Аксиома склеивания

В математике аксиома склейки вводится для определения того, что такое пучок. ${\mathcal {F}}$ в топологическом пространстве $X$ должен удовлетворять, учитывая, что это предпучок , который по определению является контравариантным функтором

${\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}(X)\rightarrow C$

в категорию $C$ которую первоначально принимают за категорию множеств . Здесь ${\mathcal {O}}(X)$ — частичный порядок открытых множеств $X$ упорядочены по картам включения ; и рассматривается как категория стандартным образом, с уникальным морфизмом

$U\rightarrow V$

если $U$ является подмножеством ​ $V$, и никак иначе.

Как сказано в пучке статьи, существует определенная аксиома, согласно которой $F$ должно удовлетворять для любого открытого покрытия открытого набора $X$. Например, учитывая открытые множества $U$ и $V$ с профсоюзом $X$ и пересечение $W$, необходимое условие состоит в том, что

${\mathcal {F}}(X)$ является подмножеством ${\mathcal {F}}(U)\times {\mathcal {F}}(V)$ С одинаковым изображением в ${\mathcal {F}}(W)$

Говоря менее формальным языком, раздел $s$ из $F$ над $X$ одинаково хорошо дается парой разделов: $(s',s'')$ на $U$ и $V$ соответственно, которые «согласны» в том смысле, что $s'$ и $s''$ иметь общий имидж в ${\mathcal {F}}(W)$ под соответствующими картами ограничений

${\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)$

и

${\mathcal {F}}(V)\rightarrow {\mathcal {F}}(W)$.

Первое серьезное препятствие в теории пучков состоит в том, чтобы увидеть, что эта аксиома склеивания или заплатки является правильной абстракцией от обычной идеи в геометрических ситуациях. Например, векторное поле — это сечение касательного расслоения на гладком многообразии ; это говорит о том, что векторное поле объединения двух открытых множеств представляет собой (не более и не менее) векторные поля в двух множествах, которые совпадают в местах перекрытия.

Учитывая это базовое понимание, в теории есть и другие проблемы, и некоторые из них будут рассмотрены здесь. Другое направление — это направление топологии Гротендика , и еще одно — логический статус «локального существования» (см. семантику Крипке-Джойала ).

Снятие ограничений на C

Перефразируя это определение таким образом, чтобы оно работало в любой категории. $C$ который имеет достаточную структуру, заметим, что мы можем записать объекты и морфизмы, участвующие в приведенном выше определении, в диаграмме, которую мы назовем (G), для «склеивания»:

${\mathcal {F}}(U)\rightarrow \prod _{i}{\mathcal {F}}(U_{i}){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\prod _{i,j}{\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})$

Здесь первая карта является произведением карт ограничений

${res}_{U,U_{i}}:{\mathcal {F}}(U)\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i})$

и каждая пара стрелок представляет два ограничения

$res_{U_{i},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{i})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})$

и

$res_{U_{j},U_{i}\cap U_{j}}:{\mathcal {F}}(U_{j})\rightarrow {\mathcal {F}}(U_{i}\cap U_{j})$.

Стоит отметить, что эти карты исчерпывают все возможные карты ограничений среди $U$, $U_{i}$и $U_{i}\cap U_{j}$.

Условие для ${\mathcal {F}}$ быть пучком — это для любого открытого множества $U$ и любая коллекция открытых наборов $\{U_{i}\}_{i\in I}$ чей профсоюз $U$, диаграмма (G) выше представляет собой эквалайзер .

Один из способов понять аксиому склейки — заметить, что $U$ является копределом следующей диаграммы:

$\coprod _{i,j}U_{i}\cap U_{j}{{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\coprod _{i}U_{i}$

Аксиома склеивания гласит, что ${\mathcal {F}}$ превращает копределы таких диаграмм в пределы.

Пучки на основе открытых множеств

В некоторых категориях можно построить пучок, указав только некоторые его разделы. Конкретно, пусть $X$ быть топологическим пространством с базисом $\{B_{i}\}_{i\in I}$. Мы можем определить категорию O ′( X ) как полную подкатегорию ${\mathcal {O}}(X)$ чьи объекты являются $\{B_{i}\}$. B -пучок на $X$ со значениями в $C$ это контравариантный оператор

${\mathcal {F}}:{\mathcal {O}}'(X)\rightarrow C$

что удовлетворяет аксиоме склейки множеств в ${\mathcal {O}}'(X)$. То есть на выборке открытых множеств $X$, ${\mathcal {F}}$ определяет все секции пучка, а на других открытых множествах оно не определено.

