Классификация коллекторов

В математике , особенно в геометрии и топологии , классификация многообразий является основным вопросом, о котором многое известно, и многие вопросы остаются открытыми.

Основные темы [ править ]

Обзор [ править ]

Низкоразмерные многообразия классифицируются по геометрической структуре; Многомерные многообразия классифицируются алгебраически, с помощью теории хирургии .

«Маленькие габариты» — размеры до 4; «Высокие измерения» означают 5 или более измерений. Случай размерности 4 в каком-то смысле является граничным случаем, поскольку он плавно (но не топологически) демонстрирует «низкоразмерное» поведение; см. обсуждение «низкого» и «высокого» измерения .

Различные категории многообразий дают разные классификации; они связаны понятием «структура», а более общие категории имеют более четкие теории.
Положительная кривизна ограничена, отрицательная кривизна является общей.
Абстрактная классификация многомерных многообразий неэффективна : для двух многообразий (представленных, например, как комплексы CW ) не существует алгоритма, позволяющего определить, изоморфны ли они.

Различные категории и дополнительная структура [ править ]

Формально классификация многообразий — это классификация объектов с точностью до изоморфизма . Существует множество различных понятий «многообразия» и соответствующих понятий «карта между многообразиями», каждое из которых дает другую категорию и другой вопрос классификации.

Эти категории связаны функторами забывания : например, дифференцируемое многообразие также является топологическим многообразием, а дифференцируемое отображение также непрерывно, поэтому существует функтор ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$ .

Эти функторы, вообще говоря, не являются ни взаимно-однозначными, ни on-on; эти сбои обычно называют «структурой» следующим образом. Топологическое многообразие, являющееся образом ${\mbox{Diff}}\to {\mbox{Top}}$ Говорят, что он «допускает дифференцируемую структуру», а слой над данным топологическим многообразием — это «различные дифференцируемые структуры на данном топологическом многообразии».

Таким образом, учитывая две категории, возникают два естественных вопроса:

Какие многообразия данного типа допускают дополнительную структуру?
Если он допускает дополнительную структуру, сколько он допускает?

Точнее, какова структура набора дополнительных структур?

В более общих категориях этот структурный набор имеет большую структуру: в Diff это просто набор, но в Top это группа, причем функториально.

Многие из этих структур являются G-структурами , и вопрос заключается в редукции структурной группы . Самый известный пример — ориентируемость: некоторые многообразия ориентируемы, некоторые нет, а ориентируемые многообразия допускают две ориентации.

Перечисление против инвариантов [ править ]

Существует два обычных способа дать классификацию: явно, путем перечисления, или неявно, в терминах инвариантов.

Например, для ориентируемых поверхностей классификация поверхностей нумерует их как связную сумму $n\geq 0$ торы, а инвариантом, который их классифицирует, является род или эйлерова характеристика .

Многообразия имеют богатый набор инвариантов, в том числе:

Топология набора точек
- Компактность
- Связность
Классическая алгебраическая топология
Геометрическая топология
- нормальные инварианты ( ориентируемость , характеристические классы и характеристические числа)
- Простая гомотопия ( кручение Райдемейстера )
- Теория хирургии

Современная алгебраическая топология (помимо теории кобордизмов ), такая как Чрезвычайные (ко)гомологии мало используются. в классификации многообразий, потому что эти инварианты гомотопически-инвариантны и, следовательно, не помогают в более тонких классификациях выше гомотопического типа.

Группы кобордизмов (группы бордизмов точки) вычисляются, но группы бордизмов пространства (например, $MO_{*}(M)$ ), как правило, нет.

Набор точек [ править ]

Классификация множества точек является базовой: обычно фиксируются предположения о множестве точек, а затем изучается этот класс многообразия. Наиболее часто классифицируемый класс многообразий — замкнутые связные многообразия.

Будучи однородными (вдали от какой-либо границы), многообразия не имеют локальных инвариантов множества точек, кроме их размерности и границы по сравнению с внутренней частью, а наиболее часто используемые глобальные свойства множества точек - это компактность и связность. Условные названия их комбинаций:

Компактное многообразие — это компактное многообразие, возможно, с краем и не обязательно связное (но обязательно с конечным числом компонентов).
— Замкнутое многообразие это компактное многообразие без края, не обязательно связное.
Открытое многообразие — это многообразие без края (не обязательно связное) и без компактных компонент.

