Топологическое многообразие

В топологии , разделе математики , топологическое многообразие — это топологическое пространство , локально напоминающее реальное n - мерное евклидово пространство . Топологические многообразия — важный класс топологических пространств, имеющий приложения в математике. Все многообразия по определению являются топологическими многообразиями. Другие типы многообразий образуются путем добавления структуры к топологическому многообразию (например, дифференцируемые многообразия — это топологические многообразия, наделенные дифференциальной структурой ). Каждое многообразие имеет «основное» топологическое многообразие, полученное простым «забыванием» добавленной структуры. ^[1] Однако не каждое топологическое многообразие может быть наделено той или иной дополнительной структурой. Например, многообразие E8 является топологическим многообразием, которое не может быть наделено дифференцируемой структурой.

Формальное определение

Топологическое пространство X называется локально евклидовым, если существует целое неотрицательное число n что каждая точка в X имеет окрестность гомеоморфную , вещественному такое , n -пространству R. ^н. ^[2]

— Топологическое многообразие это локально евклидово хаусдорфово пространство . К топологическим многообразиям обычно предъявляются дополнительные требования. В частности, многие авторы определяют их как паракомпактные. ^[3] или секундно-счетный . ^[2]

В оставшейся части этой статьи многообразие будет означать топологическое многообразие. Под n-многообразием будем понимать топологическое многообразие такое, что каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную R ^н.

Примеры

n -многообразия

Реальное координатное пространство R ^н является n -многообразием.
Любое дискретное пространство является 0-мерным многообразием.
Окружность — компактное 1 -многообразие.
Тор поверхности и бутылка Клейна — компактные двумерные многообразия (или ) .
сфера n -мерная S ^н является компактным n -многообразием.
тор n -мерный T ^н (произведение n окружностей) является компактным n -многообразием.

Проективные многообразия

Проективные пространства над вещественными числами , комплексами или кватернионами являются компактными многообразиями.
- Реальное проективное пространство РП ^н является n -мерным многообразием.
- Комплексное проективное пространство CP ^н является 2 n -мерным многообразием.
- Кватернионное проективное пространство HP ^н является 4 n -мерным многообразием.
Многообразия, связанные с проективным пространством, включают грассманианы , многообразия флагов и многообразия Стифеля .

Другие коллекторы

Дифференцируемые многообразия — класс топологических многообразий, наделенных дифференциальной структурой .
Пространства линз — это класс дифференцируемых многообразий, которые являются факторами нечетномерных сфер.
Группы Ли — это класс дифференцируемых многообразий, снабженных совместимой групповой структурой.
Многообразие E8 — это топологическое многообразие, которому нельзя придать дифференцируемую структуру.

Характеристики

Свойство локальной евклидовости сохраняется при локальных гомеоморфизмах . То есть, если X локально евклидово размерности n и f : Y → X — локальный гомеоморфизм, то Y локально евклидово размерности n . В частности, быть локально евклидовым является топологическим свойством .

Многообразия наследуют многие локальные свойства евклидова пространства. В частности, они локально компактны , локально связны , впервые счетны , локально стягиваемы и локально метризуемы . Будучи локально компактными хаусдорфовыми пространствами, многообразия обязательно являются тихоновскими пространствами .

Добавление условия Хаусдорфа может сделать несколько свойств многообразия эквивалентными. В качестве примера можно показать, что для хаусдорфова многообразия понятия σ-компактности и второй счетности совпадают. Действительно, хаусдорфово многообразие является локально компактным хаусдорфовым пространством, следовательно, оно (вполне) регулярно. ^[4] Предположим, что такое пространство X σ-компактно. Тогда оно линделёфово, а поскольку из Линделефа + регулярность следует паракомпактность, X метризуемо. Но в метризуемом пространстве посекундная счетность совпадает с линделёфом, поэтому X является посекундно счетным. И наоборот, если X — многообразие со счетом по Хаусдорфу, оно должно быть σ-компактным. ^[5]

Многообразие не обязательно должно быть связным, но каждое многообразие M представляет собой несвязное объединение связных многообразий. Это всего лишь компоненты связности M поскольку , которые являются открытыми множествами, многообразия локально связны. Будучи локально линейно связным, многообразие является линейно связным тогда и только тогда, когда оно связно. Отсюда следует, что компоненты пути такие же, как и компоненты.

Аксиома Хаусдорфа

Собственность Хаусдорфа не является местной; поэтому, хотя евклидово пространство является хаусдорфовым, локально евклидово пространство не обязательно должно быть хаусдорфовым . Однако верно, что каждое локально евклидово пространство есть T ₁ .

Примером нехаусдорфова локально евклидова пространства является прямая с двумя началами . Это пространство создается путем замены начала реальной линии двумя точками, открытая окрестность каждой из которых включает все ненулевые числа в некотором открытом интервале с центром в нуле. Это пространство не является Хаусдорфом, поскольку два начала не могут быть разделены.

