Риманово многообразие

Эта статья о концепции дифференциальной геометрии. Для алгебраической концепции см. Пространство Зариского – Римана .

Не путать с римановой поверхностью .

В дифференциальной геометрии или риманово многообразие риманово пространство ( M , g ) , названное так в честь немецкого математика Бернхарда Римана , представляет собой вещественное , гладкое многообразие M снабженное положительно определенным скалярным произведением g _p на касательном пространстве T _p M в точке каждая точка п .

Семейство g _p скалярных произведений называется римановой метрикой (или римановым метрическим тензором) . Риманова геометрия — это изучение римановых многообразий.

Обычно принято считать g гладким координатной что означает, что для любой гладкой карты ( U , x ) на M n , ² функции

$g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right):U\to \mathbb {R}$

являются гладкими функциями , т. е. бесконечно дифференцируемы. Эти функции обычно обозначаются как $g_{ij}$.

При дальнейших ограничениях на $g_{ij}$ можно также рассмотреть липшицевы римановы метрики или измеримые , среди многих других возможностей римановы метрики.

Риманова метрика ( тензор ) позволяет определить на римановом многообразии несколько геометрических понятий, таких как угол при пересечении, длина кривой , площадь поверхности и многомерные аналоги ( объем и т. д.), внешняя кривизна подмногообразия и внутреннюю кривизну самого многообразия.

Введение

В 1828 году Карл Фридрих Гаусс доказал свою теорему Egregium («замечательная теорема» на латыни), установив важное свойство поверхностей. Неформально теорема гласит, что кривизну поверхности можно полностью определить путем измерения расстояний вдоль путей на поверхности. То есть кривизна не зависит от того, как поверхность может быть встроена в трехмерное пространство. См. Дифференциальная геометрия поверхностей . Бернхард Риман распространил теорию Гаусса на пространства более высокой размерности, называемые многообразиями, таким образом, что позволяет также измерять расстояния и углы и определять понятие кривизны, опять же способом, который присущ многообразию и не зависит от его вложения в пространства более высокой размерности. Альберт Эйнштейн использовал теорию псевдоримановых многообразий (обобщение римановых многообразий) для разработки своей общей теории относительности . В частности, его уравнения гравитации ограничивают кривизну пространства-времени.

Определение

Касательное расслоение многообразия гладкого $M$ назначается каждой точке $p$ из $M$ векторное пространство $T_{p}M$ называется пространством касательным $M$ в $p.$ Риманова метрика (по своему определению) присваивает каждому $p$ положительно определенный внутренний продукт $g_{p}:T_{p}M\times T_{p}M\to \mathbb {R} ,$ вместе с этим приходит норма $|\cdot |_{p}:T_{p}M\to \mathbb {R}$ определяется $|v|_{p}={\sqrt {g_{p}(v,v)}}.$ Гладкое многообразие $M$ наделенный этим показателем $g$ — риманово многообразие , обозначаемое $(M,g)$.

Если задана система гладких локальных координат на $M,$ данный $n$ вещественные функции $(x^{1},\ldots ,x^{n}):U\to \mathbb {R} ^{n},$ векторы

$\left\{{\frac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{p},\dotsc ,{\frac {\partial }{\partial x^{n}}}{\Big |}_{p}\right\}$

составляют основу векторного пространства $T_{p}M,$ для любого $p\in U.$ Относительно этого базиса можно определить «компоненты» метрического тензора в каждой точке. $p$ к

$g_{ij}|_{p}:=g_{p}\left(\left.{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right|_{p},\left.{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right|_{p}\right).$

Их можно рассматривать как $n^{2}$ отдельные функции $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ или как одиночный $n\times n$ матричная функция на $U;$ Обратите внимание, что «риманово» предположение гласит, что оно оценивается в подмножестве, состоящем из симметричных положительно определенных матриц.

В терминах тензорной алгебры метрический тензор можно записать в терминах двойственного базиса {d x ¹ , ..., д х ^н } коткасательного расслоения как

$g=\sum _{i,j}g_{ij}\,\mathrm {d} x^{i}\otimes \mathrm {d} x^{j}.$

Изометрии

Если $(M,g)$ и $(N,h)$ представляют собой два римановых многообразия, причем $f:M\to N$ диффеоморфизм то , $f$ называется изометрией , если $g=f^{\ast }h,$ то есть если

$g_{p}(u,v)=h_{f(p)}(df_{p}(u),df_{p}(v))$

для всех $p\in M$ и $u,v\in T_{p}M.$

Говорят, что карта $f:M\to N,$ не считается диффеоморфизмом, является локальной изометрией , если каждая $p\in M$ имеет открытое окружение $U$ такой, что $f:U\to f(U)$ является изометрией (и, следовательно, диффеоморфизмом).