Например, $[0,1]$ представляет собой компактное многообразие, $S^{1}$ является замкнутым многообразием, и $(0,1)$ является открытым многообразием, а $[0,1)$ ничего из этого.

Вычислимость [ править ]

Эйлерова характеристика является гомологическим инвариантом и, следовательно, может быть эффективно вычислена с учетом структуры CW , поэтому 2-многообразия классифицируются гомологически.

Характеристические классы и характеристические числа являются соответствующими обобщенными гомологическими инвариантами, но они не классифицируют многообразия в более высокой размерности (они не являются полным набором инвариантов ): например, ориентируемые 3-многообразия распараллеливаемы (теорема Стинрода в низкомерной топологии ). , поэтому все характеристические классы исчезают. В более высоких измерениях классы характеристик, как правило, не исчезают и предоставляют полезные, но не полные данные.

Многообразия размерности 4 и выше не могут быть эффективно классифицированы: учитывая два n -многообразия ( $n\geq 4$ ), представленные в виде CW-комплексов или ручек , не существует алгоритма определения их изоморфности (гомеоморфности, диффеоморфности). Это связано с неразрешимостью проблемы слов для групп или, точнее, проблемы тривиальности (при конечном представлении группы является ли она тривиальной группой?). Любое конечное представление группы может быть реализовано как 2-комплекс и может быть реализовано как 2-скелет 4-многообразия (или выше). Таким образом, невозможно даже вычислить фундаментальную группу данного многомерного многообразия, не говоря уже о классификации.

Эта неэффективность является фундаментальной причиной того, почему теория хирургии не классифицирует многообразия с точностью до гомеоморфизма. Вместо этого для любого фиксированного многообразия M он классифицирует пары $(N,f)$ с N - многообразием и $f\colon N\to M$ гомотопическая эквивалентность , две такие пары, $(N,f)$ и $(N',f')$ , считающийся эквивалентным, если существует гомеоморфизм $h\colon N\to N'$ и гомотопия $f'h\sim f\colon N\to M$ .

Положительная кривизна ограничена, отрицательная кривизна является общей [ править ]

Многие классические теоремы римановой геометрии показывают, что многообразия с положительной кривизной ограничены, наиболее ярко это проявляется в теореме о сфере с защемлением 1/4 . И наоборот, отрицательная кривизна является общей: например, любое многообразие размерности $n\geq 3$ допускает метрику с отрицательной кривизной Риччи.

Это явление очевидно уже для поверхностей: существует единственная ориентируемая (и одна неориентируемая) замкнутая поверхность положительной кривизны (сфера и проективная плоскость ), то же самое для нулевой кривизны ( тор и бутылка Клейна ), и все поверхности более высокого рода допускают только отрицательные метрики кривизны.

Аналогично для 3-многообразий: из 8 геометрий , все, кроме гиперболических, весьма ограничены.

Обзор по параметрам [ править ]

Размерность 0 тривиальна, а размерность 1 очевидна.
Многообразия малой размерности (размерности 2 и 3) допускают геометрию.
Многообразия средних измерений (дифференциально размерность 4) демонстрируют экзотические явления.
Многообразия высокой размерности (размерность 5 и более дифференцированно, размерность 4 и более топологически) классифицируются теорией хирургии .

Таким образом, дифференцируемые многообразия размерности 4 являются наиболее сложными: они не геометризуемы (как в нижнем измерении), они также не классифицируются по хирургии (как в более высоком измерении или топологически), и они демонстрируют необычные явления, наиболее поразительно бесчисленное множество экзотических дифференцируемых структур на R ⁴. Примечательно, что дифференцируемые 4-многообразия — единственный оставшийся открытый случай обобщенной гипотезы Пуанкаре .

Можно принять низкоразмерную точку зрения на многомерные многообразия. и спросите: «Какие многомерные многообразия геометризуемы?», для различных понятий геометризуемого (разрезанного на геометризуемые части, как в трех измерениях, на симплектические многообразия и т. д.). В размерности 4 и выше не все многообразия геометризуемы, но представляют собой интересный класс.

