Исчисление функторов

В алгебраической топологии , разделе математики , исчисление функторов или исчисление Гудвилли — это метод изучения функторов путем их аппроксимации последовательностью более простых функторов; он расслоение предпучка обобщает . Эта последовательность приближений формально аналогична ряду Тейлора , гладкой функции отсюда и термин « исчисление функторов».

Многие объекты, представляющие центральный интерес в алгебраической топологии, можно рассматривать как функторы, которые трудно анализировать напрямую, поэтому идея состоит в том, чтобы заменить их более простыми функторами, которые являются достаточно хорошими приближениями для определенных целей.Исчисление функторов было развито Томасом Гудвилли в серии из трех статей в 1990-х и 2000-х годах: и с тех пор был расширен и применен в ряде областей.

Примеры

Мотивационным примером, представляющим центральный интерес в геометрической топологии , является функтор вложений одного многообразия M в другое многообразие N, первая производная которого в смысле исчисления функторов является функтором погружений . Поскольку каждое вложение является погружением, получается включение функторов $\mathrm {Emb} (M,N)\to \mathrm {Imm} (M,N)$ – в этом случае отображение функтора в аппроксимацию является включением, но в общем случае это просто отображение.

Как иллюстрирует этот пример, линейная аппроксимация функтора (в топологическом пространстве) — это его расслоение , рассматривая функтор как предпучок в пространстве (формально, как функтор в категории открытых подмножеств пространства), и пучки являются линейными функторами.

Этот пример изучали Гудвилли и Майкл Вайс .

Определение

Вот аналогия: с помощью метода рядов Тейлора из исчисления вы можете аппроксимировать форму гладкой функции f вокруг точки x , используя последовательность все более точных полиномиальных функций. Аналогичным образом, с помощью метода исчисления функторов, вы можете аппроксимировать поведение функтора F определенного типа в конкретном объекте X, используя последовательность все более точных полиномиальных функторов .

Точнее, пусть M — гладкое многообразие , а O(M) — категория открытых подпространств M , т. е. категория, в которой объектами являются открытые подпространства M , а морфизмы — карты включения . Пусть F — контравариантный функтор из категории O(M) в категорию Top топологических пространств с непрерывными морфизмами. Этот тип функтора, называемый с верхними значениями предпучком на M , является типом функтора, который вы можете аппроксимировать с помощью метода исчисления функторов: для конкретного открытого множества XεO(M) вы можете захотеть узнать, какой тип функтора топологическое пространство F(X) есть, поэтому вы можете изучать топологию все более точных приближений F ₀ (X), F ₁ (X), F ₂ (X) и так далее.

В методе исчисления функторов последовательность аппроксимаций состоит из (1) функторов $T_{0}F,T_{1}F,T_{2}F$и т. д., а также (2) естественные преобразования $\eta _{k}\colon F\to T_{k}F$ для каждого целого числа k . Эти естественные преобразования должны быть совместимыми, а это означает, что композиция $F\to T_{k+1}F\to T_{k}F$ соответствует карте $F\to T_{k}F,$ и таким образом сформировать башню

$F\to \cdots \to T_{k+1}F\to T_{k}F\to \cdots \to T_{1}F\to T_{0}F,$

и их можно рассматривать как «последовательные приближения», точно так же, как в ряду Тейлора можно постепенно отбрасывать члены более высокого порядка.

Аппроксимирующие функторы должны быть « k - эксцизивными » - такие функторы называются полиномиальными функторами по аналогии с полиномами Тейлора - что является упрощающим условием и грубо означает, что они определяются своим поведением вокруг k точек одновременно или более. формально являются пучками конфигурационного пространства из k точек данного пространства. Разница между k- м и $(k-1)$st функторы — это «однородный функтор степени k » (по аналогии с однородными полиномами ), который поддается классификации.

Для функторов $T_{k}F$ быть приближениями к исходному функтору F, результирующие аппроксимационные отображения $F\to T_{k}F$ должен быть n -связным для некоторого числа n, что означает, что аппроксимирующий функтор приближает исходный функтор «в размерности до n »; этого может не произойти. Далее, если кто-то желает восстановить исходный функтор, полученные аппроксимации должны быть n -связными при n, стремящемся к бесконечности. Затем F и называют аналитическим функтором говорят , что «башня Тейлора сходится к функтору» по аналогии с рядом Тейлора аналитической функции.

Филиалы

Существуют три ветви исчисления функторов, развивающиеся в порядке:

• исчисление многообразий, такое как вложения,
• гомотопическое исчисление и
• ортогональное исчисление.

Гомотопическое исчисление нашло гораздо более широкое применение, чем другие отрасли.

История

Понятие пучка и расслоение предпучка восходит к ранней теории категорий и может рассматриваться как линейная форма исчисления функторов. Квадратичную форму можно увидеть в работе Андре Хефлигера о связях сфер в 1965 году, где он определил «метастабильный диапазон», в котором проблема проще. Это было идентифицировано как квадратичная аппроксимация функтора вложения Гудвилли и Вайса.

Ссылки

• Мансон, Брайан (2005), Программа по математике 283: Исчисление функторов (PDF)

Внешние ссылки

• Томас Гудвилли. Архивировано 28 ноября 2009 г. в Wayback Machine.
• Джон Кляйн
• Майкл С. Вайс