Общая теория множеств

Общая теория множеств ( GST ) — это Джорджа Булоса (1998) фрагмента аксиоматической теории множеств Z. название GST достаточен для всей математики, не требующей бесконечных множеств , и является самой слабой известной теорией множеств, теоремы которой включают аксиомы Пеано .

Онтология [ править ]

Онтология GST идентична ZFC и, следовательно, полностью канонична. GST имеет единственное примитивное онтологическое понятие множества и единственное онтологическое предположение, а именно, что все индивидуумы во вселенной дискурса (следовательно, все математические объекты ) являются множествами. Существует единственное примитивное бинарное отношение — членство в наборе ; то, что набор a является членом множества b, записывается как a ∈ b (обычно читается « a является элементом b » ).

Аксиомы [ править ]

Символические аксиомы, приведенные ниже, взяты из Boolos (1998: 196) и управляют поведением и взаимодействием множеств. Как и в случае с Z , базовой логикой для GST является логика первого порядка с идентификатором . Действительно, GST — это фрагмент Z, полученный путем исключения аксиом Union , Power Set , Elementary Sets (по сути, Pairing ) и Infinity , а затем принятия теоремы Z, Adjunction, в качестве аксиомы. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.

1) Аксиома экстенсиональности : множества x и y являются одним и тем же множеством, если у них одни и те же члены.

\forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x=y].

Обратное утверждение этой аксиомы следует из свойства подстановки равенства.

2) Схема аксиом спецификации (или разделения или ограниченного понимания ): если z — множество и $\phi$ — это любое свойство, которому могут удовлетворять все, некоторые элементы z или ни один из них, то существует подмножество y из z, содержащее только те элементы x из z , которые удовлетворяют свойству $\phi$ . Ограничение парадокса на z необходимо, чтобы избежать Рассела и его вариантов. Более формально, пусть $\phi (x)$ Это любая формула языка GST, в которой x может свободно встречаться, а y — нет. Тогда все экземпляры следующей схемы являются аксиомами:

\forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow (x\in z\land \phi (x))].

3) присоединения : если x и y — множества, то существует множество w , присоединение x Аксиома и y , членами которого являются только y и члены x . ^[1]

\forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].

Присоединение относится к элементарной операции над двумя множествами и не имеет никакого отношения к использованию этого термина в других областях математики, в том числе в теории категорий .

ST представляет собой GST, в котором схема аксиом спецификации заменена аксиомой пустого множества .

Обсуждение [ править ]

Метаматематика [ править ]

Обратите внимание, что спецификация представляет собой схему аксиом. Теория, заданная этими аксиомами, не является конечно аксиоматизируемой . Монтегю (1961) показал, что ZFC не является конечно аксиоматизируемым, и его аргументы переносятся и на GST. Следовательно, любая аксиоматизация GST должна включать хотя бы одну схему аксиом . Благодаря своим простым аксиомам GST также невосприимчив к трем великим антиномиям наивной теории множеств : расселовской , бурали-Форти и канторовской .

GST интерпретируем в алгебре отношений , поскольку ни одна часть какой-либо аксиомы GST не находится в области действия более трех кванторов . Это необходимое и достаточное условие, данное Тарским и Гивантом (1987).

Арифметика Пеано [ править ]

Установка φ( x ) в разделе Separation на x ≠ x и предположение, что область определения непуста, гарантирует существование пустого множества . Дополнение подразумевает, что если x является множеством, то и оно тоже. $S(x)=x\cup \{x\}$ . Учитывая дополнение , можно продолжить обычное построение последующих ординалов из пустого набора , в котором натуральные числа определяются как $\varnothing ,\,S(\varnothing ),\,S(S(\varnothing )),\,\ldots ,$ . См. аксиомы Пеано . GST взаимно интерпретируется с арифметикой Пеано (таким образом, он имеет ту же теоретическую силу доказательства, что и PA).

Самый замечательный факт о ST (и, следовательно, GST) заключается в том, что эти крошечные фрагменты теории множеств порождают такую богатую метаматематику. Хотя ST является небольшим фрагментом известных канонических теорий множеств ZFC и NBG , ST интерпретирует арифметику Робинсона (Q), так что ST наследует нетривиальную метаматематику Q. Например, ST по существу неразрешима, потому что Q есть, и каждое непротиворечивое Теория, теоремы которой включают аксиомы ST, также по существу неразрешима. ^[2] Сюда входит GST и все аксиоматические теории множеств, о которых стоит задуматься, при условии, что они непротиворечивы. Фактически, неразрешимость ST подразумевает неразрешимость логики первого порядка с одной двоичной буквой-предикатом. ^[3]

Q также является неполным в смысле теоремы Гёделя о неполноте . Любая аксиоматизируемая теория, такая как ST и GST, теоремы которой включают Q-аксиомы, также является неполной. Более того, непротиворечивость GST не может быть доказана внутри самого GST, если только GST не является фактически несовместимым.