И наоборот, можно занять многомерную точку зрения на многообразия низкой размерности. и спросите: «Что предсказывает хирургия для многообразий низкой размерности?», что означает: «Если бы хирургия работала в малых размерностях, как бы выглядели низкоразмерные многообразия?» Затем можно сравнить реальную теорию маломерных многообразий к низкоразмерному аналогу многообразий высокой размерности, и посмотрим, ведут ли многообразия малой размерности «так, как вы ожидаете»: каким образом они ведут себя как многомерные многообразия (но по разным причинам, или через разные доказательства) и чем они необычны?

Размеры 0 и 1 [ править ]

Существует единственное связное 0-мерное многообразие, а именно точка, а несвязные 0-мерные многообразия представляют собой просто дискретные множества, классифицированные по мощности. У них нет геометрии, и их изучением является комбинаторика.

Связное компактное одномерное многообразие без края гомеоморфно (или диффеоморфно, если оно гладкое) окружности. Второе счетное некомпактное одномерное многообразие гомеоморфно или диффеоморфно вещественной прямой. Отказавшись от предположения о второй счетности, мы получаем два дополнительных многообразия: длинную прямую и пространство, образованное лучом действительной прямой и лучом длинной прямой, встречающимися в точке. ^[1]

Исследование отображений одномерных многообразий — нетривиальная область. Например:

Группы диффеоморфизмов 1-многообразий весьма сложны для тонкого понимания. ^[2]
Карты круга в 3-сферу (или, в более общем плане, в любое 3-мерное многообразие) изучаются как часть теории узлов .

Размеры 2 и 3: геометризуемые [ править ]

Каждое связное замкнутое двумерное многообразие (поверхность) допускает постоянную метрику кривизны по теореме униформизации . ^[3]Таких кривизн 3 (положительная, нулевая и отрицательная). Это классический результат, и, как уже говорилось, он прост (теорема о полной униформизации более тонкая). Изучение поверхностей глубоко связано с комплексным анализом и алгебраической геометрией , поскольку каждую ориентируемую поверхность можно рассматривать как риманову поверхность или комплексную алгебраическую кривую . Хотя классификация поверхностей является классической, карты поверхностей — это активная область; см. ниже.

Любое замкнутое трехмерное многообразие можно разрезать на геометризуемые части согласно гипотезе геометризации , и таких геометрий 8. Это недавний результат, и довольно трудный. Доказательство ( решение гипотезы Пуанкаре ) аналитическое, а не топологическое.

: экзотика Измерение 4

Четырехмерные многообразия являются самыми необычными: они не геометризуемы (как в более низких измерениях), а хирургия работает топологически, но не дифференцируемо.

Поскольку топологически 4-многообразия классифицируются хирургическим путем, вопрос дифференцируемой классификации формулируется в терминах «дифференцируемых структур»: «какие (топологические) 4-многообразия допускают дифференцируемую структуру, и сколько существует дифференцируемых структур в тех, которые допускают дифференцируемую структуру?» ?"

Четырехмногообразия часто допускают множество необычных дифференцируемых структур, но наиболее поразительно несчетное множество экзотических дифференцируемых структур на R. ⁴. Аналогично, дифференцируемые 4-многообразия — единственный оставшийся открытый случай обобщенной гипотезы Пуанкаре .

Измерение 5 и хирургия : выше

В размерности 5 и выше (и в 4 измерениях топологически) многообразия классифицируются теорией хирургии .

Трюк Уитни требует 2+1 измерений (2 пространства, 1 время), следовательно, два диска Уитни теории хирургии требуют 2+2+1=5 измерений.

Причина использования размера 5 заключается в том, что трюк Уитни работает в среднем измерении в измерении 5 и более: два диска Уитни в общем случае не пересекаются в измерении 5 и выше по общему положению ( $2+2<5$ ). В размерности 4 можно разрешить пересечения двух дисков Уитни с помощью ручек Кассона , что работает топологически, но не дифференцируемо; см . в разделе «Геометрическая топология: измерение» подробную информацию об измерении .

Более тонко, размерность 5 — это обрезание, потому что среднее измерение имеет коразмерность больше 2: когда коразмерность равна 2, мы сталкиваемся с теорией узлов , но когда коразмерность больше 2, теория вложения разрешима с помощью исчисления функторов. . Это обсуждается ниже.

