Общая теория множеств
Общая теория множеств GST ) — это название Джорджа Булоса (1998) фрагмента аксиоматической теории множеств Z. ( GST достаточен для всей математики, не требующей бесконечных множеств , и является самой слабой из известных теорий множеств, теоремы которой включают аксиомы Пеано .
Онтология [ править ]
Онтология GST идентична ZFC и , следовательно, полностью канонична. GST имеет единственное примитивное онтологическое понятие множества и единственное онтологическое предположение, а именно, что все индивидуумы во вселенной дискурса (следовательно, все математические объекты ) являются множествами. Существует единственное примитивное бинарное отношение — членство в наборе ; что набор a является членом множества b , записывается как a ∈ b (обычно читается « a является элементом b то , »).
Аксиомы [ править ]
Символические аксиомы, приведенные ниже, взяты из Boolos (1998: 196) и управляют поведением и взаимодействием множеств. Как и в случае с Z , фоновой логикой для GST является логика первого порядка с идентификатором . Действительно, GST — это фрагмент Z, полученный путем исключения аксиом Union , Power Set , Elementary Sets (по сути, Pairing ) и Infinity , а затем принятия теоремы Z, Adjunction, в качестве аксиомы. Версии аксиом на естественном языке предназначены для помощи интуиции.
1) Аксиома экстенсиональности : множества x и y являются одним и тем же множеством, если у них одни и те же члены.
![{\displaystyle \forall x\forall y[\forall z[z\in x\leftrightarrow z\in y]\rightarrow x = y].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9de6c6d114db7301b6879074f51ac73eaf8ada9)
Обратное утверждение этой аксиомы следует из свойства подстановки равенства.
2) Схема аксиом спецификации (или разделения или ограниченного понимания ): если z — множество и — это любое свойство, которому могут удовлетворять все, некоторые элементы z или ни один из них , то существует подмножество y из z , содержащее только те элементы x из z , которые удовлетворяют свойству . Ограничение парадокса на z необходимо, чтобы избежать Рассела и его вариантов. Более формально, пусть Это любая формула языка GST, в которой x может свободно встречаться, а y — нет. Тогда все экземпляры следующей схемы являются аксиомами:
![{\displaystyle \forall z\exists y\forall x[x\in y\leftrightarrow (x\in z\land \phi (x))].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397e537f1b4f835e38bfe1b3eac5dfb30536386e)
3) Аксиома присоединения : если x и y — множества, то существует множество w , присоединение x y и y , членами которого являются только и члены x . [1]
![{\displaystyle \forall x\forall y\exists w\forall z[z\in w\leftrightarrow (z\in x\lor z=y)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de75516db6b8cb9e1d90ec20a65859cfe4488cd)
Присоединение относится к элементарной операции над двумя множествами и не имеет никакого отношения к использованию этого термина в других областях математики, в том числе в теории категорий .
ST представляет собой GST, в котором схема аксиом спецификации заменена аксиомой пустого множества .
Обсуждение [ править ]
Метаматематика [ править ]
Обратите внимание, что спецификация представляет собой схему аксиом. Теория, заданная этими аксиомами, не является конечно аксиоматизируемой . Монтегю (1961) показал, что ZFC не является конечно аксиоматизируемым, и его аргумент переносится и на GST. Следовательно, любая аксиоматизация GST должна включать хотя бы одну схему аксиом . Благодаря своим простым аксиомам GST также невосприимчив к трем великим антиномиям наивной теории множеств : расселовской , бурали-Форти и канторовской .
GST интерпретируем в алгебре отношений, поскольку ни одна часть какой-либо аксиомы GST не находится в области действия более трех кванторов . Это необходимое и достаточное условие, данное Тарским и Гивантом (1987).
