Пересечение (теория множеств)

Для более широкого освещения этой темы см. Пересечение (математика) .

Пересечение

Пересечение двух множеств $A$ и $B,$ представлены кружками. $A\cap B$ находится в красном цвете.
Тип	Установить операцию
Поле	Теория множеств
Заявление	Пересечение $A$ и $B$ это набор $A\cap B$ элементов, которые лежат в обоих множествах $A$ и установить $B$.
Символическое заявление	$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}$

В теории пересечение множеств двух множеств $A$ и $B,$ обозначается $A\cap B,$ множество, содержащее все элементы $A$ которые также принадлежат $B$ или, что то же самое, все элементы $B$ которые также принадлежат $A.$

Обозначения и терминология

Перекресток обозначается символом " $\cap$" между терминами; то есть в инфиксной записи . Например:

$$\{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}$$

$$\{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing$$

$$\mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N}$$

$$\{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}$$

Пересечение более двух множеств (обобщенное пересечение) можно записать как:

$$\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}$$

что похоже на обозначение заглавной сигмы .

Пояснения к символам, используемым в этой статье, можно найти в таблице математических символов .

Определение

Пересечение трёх множеств:
$~A\cap B\cap C$

Пересечения безударных современных греческого , латинского и кириллического алфавитов с учетом только формы букв и игнорирования их произношения.

Пример пересечения с множествами

Пересечение двух множеств $A$ и $B,$ обозначается $A\cap B$, это набор всех объектов, которые являются членами обоих наборов $A$ и $B.$ В символах:

$$A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.$$

То есть, $x$ является элементом пересечения $A\cap B$ если и только если $x$ одновременно является элементом $A$ и элемент $B.$

Например:

• Пересечение множеств {1, 2, 3} и {2, 3, 4} равно {2, 3}.
• Число 9 не находится на пересечении множества простых чисел {2, 3, 5, 7, 11, ...} и множества нечетных чисел {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, поскольку 9 не является простым числом.

Пересекающиеся и непересекающиеся множества

Мы говорим, что $A$ пересекается (встречается) $B$ если существует какой-то $x$ это элемент обоих $A$ и $B,$ в этом случае мы также говорим, что $A$ пересекается (встречается) $B$ в $x$. Эквивалентно, $A$ пересекает $B$ если их пересечение $A\cap B$ является обитаемым множеством , то есть существует некоторое $x$ такой, что $x\in A\cap B.$

Мы говорим, что $A$ и $B$ не пересекаются , если $A$ не пересекается $B.$ Говоря простым языком, у них нет ничего общего. $A$ и $B$ не пересекаются, если их пересечение пусто , обозначаемое $A\cap B=\varnothing .$

Например, наборы $\{1,2\}$ и $\{3,4\}$ не пересекаются, а множество четных чисел пересекает множество кратных 3 в точках, кратных 6.

Алгебраические свойства

См. Также: Список тождеств и отношений множеств и Алгебра множеств.

Бинарное пересечение — это ассоциативная операция; то есть для любых наборов $A,B,$ и $C,$ надо

$$A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.$$

Таким образом, круглые скобки могут быть опущены без двусмысленности: любое из приведенных выше значений можно записать как $A\cap B\cap C$. Пересечение также коммутативно . То есть для любого $A$ и $B,$ надо

$$A\cap B=B\cap A.$$

Пересечение любого набора с пустым набором приводит к образованию пустого набора; то есть для любого набора $A$,

$$A\cap \varnothing =\varnothing$$

Кроме того, операция пересечения идемпотентна ; то есть любой набор $A$ удовлетворяет этому $A\cap A=A$. Все эти свойства следуют из аналогичных фактов о логической конъюнкции .

Пересечение распределяется по объединению , а объединение распределяется по пересечению. То есть для любых наборов $A,B,$ и $C,$ надо

$${\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}$$

Внутри вселенной $U,$ можно определить дополнение $A^{c}$ из $A$ быть совокупностью всех элементов $U$ не в $A.$ Кроме того, пересечение ул. $A$ и $B$ может быть записано как дополнение объединения их дополнений, легко выведенное из законов Де Моргана :

$$A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}$$

Произвольные перекрестки

Дополнительная информация: Итерированная двоичная операция.