римановой

Говорят, что риманова метрика $g$ является непрерывным , если $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ непрерывны, если задана любая гладкая координатная карта $(U,x).$ Один говорит, что $g$является гладким , если эти функции являются гладкими при заданной любой гладкой координатной карте. В этом же духе можно было бы рассматривать и многие другие типы римановых метрик.

В большинстве пояснительных изложений римановой геометрии метрики всегда считаются гладкими. Однако могут быть важные причины для рассмотрения менее гладких показателей. В частности, римановы метрики, полученные методами геометрического анализа , могут быть не совсем гладкими. См., например (Громов 1999) и (Ши и Там 2002).

Обзор

Примеры римановых многообразий будут обсуждаться ниже. Знаменитая теорема Джона Нэша гласит, что для любого гладкого риманова многообразия $(M,g),$ есть (обычно большое) число $N$ и вложение $F:M\to \mathbb {R} ^{N}$ такой, что откат на $F$ стандартной римановой метрики на $\mathbb {R} ^{N}$ является $g.$Неформально вся структура гладкого риманова многообразия может быть закодирована диффеоморфизмом некоторого вложенного подмногообразия некоторого евклидова пространства. В этом смысле можно утверждать, что ничего нельзя получить от рассмотрения абстрактных гладких многообразий и их римановых метрик. Однако существует множество естественных гладких римановых многообразий, таких как набор вращений трехмерного пространства и гиперболическое пространство , любое представление которых в виде подмногообразия евклидова пространства не сможет представить их замечательные симметрии и свойства так же ясно, как их абстрактные представления. презентации делают.

Примеры

Евклидово пространство

Позволять $x^{1},\ldots ,x^{n}$ обозначим стандартные координаты на $\mathbb {R} ^{n}.$ Затем определите $g_{p}^{\mathrm {can} }:T_{p}\mathbb {R} ^{n}\times T_{p}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ к

$\left(\sum _{i}a_{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\sum _{j}b_{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\longmapsto \sum _{i}a_{i}b_{i}.$

Другими словами: относительно стандартных координат локальное представление $g_{ij}:U\to \mathbb {R}$ задается постоянным значением $\delta _{ij}.$

Очевидно, что это риманова метрика, и она называется стандартной римановой структурой на $\mathbb {R} ^{n}.$ Его также называют евклидовым пространством размерности n и g _ij. ^может также называется (канонической) евклидовой метрикой .

Встроенные подмногообразия

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие и пусть $N\subset M$ быть вложенным подмногообразием $M,$ что по крайней мере $C^{1}.$ Тогда ограничение g N на векторы, касательные вдоль , риманову метрику над N. определяет

• Например, рассмотрим $S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:(x^{1})^{2}+\cdots +(x^{n})^{2}=1.\},$которое представляет собой гладкое вложенное подмногообразие евклидова пространства со своей стандартной метрикой. Риманова метрика, которую это индуцирует на $S^{n-1}$ называется стандартной метрикой или канонической метрикой на $S^{n-1}.$
• Подобных примеров много. Например, каждый эллипсоид в $\mathbb {R} ^{3}$имеет естественную риманову метрику. График гладкой функции $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ является вложенным подмногообразием и поэтому также имеет естественную риманову метрику.

Погружения

Позволять $(M,g)$ — риманово многообразие и пусть $f:\Sigma \to M$быть дифференцируемым отображением. Тогда можно откат рассмотреть $g$ с помощью $f$, который является симметричным 2-тензором на $\Sigma$ определяется

$(f^{\ast }g)_{p}(v,w)=g_{f(p)}{\big (}df_{p}(v),df_{p}(w){\big )},$

где $df_{p}(v)$ это вперед продвижение $v$ к $f.$

В этой обстановке, как правило, $f^{\ast }g$ не будет римановой метрикой на $\Sigma ,$поскольку оно не является положительно-определенным. Например, если $f$ постоянно, то $f^{\ast }g$равен нулю. Фактически, $f^{\ast }g$ является римановой метрикой тогда и только тогда, когда $f$ является погружением , то есть линейное отображение $df_{p}:T_{p}\Sigma \to T_{f(p)}M$ является инъективным для каждого $p\in \Sigma .$

• Важный пример имеет место, когда $(M,g)$ не является односвязным, так что существует накрывающее отображение ${\widetilde {M}}\to M.$Это погружение, и поэтому универсальное накрытие любого риманова многообразия автоматически наследует риманову метрику. В более общем смысле, но по тому же принципу, любое накрывающее пространство риманова многообразия наследует риманову метрику.
• Кроме того, погруженное подмногообразие риманова многообразия наследует риманову метрику.