Арифметика Пеано [ править ]
Установка φ( x ) в разделе Separation на x ≠ x и предположение, что область определения непуста, гарантирует существование пустого множества . Дополнение подразумевает, что если x является множеством, то и оно тоже. . Учитывая дополнение , можно продолжить обычное построение последующих ординалов из пустого набора , в котором натуральные числа определяются как . См. аксиомы Пеано . GST взаимно интерпретируется с арифметикой Пеано (таким образом, он имеет ту же теоретическую силу доказательства, что и PA).
Самый замечательный факт о ST (и, следовательно, GST) заключается в том, что эти крошечные фрагменты теории множеств порождают такую богатую метаматематику. Хотя ST является небольшим фрагментом известных канонических теорий множеств ZFC и NBG , ST интерпретирует арифметику Робинсона (Q), так что ST наследует нетривиальную метаматематику Q. Например, ST по существу неразрешима, потому что Q есть, и каждая непротиворечивая Теория, теоремы которой включают аксиомы ST, также по существу неразрешима. [2] Сюда входит GST и все аксиоматические теории множеств, о которых стоит задуматься, при условии, что они непротиворечивы. Фактически, неразрешимость ST подразумевает неразрешимость логики первого порядка с одной двоичной буквой-предикатом. [3]
Q также является неполным в смысле теоремы Гёделя о неполноте . Любая аксиоматизируемая теория, такая как ST и GST, теоремы которой включают Q-аксиомы, также является неполной. Более того, непротиворечивость GST не может быть доказана внутри самого GST, если только GST не является фактически несовместимым.
Бесконечные множества [ править ]
Для любой модели M ZFC набор наследственно конечных множеств в M будет удовлетворять аксиомам GST. Следовательно, GST не может доказать существование даже счетного бесконечного множества , то есть множества, мощность которого равна ℵ 0 . Даже если бы GST действительно допускал счетное бесконечное множество, GST не мог бы доказать существование множества, мощность которого равна , потому что в GST отсутствует аксиома набора мощности . Следовательно, GST не может служить основой для анализа и геометрии и слишком слаб, чтобы служить основой математики .
История [ править ]
Булоса интересовал GST только как фрагмент Z , достаточно мощный для интерпретации арифметики Пеано . обсуждающих системы Фреге Он никогда не задерживался на GST, лишь кратко упоминая о нем в нескольких статьях , Grundlagen и Grundgesetze и то, как их можно модифицировать, чтобы устранить парадокс Рассела . Система Aξ' [δ 0 ] у Тарского и Гиванта (1987: 223) по существу представляет собой GST со схемой аксиом индукции, заменяющей спецификацию существованием пустого множества , и с явно предполагаемым .
GST называется STZ у Берджесса (2005), с. 223. [4] Теория Берджесса ST [5] представляет собой GST с пустым набором , заменяющим схему аксиом спецификации . То, что буквы «ST» встречаются и в «GST», является совпадением.
Сноски [ править ]
- ^ Присоединение редко упоминается в литературе. Burgess (2005) Исключения включают Passim и QIII Tarski and Givant (1987: 223).
- ^ Берджесс (2005), 2.2, с. 91.
- ^ Тарский и др. (1953), с. 34.
- ^ Аксиома о пустом множестве в STZ избыточна, поскольку существование пустого множества выводится из схемы аксиом Спецификации.
- ^ Называется S 'в Tarski et al. (1953: 34).
Ссылки [ править ]
- Джордж Булос (1999) Логика, логика и логика . Гарвардский университет. Нажимать.
- Берджесс, Джон, 2005. Исправление Фреге . Принстонский университет. Нажимать.
- Ричард Монтегю (1961) «Семантическая замкнутость и неконечная аксиоматизируемость» в книге «Инфинистические методы» . Варшава: 45-69.
- Альфред Тарский , Анджей Мостовский и Рафаэль Робинсон (1953) Неразрешимые теории . Северная Голландия.
- Тарский А. и Гивант Стивен (1987) Формализация теории множеств без переменных . Провиденс, Род-Айленд: Публикации коллоквиума AMS, т. 41.
Внешние ссылки [ править ]
- Стэнфордская энциклопедия философии : Теория множеств — Томас Джех.