Наиболее общее понятие — пересечение произвольного непустого набора множеств. Если $M$ — непустое множество, элементы которого сами являются множествами, то $x$ элементом пересечения является $M$ тогда и только тогда, когда для каждого элемента $A$ из $M,$ $x$ является элементом $A.$ В символах:

$$\left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).$$

Обозначения этого последнего понятия могут значительно различаться. Теоретики множеств иногда пишут: $\bigcap M$", а другие вместо этого напишут " ${\bigcap }_{A\in M}A$". Последнее обозначение можно обобщить до « ${\bigcap }_{i\in I}A_{i}$", что относится к пересечению коллекции $\left\{A_{i}:i\in I\right\}.$ Здесь $I$ является непустым множеством, и $A_{i}$ это набор для каждого $i\in I.$

В случае, если индексный набор $I$ представляет собой набор натуральных чисел обозначения, аналогичные обозначениям бесконечного произведения , можно увидеть :

$$\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.$$

Когда форматирование затруднено, это тоже можно написать " $A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots$". Этот последний пример, пересечение счетного числа множеств, на самом деле очень распространен; пример см. в статье об σ-алгебрах .

Нулевое пересечение

Союзы аргументов в скобках

Союз без аргумента является тавтологией (ср.: пустое произведение ); соответственно, пересечение какого-либо множества и есть Вселенная .

В предыдущем разделе мы исключили случай, когда $M$ был пустой набор ( $\varnothing$). Причина в следующем: Пересечение коллекции $M$ определяется как набор (см. обозначение set-builder )

$$\bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.$$

Если $M$ пусто, наборов нет $A$ в $M,$ поэтому возникает вопрос: «Какой $x$удовлетворяет указанному условию?» Ответ кажется всевозможным . $x$. Когда $M$пусто, то приведенное выше условие является примером пустой истины . Таким образом, пересечение пустого семейства должно быть универсальным множеством ( единичным элементом для операции пересечения), но в стандартной теории множеств ( ZF ) универсального множества не существует.

Однако, если ограничиться контекстом подмножеств данного фиксированного набора $X$, понятие пересечения пустой совокупности подмножеств $X$четко определен. В том случае, если $M$ пусто, его пересечение есть $\bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}$. Поскольку все $x\in X$ бесполезно удовлетворяют требуемому условию пересечения пустой совокупности подмножеств $X$ это все из $X.$ В формулах $\bigcap \varnothing =X.$Это соответствует интуитивному предположению, что по мере того, как коллекции подмножеств становятся меньше, их соответствующие пересечения становятся больше; в крайнем случае пустая коллекция имеет пересечение, равное всему базовому набору.

Кроме того, в теории типов $x$ имеет установленный тип $\tau ,$ поэтому считается, что пересечение имеет тип $\mathrm {set} \ \tau$ (тип множеств, элементы которых находятся в $\tau$), и мы можем определить $\bigcap _{A\in \emptyset }A$ быть универсальным набором $\mathrm {set} \ \tau$ (множество, элементами которого являются в точности все термы типа $\tau$).

См. также

• Алгебра множеств - Тождества и отношения с участием множеств.
• Кардинальность - определение количества элементов в наборе.
• Дополнение - набор элементов, не входящих в данное подмножество.
• Пересечение (евклидова геометрия) — фигура, образованная из точек, общих для других фигур. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Граф пересечений - график, представляющий пересечения между заданными множествами.
• Теория пересечений - Раздел алгебраической геометрии.
• Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
• Логический союз – Логическая связка И
• MinHash — техника интеллектуального анализа данных
• Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
• Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
• Объединение — набор элементов в любом из нескольких наборов.

Дальнейшее чтение

• Девлин, К.Дж. (1993). Радость множеств: основы современной теории множеств (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  3-540-94094-4 .
• Манкрес, Джеймс Р. (2000). «Теория множеств и логика». Топология (Второе изд.). Река Аппер-Седл: Прентис-Холл. ISBN  0-13-181629-2 .
• Розен, Кеннет (2007). «Базовые структуры: множества, функции, последовательности и суммы». Дискретная математика и ее приложения (Шестое изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-322972-0 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение» . Математический мир .