Бесконечные множества [ править ]

Для любой модели M ZFC набор наследственно конечных множеств в M будет удовлетворять аксиомам GST. Следовательно, GST не может доказать существование даже счетного бесконечного множества , то есть множества, мощность которого равна ℵ ₀ . Даже если бы GST действительно допускал счетное бесконечное множество, GST не мог бы доказать существование множества, мощность которого равна $\aleph _{1}$ , потому что в GST отсутствует аксиома набора мощности . Следовательно, GST не может служить основой анализа и геометрии и слишком слаб, чтобы служить основой математики .

История [ править ]

Булоса интересовал GST только как фрагмент Z , достаточно мощный для интерпретации арифметики Пеано . никогда не задерживался на GST, лишь кратко упоминая о нем в нескольких статьях, обсуждающих системы Фреге Grundlagen Он и Grundgesetze и то, как их можно модифицировать, чтобы устранить парадокс Рассела . Система Aξ' [δ ₀ ] у Тарского и Гиванта (1987: 223) по существу представляет собой GST со схемой аксиом индукции, заменяющей спецификацию , и с явно предполагаемым существованием пустого множества .

GST называется STZ у Берджесса (2005), с. 223. ^[4] Теория Берджесса ST ^[5] представляет собой GST с пустым набором, заменяющим схему аксиом спецификации . То, что буквы «ST» встречаются и в «GST», является совпадением.

Сноски [ править ]

^ Присоединение редко упоминается в литературе. Исключениями являются Passim Burgess (2005) и QIII Tarski and Givant (1987: 223).
^ Берджесс (2005), 2.2, с. 91.
^ Тарский и др. (1953), с. 34.
^ Аксиома о пустом множестве в STZ избыточна, поскольку существование пустого множества выводится из схемы аксиом Спецификации.
^ Называется S 'в Tarski et al. (1953: 34).

Ссылки [ править ]

Джордж Булос (1999) Логика, логика и логика . Гарвардский университет. Нажимать.
Берджесс, Джон, 2005. Исправление Фреге . Принстонский университет. Нажимать.
Ричард Монтегю (1961) «Семантическая замкнутость и неконечная аксиоматизируемость» в книге «Инфинистические методы» . Варшава: 45-69.
Альфред Тарский , Анджей Мостовский и Рафаэль Робинсон (1953) Неразрешимые теории . Северная Голландия.
Тарский А. и Гивант Стивен (1987) Формализация теории множеств без переменных . Провиденс, Род-Айленд: Публикации коллоквиума AMS, т. 41.

Внешние ссылки [ править ]

Стэнфордская энциклопедия философии : Теория множеств — Томас Джех.

[1] Присоединение редко упоминается в литературе. Исключениями являются Passim Burgess (2005) и QIII Tarski and Givant (1987: 223).

[2] Берджесс (2005), 2.2, с. 91.

[3] Тарский и др. (1953), с. 34.

[4] Аксиома о пустом множестве в STZ избыточна, поскольку существование пустого множества выводится из схемы аксиом Спецификации.

[5] Называется S 'в Tarski et al. (1953: 34).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

v т и Теория множеств
Overview	Set (mathematics)
Axioms	Adjunction Choice countable dependent global Constructibility (V=L) Determinacy Extensionality Infinity Limitation of size Pairing Power set Regularity Union Martin's axiom Axiom schema replacement specification
Operations	Cartesian product Complement (i.e. set difference) De Morgan's laws Disjoint union Identities Intersection Power set Symmetric difference Union
Concepts Methods	Almost Cardinality Cardinal number (large) Class Constructible universe Continuum hypothesis Diagonal argument Element ordered pair tuple Family Forcing One-to-one correspondence Ordinal number Set-builder notation Transfinite induction Venn diagram
Set types	Amorphous Countable Empty Finite (hereditarily) Filter base subbase Ultrafilter Fuzzy Infinite (Dedekind-infinite) Recursive Singleton Subset · Superset Transitive Uncountable Universal
Theories	Alternative Axiomatic Naive Cantor's theorem Zermelo General Principia Mathematica New Foundations Zermelo–Fraenkel von Neumann–Bernays–Gödel Morse–Kelley Kripke–Platek Tarski–Grothendieck
Paradoxes Problems	Russell's paradox Suslin's problem Burali-Forti paradox
Set theorists	Paul Bernays Georg Cantor Paul Cohen Richard Dedekind Abraham Fraenkel Kurt Gödel Thomas Jech John von Neumann Willard Quine Bertrand Russell Thoralf Skolem Ernst Zermelo