Показатели продукта

Позволять $(M,g)$ и $(N,h)$ — два римановых многообразия и рассмотрим декартово произведение $M\times N$с обычной гладкой структурой продукта. Римановы метрики $g$ и $h$ естественно положить риманову метрику ${\widetilde {g}}$ на $M\times N,$ который можно описать несколькими способами.

• Учитывая разложение $T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_{p}M\oplus T_{q}N,$ можно определить

  ${\widetilde {g}}_{p,q}(u\oplus x,v\oplus y)=g_{p}(u,v)+h_{q}(x,y).$

• Позволять $(U,x)$ быть гладкой координатной диаграммой на $M$ и разреши $(V,y)$ быть гладкой координатной диаграммой на $N.$ Затем $(U\times V,(x,y))$ представляет собой гладкую координатную карту на $M\times N.$ Для удобства пусть $\operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}$ обозначаем совокупность положительно определенных симметричных $n\times n$реальные матрицы. Обозначим координатное представление $g$ относительно $(U,x)$ к $g_{U}:U\to \operatorname {Sym} _{m\times m}^{+}$ и обозначим координатное представление $h$ относительно $(V,y)$ к $h_{V}:V\to \operatorname {Sym} _{n\times n}^{+}.$ Тогда локальное координатное представление ${\widetilde {g}}$ относительно $(U\times V,(x,y))$ является ${\widetilde {g}}_{U\times V}:U\times V\to \operatorname {Sym} _{(m+n)\times (m+n)}^{+}$ данный

  $(p,q)\mapsto {\begin{pmatrix}g_{U}(p)&0\\0&h_{V}(q)\end{pmatrix}}.$

Стандартный пример — рассмотреть n -тор $T^{n},$ определить как n -кратное произведение $S^{1}\times \cdots \times S^{1}.$ Если дать каждому экземпляру $S^{1}$ его стандартная риманова метрика, учитывая $S^{1}\subset \mathbb {R} ^{2}$ как вложенное подмногообразие (как указано выше), то можно рассматривать произведение римановой метрики на $T^{n}.$ Его называют плоским тором .

Выпуклые комбинации метрик

Позволять $g_{0}$ и $g_{1}$ две римановы метрики на $M.$ Тогда для любого числа $\lambda \in [0,1],$

${\tilde {g}}:=\lambda g_{0}+(1-\lambda )g_{1}$

также является римановой метрикой на $M.$ В более общем смысле, если $a$ и $b$ любые два положительных числа, то $ag_{0}+bg_{1}$ — еще одна риманова метрика.

метрику

Это фундаментальный результат. Хотя большую часть базовой теории римановых метрик можно разработать, только используя тот факт, что гладкое многообразие локально евклидово, для этого результата необходимо включить в определение «гладкого многообразия», что оно хаусдорфово и паракомпактно. Причина в том, что доказательство использует разбиение единицы .

Доказательство

Позволять $M$ быть дифференцируемым многообразием и $\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\}_{\alpha \in I}$ так локально конечный атлас , что $U_{\alpha }\subseteq M$ являются открытыми подмножествами и $\varphi _{\alpha }\colon U_{\alpha }\to \varphi _{\alpha }(U_{\alpha })\subseteq \mathbf {R} ^{n}$являются диффеоморфизмами. Такой атлас существует, поскольку многообразие паракомпактно.

Позволять $\{\tau _{\alpha }\}_{\alpha \in I}$ быть дифференцируемым разбиением единицы, подчиненным данному атласу, т. е. таким, что $\operatorname {supp} \,\tau _{\alpha }\subseteq U_{\alpha }$ для всех $\alpha \in I$.