Аксиомы компактности и счетности

Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно . Длинная линия является примером нормального Хаусдорфа одномерного топологического многообразия , которое не является метризуемым и не паракомпактным. Поскольку метризуемость является столь желательным свойством топологического пространства, к определению многообразия обычно добавляют паракомпактность. В любом случае непаракомпактные многообразия обычно считаются патологическими . Пример непаракомпактного многообразия даёт длинная линия . Паракомпактные многообразия обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств. В частности, это совершенно нормальные пространства Хаусдорфа .

Также обычно требуется, чтобы многообразия были счетными по секундам . Это именно то условие, необходимое для того, чтобы многообразие вложилось в некоторое конечномерное евклидово пространство. Для любого многообразия свойства счетности по счету, Линделёфа и σ-компактности эквивалентны.

Каждое счетное по секундам многообразие паракомпактно, но не наоборот. Однако обратное почти верно: паракомпактное многообразие вторично счетно тогда и только тогда, когда оно имеет счетное число компонент связности . В частности, связное многообразие паракомпактно тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам. Каждое счетное по секундам многообразие сепарабельно и паракомпактно. Более того, если многообразие сепарабельно и паракомпактно, то оно также счетно по секундам.

Каждое компактное многообразие счетно по секундам и паракомпактно.

Размерность

В силу инвариантности области определения непустое n -многообразие не может быть m -многообразием при n ≠ m . ^[6] Размерность непустого n- многообразия равна n . Быть n -многообразием — это топологическое свойство , означающее, что любое топологическое пространство, гомеоморфное n- многообразию, также является n -многообразием. ^[7]

Координатные карты

По определению каждая точка локально евклидова пространства имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству $\mathbb {R} ^{n}$ . Такие окрестности называются евклидовыми окрестностями . следует Из инвариантности области , что евклидовы окрестности всегда являются открытыми множествами. Всегда можно найти евклидовы окрестности, гомеоморфные «хорошим» открытым множествам в $\mathbb {R} ^{n}$ . Действительно, пространство M является локально евклидовым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную открытому шару в $\mathbb {R} ^{n}$ .
каждая точка M имеет окрестность, гомеоморфную $\mathbb {R} ^{n}$ сам.

Евклидова окрестность, гомеоморфная открытому шару в $\mathbb {R} ^{n}$ называется евклидовым шаром . Евклидовы шары составляют основу топологии локально евклидова пространства.

Для любой евклидовой окрестности U гомеоморфизм $\phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}$ называется координатной картой на U (хотя слово диаграмма часто используется для обозначения области или диапазона такой карты). Пространство M является локально евклидовым тогда и только тогда, когда оно может быть покрыто евклидовыми окрестностями. Набор евклидовых окрестностей, покрывающих M вместе со своими координатными картами, называется атласом на M . (Эта терминология основана на аналогии с картографией , согласно которой сферический земной шар можно описать с помощью атласа плоских карт или диаграмм).

Даны две диаграммы $\phi$ и $\psi$ с перекрывающимися областями U и V существует функция перехода

\psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)

Такое отображение является гомеоморфизмом между открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}$ . То есть координатные карты согласуются на перекрытие с точностью до гомеоморфизма. Различные типы многообразий могут быть определены путем наложения ограничений на типы разрешенных карт переходов. Например, для дифференцируемых многообразий отображения переходов должны быть гладкими .

Классификация коллекторов

Дискретные пространства (0-многообразие)

0-многообразие — это просто дискретное пространство . Дискретное пространство счетно по секундам тогда и только тогда, когда оно счетно . ^[7]

Кривые (1-многообразие)

Каждое непустое, паракомпактное, связное 1-многообразие гомеоморфно либо R , либо окружности . ^[7]

Поверхности (2-коллекторные)

Каждое непустое, компактное, связное 2-многообразие (или поверхность ) гомеоморфно сфере , связной сумме торов или связной сумме проективных плоскостей . ^[8]

Объемы (3-многообразие)

Классификация 3-многообразий получается из Гипотеза геометризации Терстона , доказанная Григорием Перельманом в 2003 году. Более конкретно, результаты Перельмана предоставляют алгоритм для определения того, гомеоморфны ли два трехмерных многообразия друг другу. ^[9]

Общее n- многообразие

Полная классификация n -многообразий при n больше трех, как известно, невозможна; она, по крайней мере, так же сложна, как проблема слов в теории групп , которая, как известно, алгоритмически неразрешима . ^[10]

На самом деле не существует алгоритма определения того, является ли данное многообразие односвязным . Однако существует классификация односвязных многообразий размерности ≥ 5. ^[11]^[12]

Многообразия с границей

Иногда бывает полезна немного более общая концепция. Топологическое многообразие с краем — это хаусдорфово пространство , в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству евклидова полупространства (при фиксированном n ):

\mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.

Каждое топологическое многообразие является топологическим многообразием с краем, но не наоборот. ^[7]

Конструкции

Существует несколько методов создания многообразий из других многообразий.

