Непересекающийся союз

Эта статья о работе над множествами. Значение этого термина в информатике см. в разделе Tagged Union . Информацию о работе с графами см. в разделе «Дизъюнктное объединение графов» .

Не путать с разделительным союзом .

Непересекающийся союз

Тип	Установить операцию
Поле	Теория множеств
Символическое заявление	$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}$$

В математике ( дизъюнктный союз или дискриминируемый союз ) $A\sqcup B$ множеств A и B — это множество, образованное из элементов A и B, помеченных (индексированных) именем множества, из которого они происходят. Таким образом, элемент, принадлежащий как A , так и B, появляется в непересекающемся объединении дважды с двумя разными метками.

Дизъюнктное объединение индексированного семейства множеств $(A_{i}:i\in I)$ это набор $A,$ часто обозначается ${\textstyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$ с инъекцией каждого $A_{i}$ в $A,$ такие, что изображения этих инъекций перегородку образуют $A$ (то есть каждый элемент $A$ принадлежит ровно одному из этих изображений). Дизъюнктное объединение семейства попарно непересекающихся множеств — это их объединение .

В теории категорий дизъюнктное объединение является копроизведением категории множеств и, таким образом, определено точностью до биекции с . В этом контексте обозначение ${\textstyle \coprod _{i\in I}A_{i}}$ часто используется.

Непересекающееся объединение двух множеств $A$ и $B$ записывается с инфиксной записью как $A\sqcup B$. Некоторые авторы используют альтернативное обозначение $A\uplus B$ или $A\operatorname {{\cup }\!\!\!{\cdot }\,} B$ (вместе с соответствующим ${\textstyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$ или ${\textstyle \operatorname {{\bigcup }\!\!\!{\cdot }\,} _{i\in I}A_{i}}$).

Стандартный способ построения непересекающегося объединения — определить $A$ как набор упорядоченных пар $(x,i)$ такой, что $x\in A_{i},$ и инъекция $A_{i}\to A$ как $x\mapsto (x,i).$

Пример

Рассмотрим множества $A_{0}=\{5,6,7\}$ и $A_{1}=\{5,6\}.$ Можно индексировать элементы набора в соответствии с происхождением набора, формируя связанные наборы. ${\begin{aligned}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*}&=\{(5,1),(6,1)\},\\\end{aligned}}$

где второй элемент в каждой паре соответствует индексу исходного набора (например, $0$ в $(5,0)$ соответствует нижнему индексу в $A_{0},$ и т. д.). Непересекающийся союз $A_{0}\sqcup A_{1}$ тогда можно рассчитать следующим образом:

$$A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7,0),(5,1),(6,1)\}.$$

Определение теории множеств

Формально пусть $\left(A_{i}:i\in I\right)$ быть индексированным семейством множеств, индексированных $I.$ Дизъюнктным объединением этого семейства является множество

$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.$$

Элементы непересекающегося объединения представляют собой упорядоченные пары. $(x,i).$ Здесь $i$ служит вспомогательным индексом, указывающим, какой именно $A_{i}$ элемент $x$ пришел из.

Каждый из наборов $A_{i}$ канонически изоморфно множеству

$$A_{i}^{*}=\left\{(x,i):x\in A_{i}\right\}.$$

Благодаря этому изоморфизму можно считать, что $A_{i}$ канонически вкладывается в дизъюнктный союз. Для $i\neq j,$ наборы $A_{i}^{*}$ и $A_{j}^{*}$ не пересекаются, даже если множества $A_{i}$ и $A_{j}$ нет.

В крайнем случае, когда каждый из $A_{i}$ равен некоторому фиксированному множеству $A$ для каждого $i\in I,$ непересекающееся объединение является произведением декартовым $A$ и $I$:

$$\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.$$

Иногда обозначения

$$\sum _{i\in I}A_{i}$$

используется для непересекающегося объединения семейства множеств или обозначения $A+B$ для непересекающегося объединения двух множеств. Это обозначение призвано наводить на мысль о том, что мощность непересекающегося союза представляет собой сумму мощностей членов семейства. Сравните это с обозначением декартова произведения семейства множеств.

На языке теории категорий непересекающееся объединение — это копроизведение в категории множеств . Следовательно, он удовлетворяет соответствующему универсальному свойству . Это также означает, что непересекающееся объединение является категориальным двойником конструкции декартова произведения . См. Coproduct для получения более подробной информации.

Для многих целей конкретный выбор вспомогательного индекса неважен, и, если упростить обозначения , индексированное семейство можно рассматривать просто как набор множеств. В этом случае $A_{i}^{*}$ называется копией ​ $A_{i}$ и обозначения ${\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A$ иногда используется.

Точка зрения теории категорий

В теории категорий непересекающееся объединение определяется как копроизведение в категории множеств.

Таким образом, дизъюнктное объединение определено с точностью до изоморфизма, и приведенное выше определение является лишь одной реализацией копроизведения, среди прочих. Когда множества попарно не пересекаются, обычное объединение является еще одной реализацией копроизведения. Это оправдывает второе определение.

Этот категорический аспект непересекающегося союза объясняет, почему $\coprod$ часто используется вместо $\bigsqcup ,$ для обозначения копродукции .

См. также

• Копродукт – теоретико-категорное построение
• Прямой предел - частный случай копредела в теории категорий.
• Непересекающееся объединение (топология) - пространство, образованное путем оснащения непересекающегося объединения базовых множеств естественной топологией, называемой топологией непересекающегося объединения. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Дизъюнктное объединение графов . Объединение наборов вершин и ребер двух графов.
• Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
• Список тождеств и отношений множеств . Равенства для комбинаций множеств.
• Разделение набора - Математические способы группировки элементов набора.
• Тип суммы — структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько разных, но фиксированных типов. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
• Теговое объединение — структура данных, используемая для хранения значения, которое может принимать несколько разных, но фиксированных типов.
• Union (информатика) — переменная, способная хранить разные типы данных. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.

Ссылки

• Ланг, Серж (2004), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (Исправленное четвертое издание, исправленное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211. 60, ISBN  978-0-387-95385-4
• Вайсштейн, Эрик В. «Разрозненный союз» . Математический мир .