Затем определите метрику $g$ на $M$ к

$g:=\sum _{\beta \in I}\tau _{\beta }\cdot {\tilde {g}}_{\beta },\qquad {\text{with}}\qquad {\tilde {g}}_{\beta }:=\varphi _{\beta }^{*}g^{\mathrm {can} }\,\,{\text{on}}\,\,U_{\beta },$

где $g^{\mathrm {can} }$ это евклидова метрика на $\mathbb {R} ^{n}$ и $\varphi _{\beta }^{*}g^{\mathrm {can} }$ это его откат вдоль $\varphi _{\beta }$.

Легко заметить, что это показатель $M$.

метрического пространства непрерывных связных

Длина кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых

Если $\gamma :[a,b]\to M$ дифференцируемо, то оно присваивает каждому $t\in (a,b)$ вектор $\gamma '(t)$ в векторном пространстве $T_{\gamma (t)}M,$ размер которого можно измерить нормой $|\cdot |_{\gamma (t)}.$ Так $t\mapsto |\gamma '(t)|_{\gamma (t)}$ определяет неотрицательную функцию на интервале $(a,b).$Длина определяется как интеграл этой функции; однако, как показано здесь, нет оснований ожидать, что эта функция будет интегрируемой. Обычно предполагается, что g непрерывен и $\gamma$ быть непрерывно дифференцируемой, так что интегрируемая функция неотрицательна и непрерывна, и, следовательно, длина $\gamma ,$

$L(\gamma )=\int _{a}^{b}|\gamma '(t)|_{\gamma (t)}\,dt,$

четко определен. Это определение можно легко расширить, чтобы определить длину любой кусочно-непрерывной дифференцируемой кривой.

Во многих случаях, например, при определении тензора кривизны Римана , необходимо требовать, чтобы g имело больше регулярности, чем простая непрерывность; это будет обсуждаться в другом месте. На данный момент непрерывности g будет достаточно, чтобы использовать определенную выше длину, чтобы наделить M структурой метрического пространства при условии, что оно связно.

Метрическая пространственная структура

Точно определите $d_{g}:M\times M\to [0,\infty )$ к

$d_{g}(p,q)=\inf\{L(\gamma ):\gamma {\text{ a piecewise continuously differentiable curve from }}p{\text{ to }}q\}.$

Проверить корректность функции в большинстве случаев несложно. $d_{g},$ его свойство симметрии $d_{g}(p,q)=d_{g}(q,p),$ его свойство рефлексивности $d_{g}(p,p)=0,$ и неравенство треугольника $d_{g}(p,q)+d_{g}(q,r)\geq d_{g}(p,r),$хотя есть некоторые незначительные технические сложности (например, проверка того, что любые две точки могут быть соединены кусочно-дифференцируемым путем). Более фундаментально понять, что $p\neq q$ обеспечивает $d_{g}(p,q)>0,$ и, следовательно, это $d_{g}$ удовлетворяет всем аксиомам метрики.

показывать (Набросок) Доказательство того, что $p\neq q$ подразумевает $d_{g}(p,q)>0.$ Briefly: there must be some precompact open set around p which every curve from p to q must escape. By selecting this open set to be contained in a coordinate chart, one can reduce the claim to the well-known fact that, in Euclidean geometry, the shortest curve between two points is a line. In particular, as seen by the Euclidean geometry of a coordinate chart around p, any curve from p to q must first pass though a certain "inner radius." The assumed continuity of the Riemannian metric g only allows this "coordinate chart geometry" to distort the "true geometry" by some bounded factor.

To be precise, let $(U,x)$ be a smooth coordinate chart with $x(p)=0$ and $q\notin U.$ Let $V\ni x$ be an open subset of $U$ with ${\overline {V}}\subset U.$ By continuity of $g$ and compactness of ${\overline {V}},$ there is a positive number $\lambda$ such that $g(X,X)\geq \lambda \|X\|^{2}$ for any $r\in V$ and any $X\in T_{r}M,$ where $\|\cdot \|$ denotes the Euclidean norm induced by the local coordinates. Let R denote $\sup\{r>0:B_{r}(0)\subset x(V)\},$ to be used at the final step of the proof.