B-пучки эквивалентны пучкам (т. е. категория пучков эквивалентна категории B-пучков). Ясно, что связка на $X$ может быть ограничено B-пучком. В другом направлении, учитывая B-пучок ${\mathcal {F}}$ нам необходимо определить разделы ${\mathcal {F}}$ на остальных объектах ${\mathcal {O}}(X)$. Для этого заметим, что для каждого открытого множества $U$, мы можем найти коллекцию $\{B_{j}\}_{j\in J}$ чей профсоюз $U$. Категорически говоря, этот выбор делает $U$ копредел полной подкатегории ${\mathcal {O}}'(X)$ чьи объекты $\{B_{j}\}_{j\in J}$. С ${\mathcal {F}}$ контравариантен, определим ${\mathcal {F}}'(U)$ быть пределом ​ $\{{\mathcal {F}}(B_{j})\}_{j\in J}$ относительно карт ограничений. (Здесь надо предположить, что этот предел существует в $C$.) Если $U$ является базовым открытым множеством, то $U$ является конечным объектом вышеуказанной подкатегории ${\mathcal {O}}'(X)$, и, следовательно, ${\mathcal {F}}'(U)={\mathcal {F}}(U)$. Поэтому, ${\mathcal {F}}'$ простирается ${\mathcal {F}}$ на предпучок на $X$. Можно убедиться, что ${\mathcal {F}}'$ является пучком, по существу потому, что каждый элемент каждой открытой оболочки $X$ есть объединение базисных элементов (по определению базиса), а каждое попарное пересечение элементов в открытом покрытии $X$ есть объединение базисных элементов (опять же по определению базиса).

Логика C

Первые потребности теории пучков касались пучков абелевых групп ; так что берём категорию $C$ поскольку категория абелевых групп была вполне естественной. В приложениях к геометрии, например, к комплексным многообразиям и алгебраической геометрии , идея пучка локальных колец является центральной. Однако это не совсем то же самое; вместо локально окольцованного пространства говорят , потому что неверно, за исключением банальных случаев, что такой пучок является функтором в категорию локальных колец . Именно стебли связки являются локальными кольцами, а не совокупностями участков (которые являются кольцами , но в целом не близки к локальным ). Мы можем представить себе локально окольцованное пространство. $X$ как параметризованное семейство локальных колец, зависящее от $x$ в $X$.

Более внимательное обсуждение развеивает здесь любую тайну. Можно свободно говорить о пучке абелевых групп или колец, поскольку это алгебраические структуры (определяемые, если кто-то настаивает, явной сигнатурой ). Любая категория $C$ наличие конечных продуктов поддерживает идею группового объекта , который некоторые предпочитают просто называть группой . $C$. В случае такого рода чисто алгебраической структуры мы можем говорить либо о пучке, имеющем значения в категории абелевых групп, либо об абелевой группе в категории пучков множеств ; это действительно не имеет значения.

В случае локального кольца это имеет значение. На базовом уровне мы должны использовать второй стиль определения, чтобы описать, что означает локальное кольцо в категории. Это логично: аксиомы локального кольца требуют использования экзистенциальной квантификации в той форме, в которой для любого $r$ на ринге один из $r$ и $1-r$ является обратимым . Это позволяет указать, каким должно быть «локальное кольцо в категории» в случае, если категория поддерживает достаточную структуру.

Сношение

См. также: Категоризация

См. Также: Пучок (математика) § Превращение предпучка в пучок

Чтобы повернуть данный предпучок ${\mathcal {P}}$ в сноп ${\mathcal {F}}$, существует стандартное устройство, называемое снопением или снопом . Грубое представление о том, что следует делать, по крайней мере, для предпучка множеств, состоит в том, чтобы ввести отношение эквивалентности, которое делает эквивалентные данные, заданные разными покрытиями, на перекрытиях путем уточнения покрытий. Поэтому один из подходов состоит в том, чтобы перейти к стеблям и восстановить пространство связки наилучшего возможного снопа. ${\mathcal {F}}$ произведено из ${\mathcal {P}}$.

Такое использование языка убедительно предполагает, что мы имеем здесь дело с сопряженными функторами . Поэтому имеет смысл заметить, что пучки на $X$ образуют полную подкатегорию предшкивов на $X$. При этом неявно подразумевается утверждение, что морфизм пучков — это не что иное, как естественное преобразование пучков, рассматриваемых как функторы. Таким образом, мы получаем абстрактную характеристику сучификации как левосопряженной к включению. В некоторых приложениях, естественно, описание действительно необходимо.

Говоря более абстрактным языком, пучки на $X$ образуют отражающую подкатегорию предпучков (Пучки Мак Лейна – Мурдейка в геометрии и логике, стр. 86). В теории топоса для топологии Лоувера–Тирни и ее пучков имеется аналогичный результат (там же, с. 227).

Другие

Аксиома склейки теории пучков довольно общая. Можно отметить, что аксиома Майера–Виеториса гомотопической теории , например, является частным случаем.

См. также

• Схемы поклейки

Ссылки

• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .