоскости $\Pi$ полностью определяется формулой:

$K(\Pi )={\frac {k}{4}}\left(1+3\cos ^{2}(\alpha (\Pi )\right)$

где $\alpha (\Pi )$ это угол между $\Pi$ и $J\Pi$ , т.е. нижняя грань углов между вектором в $\Pi$ и вектор в $J\Pi$ . ^[3] Этот угол равен 0 тогда и только тогда, когда $\Pi$ представляет собой комплексную линию и равна $\pi /2$ тогда и только тогда, когда $\Pi$ совершенно реально. Таким образом, кривизна сечения комплексного гиперболического пространства варьируется от -4 (для комплексных линий) до -1 (для полностью вещественных плоскостей).

В комплексной размерности 1 каждая вещественная плоскость в касательном пространстве представляет собой комплексную линию: таким образом, гиперболическое комплексное пространство размерности 1 имеет постоянную кривизну, равную -1, и по теореме униформизации оно изометрично вещественной гиперболической плоскости. Таким образом, гиперболические комплексные пространства можно рассматривать как еще одно многомерное обобщение гиперболической плоскости, менее стандартное, чем реальные гиперболические пространства. Третье возможное обобщение — однородное пространство. $SL_{n}(\mathbb {R} )/SO_{n}(\mathbb {\mathbb {R} } )$ , который для $n=2$ снова совпадает с гиперболической плоскостью, но становится симметричным пространством ранга больше 1, когда $n\geq 3$ .

Полностью геодезические подпространства

Каждое полностью геодезическое подмногообразие комплексного гиперболического пространства размерности n является одним из следующих:

копия комплексного гиперболического пространства меньшей размерности
копия реального гиперболического пространства действительной размерности меньше $n$

В частности, не существует вполне геодезического подпространства коразмерности 1 комплексного гиперболического пространства.

Связь с другими показателями мяча

На единичном шаре комплексная гиперболическая метрика совпадает с точностью до некоторой скалярной перенормировки с метрикой Бергмана . Отсюда следует, что каждый биголоморфизм шара на самом деле является изометрией комплексной гиперболической метрики.

Комплексная гиперболическая метрика также совпадает с метрикой Кобаяши .

С точностью до перенормировки комплексная гиперболическая метрика является Келером-Эйнштейном , что означает, что ее кривизна Риччи кратна метрике.

См. также

Ссылки

^ Артур Бесс (1987), Многообразия Эйнштейна , Спрингер, с. 180 .
^ Кано, Ангел; Наваррете, Хуан Пабло; Сиде, Хосе (2013). Комплексные клейновские группы .
^ Jump up to: ^а ^б Кобаяши, Сёшичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, вып. 2 . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-15733-3 . OCLC 34259751 .

Голдман, Уильям М. (1999). Сложная гиперболическая геометрия . Оксфорд: Кларендон Пресс. п. хх + 316. ISBN 0-19-853793-Х .

Эта дифференциальной геометрией, статья, связанная с незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Артур Бесс (1987), Многообразия Эйнштейна , Спрингер, с. 180 .

[2] Кано, Ангел; Наваррете, Хуан Пабло; Сиде, Хосе (2013). Комплексные клейновские группы .

[:0-3] Jump up to: ^а ^б Кобаяши, Сёшичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, вып. 2 . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-15733-3 . OCLC 34259751 .

[1]

[2]

[3]