Now, given any piecewise continuously differentiable path $\gamma :[a,b]\to M$ from p to q, there must be some minimal $\delta >0$ such that $\gamma (a+\delta )\notin V;$ clearly $\gamma (a+\delta )\in \partial V.$

The length of $\gamma$ is at least as large as the restriction of $\gamma$ to $[a,a+\delta ].$ So

$L(\gamma )\geq {\sqrt {\lambda }}\int _{a}^{a+\delta }\|\gamma '(t)\|\,dt.$

The integral which appears here represents the Euclidean length of a curve from 0 to $x(\partial V)\subset \mathbb {R} ^{n}$, and so it is greater than or equal to R. So we conclude $L(\gamma )\geq {\sqrt {\lambda }}R.$

Наблюдение, лежащее в основе приведенного выше доказательства, о сравнении длин, измеренных g , и евклидовых длин, измеренных в гладкой координатной карте, также подтверждает, что топология метрического пространства $(M,d_{g})$ совпадает с исходной структурой топологического пространства $M.$

Хотя длина кривой задается явной формулой, выписать функцию расстояния, как правило, невозможно $d_{g}$любыми явными способами. Фактически, если $M$ компактен, то, даже если g гладкий, всегда существуют точки, где $d_{g}:M\times M\to \mathbb {R}$ недифференцируема, и может быть чрезвычайно сложно даже определить местоположение или природу этих точек даже в таких, казалось бы, простых случаях, как, например, когда $(M,g)$ представляет собой эллипсоид.

Геодезика

Как и в предыдущем разделе, пусть $(M,g)$— связное и непрерывное риманово многообразие; рассмотрим связанное метрическое пространство $(M,d_{g}).$ Относительно этой структуры метрического пространства говорят, что путь $c:[a,b]\to M$ с единичной скоростью является геодезической , если для каждого $t_{0}\in [a,b]$ существует интервал $J\subset [a,b]$ который содержит $t_{0}$ и такое, что

$d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|\qquad \forall s,t\in J.$

Неофициально можно сказать, что просят $c$локально «растягиваться» настолько, насколько это возможно, с учетом (неформально рассматриваемого) ограничения единичной скорости. Идея состоит в том, что если $c:[a,b]\to M$ является (кусочно) непрерывно дифференцируемым и $|c'(t)|_{c(t)}=1$ для всех $t,$ тогда автоматически появляется $d_{g}(c(s),c(t))\leq |s-t|$ применяя неравенство треугольника к аппроксимации суммы Римана интеграла, определяющего длину $c.$ Таким образом, геодезическое условие единичной скорости, приведенное выше, требует $c(s)$ и $c(t)$быть как можно дальше друг от друга. Тот факт, что мы ищем только локально растягивающиеся кривые, отражен в первых двух примерах, приведенных ниже; глобальная форма $(M,g)$ может заставить даже самые безобидные геодезические отклониться назад и пересечься.

• Рассмотрим случай, когда $(M,g)$ это круг $S^{1}$ со своей стандартной римановой метрикой и $c:\mathbb {R} \to S^{1}$ дан кем-то $t\mapsto (\cos t,\sin t).$ Напомним, что $d_{g}$ измеряется длинами кривых вдоль $S^{1}$, а не по прямым траекториям на плоскости. Этот пример также демонстрирует необходимость выделения подинтервала $J,$ поскольку кривая $c$ повторяется самым естественным образом.
• Аналогично, если $(M,g)$ это круглая сфера $S^{2}$с его стандартной римановой метрикой, то путь с единичной скоростью вдоль экваториального круга будет геодезической. Путь с единичной скоростью по остальным широтным кругам не будет геодезическим.
• Рассмотрим случай, когда $(M,g)$ является $\mathbb {R} ^{2}$со своей стандартной римановой метрикой. Тогда линия с единичной скоростью, такая как $t\mapsto (2^{-1/2}t,2^{-1/2}t)$ это геодезическая, но кривая $c$ из первого примера выше нет.

Обратите внимание, что геодезические с единичной скоростью, как они определены здесь, по необходимости непрерывны и фактически липшицевы , но они не обязательно дифференцируемы или кусочно-дифференцируемы.

Хопфа

Как и выше, пусть $(M,g)$— связное и непрерывное риманово многообразие. Теорема Хопфа – Ринова в этом случае говорит, что (Громов 1999)

• если метрическое пространство $(M,d_{g})$ является полным (т.е. каждое $d_{g}$- последовательность Коши сходится), тогда
  • каждое замкнутое и ограниченное подмножество $M$ компактен.
  • учитывая любой $p,q\in M$ и любые действительные числа a, b с a < b, существует геодезическая с единичной скоростью. $c:[a,b]\to M$ от $p$ к $q$ такой, что $d_{g}(c(s),c(t))=|s-t|$ для всех $s,t\in [a,b].$

Суть доказательства состоит в том, что как только первая половина установлена, можно напрямую применить теорему Арсела–Асколи в контексте компактного метрического пространства. ${\overline {B_{2d_{g}(p,q)}(p)}},$ к последовательности кусочно-непрерывно дифференцируемых кривых единичной скорости из $p$ к $q$ длина которых приближается $d_{g}(p,q).$ Полученный последовательный предел и есть искомая геодезическая.