Коллекторы продуктов

Если M — m -многообразие, а N — n -многообразие, декартово произведение M × N является ( m + n )-многообразием, если задана топология произведения . ^[13]

Непересекающийся союз

Дизъюнктное объединение счетного семейства n -многообразий представляет собой n -многообразие (все части должны иметь одинаковую размерность). ^[7]

Связная сумма

Связная сумма двух n -многообразий определяется путем удаления открытого шара из каждого многообразия и факторизации дизъюнктного объединения полученных многообразий с краем, при этом фактор берется с учетом гомеоморфизма между граничными сферами удаленных шаров. . В результате получается еще одно n -многообразие. ^[7]

Подмногообразие

Любое открытое подмножество n- многообразия является n -многообразием с топологией подпространства . ^[13]

Сноски

^ Раджендра Бхатия (6 июня 2011 г.). Материалы Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 19-27 августа 2010 г. Всемирная научная. стр. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джон М. Ли (6 апреля 2006 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6 .
^ Тьерри Обен (2001). Курс дифференциальной геометрии . Американское математическое соц. стр. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7 .
^ Подвики топопространств, Локально компактный Хаусдорф подразумевает полностью регулярный
^ Stack Exchange, Хаусдорф локально компактен, а вторая счетная система сигма-компактна
^ Таммо Том Дик (2008). Алгебраическая топология . Европейское математическое общество. стр. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джон Ли (25 декабря 2010 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. стр. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7 .
^ Жан Галье; Дайанна Сюй (5 февраля 2013 г.). Руководство к теореме классификации компактных поверхностей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3 .
^ Геометризация 3-многообразий . Европейское математическое общество. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1 .
^ Лоуренс Конлон (17 апреля 2013 г.). Дифференцируемые многообразия: первый курс . Springer Science & Business Media. стр. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0 .
^ Зубр А.В. (1988) Классификация односвязных топологических 6-многообразий. В: Виро О.Ю., Вершик А.М. (ред.) Топология и геометрия — Семинар Рохлина. Конспекты лекций по математике, том 1346. Springer, Берлин, Гейдельберг.
^ Барден, Д. «Просто связные пятимногообразия». Анналы математики, том. 82, нет. 3, 1965, стр. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джеффри Ли; Джеффри Марк Ли (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Американское математическое соц. стр. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9 .

Ссылки

Голд, Д.Б. (1974). «Топологические свойства многообразий». Американский математический ежемесячник . 81 (6). Математическая ассоциация Америки: 633–636. дои : 10.2307/2319220 . JSTOR 2319220 .
Кирби, Робион С .; Зибенманн, Лоуренс К. (1977). Фундаментальные очерки топологических многообразий. Сглаживания и триангуляции (PDF) . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08191-3 .
Ли, Джон М. (2000). Введение в топологические многообразия . Тексты для аспирантов по математике 202 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-98759-2 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с математическими многообразиями, на Викискладе?

[Bhatia2011-1] Раджендра Бхатия (6 июня 2011 г.). Материалы Международного конгресса математиков: Хайдарабад, 19-27 августа 2010 г. Всемирная научная. стр. 477–. ISBN 978-981-4324-35-9 .

[Lee2006-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джон М. Ли (6 апреля 2006 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-22727-6 .

[Aubin2001-3] Тьерри Обен (2001). Курс дифференциальной геометрии . Американское математическое соц. стр. 25–. ISBN 978-0-8218-7214-7 .

[4] Подвики топопространств, Локально компактный Хаусдорф подразумевает полностью регулярный

[5] Stack Exchange, Хаусдорф локально компактен, а вторая счетная система сигма-компактна

[Dieck2008-6] Таммо Том Дик (2008). Алгебраическая топология . Европейское математическое общество. стр. 249–. ISBN 978-3-03719-048-7 .

[Lee2010-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Джон Ли (25 декабря 2010 г.). Введение в топологические многообразия . Springer Science & Business Media. стр. 64–. ISBN 978-1-4419-7940-7 .

[GallierXu2013-8] Жан Галье; Дайанна Сюй (5 февраля 2013 г.). Руководство к теореме классификации компактных поверхностей . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-34364-3 .

[9] Геометризация 3-многообразий . Европейское математическое общество. 2010. ISBN 978-3-03719-082-1 .

[Conlon2013-10] Лоуренс Конлон (17 апреля 2013 г.). Дифференцируемые многообразия: первый курс . Springer Science & Business Media. стр. 90–. ISBN 978-1-4757-2284-0 .

[11] Зубр А.В. (1988) Классификация односвязных топологических 6-многообразий. В: Виро О.Ю., Вершик А.М. (ред.) Топология и геометрия — Семинар Рохлина. Конспекты лекций по математике, том 1346. Springer, Берлин, Гейдельберг.

[12] Барден, Д. «Просто связные пятимногообразия». Анналы математики, том. 82, нет. 3, 1965, стр. 365–385. JSTOR, www.jstor.org/stable/1970702.

[LeeLee2009-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джеффри Ли; Джеффри Марк Ли (2009). Многообразия и дифференциальная геометрия . Американское математическое соц. стр. 7–. ISBN 978-0-8218-4815-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]