Карты между коллекторами [ править ]

С точки зрения теории категорий , классификация многообразий является частью понимания категории: она классифицирует объекты . Другой вопрос — классификация отображений многообразий до различных эквивалентностей, и в этой области имеется много результатов и открытых вопросов.

Для карт подходящим понятием «низкой размерности» для некоторых целей является «самоотображение многообразий малой размерности», а для других целей — «низкая коразмерность ».

Низкоразмерные автокарты [ править ]

1-мерное: гомеоморфизмы окружности
2-мерное: группа классов отображения и группа Торелли

Низкая коразмерность [ править ]

Аналогично классификации многообразий, в высокой коразмерности (то есть более 2) вложения классифицируются хирургическим путем, в то время как в низкой коразмерности или в относительной размерности они являются жесткими и геометрическими, а в средней (коразмерности 2) имеют место сложная экзотическая теория ( теория узлов ).

В коразмерности больше 2 вложения классифицируются теорией хирургии.
В коразмерности 2, особенно вложениях 1-мерных многообразий в 3-мерные, существует теория узлов .
В коразмерности 1 вложение коразмерности 1 разделяет многообразие, и их можно решить.
В коразмерности 0 (собственное) погружение коразмерности 0 представляет собой накрывающее пространство , которое классифицируется алгебраически, и его более естественно рассматривать как субмерсию.
В относительной размерности субмерсия с компактной областью представляет собой расслоение (как и в коразмерности 0 = относительной размерности 0), которые классифицируются алгебраически.

Большие размеры [ править ]

Особенно топологически интересные классы карт включают вложения, погружения и погружения.

Геометрически интересны изометрии и изометрические погружения.

Фундаментальные результаты в области вложений и погружений включают:

Ключевыми инструментами изучения этих карт являются:

Gromov's h -principles
Исчисление функторов

Карты можно классифицировать по различным эквивалентностям:

Диффеоморфизмы вплоть до кобордизмов были классифицированы Маттиасом Креком. ^[4]

См. также [ править ]

Бергера Классификация групп голономии .

Ссылки [ править ]

^ Фролик, Зденек (1962). «О классификации одномерных многообразий» . Журнал математики и физики Университета Каролины . 3 (1): 1–4.
^ Навас, Андрес (2018). «Групповые действия на 1-многообразиях: список очень конкретных открытых вопросов». Материалы международного конгресса математиков 2018, ICM 2018, Рио-де-Жанейро, Бразилия, 1–9 августа 2018. Том III. Приглашенные лекции . Всемирный научный; Рио-де-Жанейро: Sociedade Brasileira de Matematica (SBM). стр. 2035–2062.
^ Апанасов, Б.. Дискретные группы в пространстве и проблемы униформизации . Нидерланды, Springer Нидерланды, 1991. 333.
^ М. Крек, Бордизм диффеоморфизмов Bull. амер. Математика. Соц. Том 82, номер 5 (1976), 759–761; М. Крек, Бордизм диффеоморфизмов и смежные темы, Springer Lect. Примечания 1069 (1984 г.)

Дальнейшее чтение [ править ]

Крек, Матиас (2000). Руководство по классификации многообразий . Обзоры по теории хирургии (AM-145). Том. 1. Издательство Принстонского университета. дои : 10.1515/9781400865192-009 .

[frolik-1] Фролик, Зденек (1962). «О классификации одномерных многообразий» . Журнал математики и физики Университета Каролины . 3 (1): 1–4.

[2] Навас, Андрес (2018). «Групповые действия на 1-многообразиях: список очень конкретных открытых вопросов». Материалы международного конгресса математиков 2018, ICM 2018, Рио-де-Жанейро, Бразилия, 1–9 августа 2018. Том III. Приглашенные лекции . Всемирный научный; Рио-де-Жанейро: Sociedade Brasileira de Matematica (SBM). стр. 2035–2062.

[3] Апанасов, Б.. Дискретные группы в пространстве и проблемы униформизации . Нидерланды, Springer Нидерланды, 1991. 333.

[kreck-4] М. Крек, Бордизм диффеоморфизмов Bull. амер. Математика. Соц. Том 82, номер 5 (1976), 759–761; М. Крек, Бордизм диффеоморфизмов и смежные темы, Springer Lect. Примечания 1069 (1984 г.)

[1]

[2]

[3]

[4]