Схемы поклейки

В алгебраической геометрии новую схему (например, алгебраическое многообразие ) можно получить склейкой существующих схем посредством склейки карт.

Заявление

Предположим, что существует (возможно, бесконечное) семейство схем $\{X_{i}\}_{i\in I}$ и для пар $i,j$, существуют открытые подмножества $U_{ij}$ и изоморфизмы $\varphi _{ij}:U_{ij}{\overset {\sim }{\to }}U_{ji}$. Теперь, если изоморфизмы согласованы в том смысле: для каждого $i,j,k$,

1. $\varphi _{ij}=\varphi _{ji}^{-1}$,
2. $\varphi _{ij}(U_{ij}\cap U_{ik})=U_{ji}\cap U_{jk}$,
3. $\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}=\varphi _{ik}$ на $U_{ij}\cap U_{ik}$,

то существует схема X вместе с морфизмами $\psi _{i}:X_{i}\to X$ такой, что

1. $\psi _{i}$ является изоморфизмом открытого подмножества X ,
2. $X=\cup _{i}\psi _{i}(X_{i}),$
3. $\psi _{i}(U_{ij})=\psi _{i}(X_{i})\cap \psi _{j}(X_{j}),$
4. $\psi _{i}=\psi _{j}\circ \varphi _{ij}$ на $U_{ij}$.

Примеры

Проективная линия

Проективная линия получается склеиванием двух аффинных прямых так, чтобы начало координат и иллюзорная линия $\infty$ на одной линии соответствует иллюзорному $\infty$ и начало координат на другой линии соответственно.

Позволять $X=\operatorname {Spec} (k[t])\simeq \mathbb {A} ^{1},Y=\operatorname {Spec} (k[u])\simeq \mathbb {A} ^{1}$ быть двумя копиями аффинной прямой над полем k . Позволять $X_{t}=\{t\neq 0\}=\operatorname {Spec} (k[t,t^{-1}])$ быть дополнением начала и $Y_{u}=\{u\neq 0\}$ определяется аналогично. Обозначим через Z схему, полученную склейкой $X,Y$ вдоль изоморфизма $X_{t}\simeq Y_{u}$ данный $t^{-1}\leftrightarrow u$; мы определяем $X,Y$ с открытыми подмножествами Z . Теперь аффинные кольца $\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z}),\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})$ оба являются кольцами полиномов от одной переменной таким образом

$\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s]$ и $\Gamma (Y,{\mathcal {O}}_{Z})=k[s^{-1}]$

где два кольца рассматриваются как подкольца функционального поля $k(Z)=k(s)$. Но это означает, что $Z=\mathbb {P} ^{1}$; потому что по определению $\mathbb {P} ^{1}$ покрыта двумя открытыми аффинными диаграммами, аффинные кольца которых имеют указанную выше форму.

Аффинная линия с двойным началом

Позволять $X,Y,X_{t},Y_{u}$ быть как в приведенном выше примере. Но на этот раз пусть $Z$ обозначим схему, полученную склейкой $X,Y$ вдоль изоморфизма $X_{t}\simeq Y_{u}$ данный $t\leftrightarrow u$. Итак, геометрически $Z$ получается путем идентификации двух параллельных линий, кроме начала координат; т. е. это аффинная линия с удвоенным началом. (Можно показать, что Z является не . отдельной схемой ) Напротив, если две линии склеены так, что начало одной линии соответствует (иллюзорной) бесконечной точке другой линии; т. е. использовать изомроизм $t^{-1}\leftrightarrow u$, то полученная схема является, по крайней мере визуально, проективной прямой $\mathbb {P} ^{1}$.

Волоконные изделия и выталкивания схем

См. также: Волоконное произведение схем.

Категория схем допускает конечные откаты и в некоторых случаях конечные выталкивания; оба они построены путем склейки аффинных схем. Для аффинных схем расслоенные произведения и выталкивания соответствуют тензорным произведениям и расслоенным квадратам алгебр.

Ссылки

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN.  978-0-387-90244-9 , МР   0463157
• Вакил, Рави (18 ноября 2017 г.). «Математика 216: Основы алгебраической геометрии» .

Дальнейшее чтение

• Stacks Project , 26.14 Схемы склейки