Предполагаемая полнота $(M,d_{g})$это важно. Например, рассмотрим случай, когда $(M,g)$ это проколотый самолет $\mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}$ со своей стандартной римановой метрикой, и берут $p=(1,0)$ и $q=(-1,0).$ Не существует геодезической с единичной скоростью, ведущей от одного к другому.

Диаметр

Позволять $(M,g)$— связное и непрерывное риманово многообразие. Как и в любом метрическом пространстве, можно определить диаметр $(M,d_{g})$ быть

$\operatorname {diam} (M,d_{g})=\sup\{d_{g}(p,q):p,q\in M\}.$

Теорема Хопфа–Ринова показывает, что если $(M,d_{g})$полно и имеет конечный диаметр, то оно компактно. И наоборот, если $(M,d_{g})$ компактна, то функция $d_{g}:M\times M\to \mathbb {R}$имеет максимум, так как является непрерывной функцией в компактном метрическом пространстве. Это доказывает следующее утверждение:

• Если $(M,d_{g})$ полно, то оно компактно тогда и только тогда, когда оно имеет конечный диаметр.

Это не так без предположения полноты; в качестве контрпримера можно рассмотреть любое открытое ограниченное подмножество евклидова пространства со стандартной римановой метрикой.

Обратите внимание, что в более общем смысле и при том же однострочном доказательстве каждое компактное метрическое пространство имеет конечный диаметр. Однако следующее утверждение неверно : «Если метрическое пространство полно и имеет конечный диаметр, то оно компактно». В качестве примера полного и некомпактного метрического пространства конечного диаметра рассмотрим

$M={\Big \{}{\text{continuous functions }}f:[0,1]\to \mathbb {R} {\text{ with }}\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\leq 1{\Big \}}$

с единой метрикой

$d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)-g(x)|.$

Итак, хотя все члены в приведенном выше следствии теоремы Хопфа–Ринова включают только структуру метрического пространства $(M,g),$ важно, что метрика индуцирована из римановой структуры.

Римановы метрики

Геодезическая

Риманово многообразие M является геодезически полным, если для всех p ∈ M экспоненциальное отображение exp _p определено для всех v ∈ T _p M , т.е. если любая геодезическая γ ( t ), начинающаяся с p , определена для всех значений параметра t ∈ Р . Теорема Хопфа –Ринова утверждает, что M геодезически полно тогда и только тогда, когда оно полно как метрическое пространство .

Если M полно, то M непродолжаемо в том смысле, что оно не изометрично открытому собственному подмногообразию любого другого риманова многообразия. Однако обратное неверно: существуют нерасширяемые многообразия, которые не являются полными.

Бесконечномерные многообразия

Приведенные выше утверждения и теоремы относятся к конечномерным многообразиям — многообразиям, карты которых отображаются в открытые подмножества $\mathbb {R} ^{n}.$Их можно в определенной степени распространить на бесконечномерные многообразия; то есть многообразия, смоделированные по образцу топологического векторного пространства ; например, многообразия Фреше , Банаха и Гильберта .

Определения

Римановы метрики определяются аналогично конечномерному случаю. Однако существует различие между двумя типами римановых метрик:

• Слабая риманова метрика на $M$ это гладкая функция $g:TM\times TM\to \mathbb {R} ,$ такой, что для любого $x\in M$ ограничение $g_{x}:T_{x}M\times T_{x}M\to \mathbb {R}$ является внутренним продуктом на $T_{x}M.$
• Сильная риманова метрика на $M$ является слабой римановой метрикой, такой что $g_{x}$ индуцирует топологию на $T_{x}M.$ Обратите внимание, что если $M$ не является гильбертовым многообразием, то $g$ не может быть сильной метрикой.

Примеры

• Если $(H,\langle \,\cdot ,\cdot \,\rangle )$ является гильбертовым пространством , то для любого $x\in H,$ можно идентифицировать $H$ с $T_{x}H.$ Установив для всех $x,u,v\in H$ $g_{x}(u,v)=\langle u,v\rangle$ получается сильная риманова метрика.
• Позволять $(M,g)$ — компактное риманово многообразие и обозначим через $\operatorname {Diff} (M)$ее группа диффеоморфизмов. Последняя представляет собой гладкое многообразие ( см. здесь ) и фактически группу Ли . Его касательное расслоение в единице представляет собой набор гладких векторных полей на $M.$ Позволять $\mu$ быть объемной формой на $M.$ Тогда можно определить $G,$ тот $L^{2}$ слабая риманова метрика, на $\operatorname {Diff} (M).$ Позволять $f\in \operatorname {Diff} (M),$ $u,v\in T_{f}\operatorname {Diff} (M).$ Тогда для $x\in M,u(x)\in T_{f(x)}M$ и определить $G_{f}(u,v)=\int _{M}g_{f(x)}(u(x),v(x))d\mu (x).$ $L^{2}$ слабая риманова метрика на $\operatorname {Diff} (M)$ приводит к исчезновению геодезического расстояния, см. Michor and Mumford (2005).

Метрическая пространственная структура

Длина кривых определяется аналогично конечномерному случаю. Функция $d_{g}:M\times M\to [0,\infty )$определяется таким же образом и называется геодезическим расстоянием . В конечномерном случае доказательство того, что эта функция является метрикой, использует существование предкомпактного открытого множества вокруг любой точки. В бесконечном случае открытые множества больше не являются предкомпактными, поэтому это утверждение может оказаться ошибочным.

• Если $g$ является сильной римановой метрикой на $M$, затем $d_{g}$ разделяет точки (следовательно, является метрикой) и индуцирует исходную топологию.
• Если $g$ является слабой римановой метрикой, но не сильной, $d_{g}$ может не разделять точки или даже быть вырожденным.

Пример последнего см. Валентино и Даниэле (2019).

–

В случае сильных римановых метрик часть конечномерной формулы Хопфа–Ринова все еще работает.

Теорема : Пусть $(M,g)$— сильное риманово многообразие. Тогда метрическая полнота (в метрике $d_{g}$) подразумевает геодезическую полноту (геодезические существуют во все времена). Доказательство можно найти в (Lang 1999, Глава VII, Раздел 6). Другие утверждения конечномерного случая могут оказаться неверными. Пример можно найти здесь .

Если $g$ является слабой римановой метрикой, то никакое понятие полноты, вообще говоря, не влечет другого.

См. также

• Риманова геометрия
• Многообразие Финслера
• Субриманово многообразие
• Псевдориманово многообразие
• Метрический тензор
• Эрмитово многообразие
• Космос (математика)
• Уравнение волновых карт

Ссылки

• Ли, Джон М. (2018). Введение в римановы многообразия . Спрингер-Верлаг . ISBN  978-3-319-91754-2 .
• ду Карму, Манфредо (1992). Риманова геометрия . Базель: Биркхойзер. ISBN  978-0-8176-3490-2 .
• Громов, Миша (1999). Метрические структуры для римановых и неримановых пространств (на основе оригинального французского издания 1981 года). Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. ISBN  0-8176-3898-9 .
• Йост, Юрген (2008). Риманова геометрия и геометрический анализ (5-е изд.). Берлин: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-77340-5 .
• Ши, Югуан; Тэм, Луэн-Фай (2002). «Теорема о положительной массе и граничное поведение компактных многообразий с неотрицательной скалярной кривизной». Дж. Дифференциальная геометрия . 62 (1): 79–125. arXiv : math/0301047 . дои : 10.4310/jdg/1090425530 . S2CID   13841883 .
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-1-4612-0541-8 .
• Маньяни, Валентино; Тиберио, Даниэле (2020). «Замечание об исчезающих геодезических расстояниях в бесконечных измерениях». Учеб. амер. Математика. Соц . 148 (1): 3653–3656. arXiv : 1910.06430 . дои : 10.1090/proc/14986 . S2CID   204578276 .
• Михор, Питер В.; Мамфорд, Дэвид (2005). «Исчезновение геодезического расстояния на пространствах подмногообразий и диффеоморфизмов». Документа Математика . 10 : 217–245. arXiv : math/0409303 . дои : 10.4171/дм/187 . S2CID   69260 .

Внешние ссылки

• Л. А. Сидоров (2001) [1994], «Риманова метрика» , Энциклопедия Математики , EMS Press