Аксиома Мартина
В математической области теории множеств аксиома Мартина , введенная Дональдом А. Мартином и Робертом М. Соловеем , [ 1 ] — это утверждение, которое не зависит от обычных аксиом теории множеств ZFC . Это подразумевается гипотезой континуума , но согласуется с ZFC и отрицанием гипотезы континуума. Неформально это говорит о том, что все кардиналы, меньшие мощности континуума , 𝔠, ведут себя примерно как ℵ 0 . Интуицию, стоящую за этим, можно понять, изучив доказательство леммы Расёвы–Сикорского . Это принцип, который используется для контроля определенных принудительных аргументов.
Заявление
[ редактировать ]Для кардинального числа κ определим следующее утверждение:
- МА( κ )
- Для любого частичного порядка P, удовлетворяющего условию счетной цепи (далее ccc), и любого множества D = { D i } i ∈ I плотных подмножеств P такого, что |D| ≤ κ существует фильтр F на P такой, что ∩ D i непусто для F каждого D i ∈ D .
В этом контексте множество D называется плотным, если каждый элемент P имеет нижнюю границу в D . Для применения ccc антицепь — это подмножество A из P, такое, что любые два различных члена A несовместимы (два элемента считаются совместимыми, если под ними обоими в частичном порядке существует общий элемент). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревьев .
MA(ℵ 0 ) доказуемо в ZFC и известно как лемма Расиовой-Сикорского .
И(2 ℵ 0 ) неверно: [0, 1] — сепарабельный компакт Хаусдорфа , и поэтому ( P , частично упорядоченное множество открытых подмножеств при включении, есть) ccc. Но теперь рассмотрим следующие два множества плотных множеств в P размером 𝔠 : ни один x ∈ [0, 1] не является изолированным , и поэтому каждый x определяет плотное подмножество { S | х ∉ S }. И каждый r ∈ (0, 1] определяет плотное подмножество { S | diam( S ) < r }. Объединенные два набора также имеют размер 𝔠, и фильтр, встречающий оба, должен одновременно избегать всех точек из [0, 1]. ] при этом содержащий множества сколь угодно малого диаметра. Но фильтр F , содержащий множества сколь угодно малого диаметра, должен содержать точку из ⋂ F по компактности (см. также § Эквивалентные формы MA(κ) .)
Тогда аксиома Мартина состоит в том, что MA( κ ) выполняется для любого κ , для которого оно могло бы:
- Аксиома Мартина (МА)
- MA( κ ) выполняется для любого κ < 𝔠.
Эквивалентные формы MA( κ )
[ редактировать ]Следующие утверждения эквивалентны MA( κ ):
- Если X — компактное топологическое пространство Хаусдорфа , удовлетворяющее ccc , то X не является объединением κ или меньшего количества нигде не плотных подмножеств.
- Если P — непустое частично упорядоченное множество, направленное вверх , а Y — множество конфинальных подмножеств P с |Y| ≤ κ , то существует направленное вверх множество A такое, что A соответствует каждому элементу Y .
- Пусть A — ненулевая булева алгебра ccc , а F — набор подмножеств A с |F| ≤ κ . Тогда существует булев гомоморфизм φ: A → Z /2 Z такой, что для каждого X ∈ F существует либо a ∈ X с φ( a ) = 1, либо существует верхняя граница b ∈ X с φ( b ) = 0.
Последствия
[ редактировать ]Аксиома Мартина имеет ряд других интересных комбинаторных , аналитических и топологических следствий:
- Объединение κ или меньшего числа нулевых множеств в безатомной σ-конечной борелевской мере на польском пространстве является нулевым. В частности, объединение κ или меньшего числа подмножеств R меры Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
- Компакт Хаусдорфово пространство X с |X| < 2 Мистер секвенциально компактна , т. е. каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
- Ни один неглавный ультрафильтр на N не имеет базы мощности меньше κ .
- Эквивалентно для любого ∈ β N \ N мы имеем 𝜒( x ) ≥ κ , где 𝜒 — характер x x , и поэтому 𝜒(β N ) ≥ κ .
- MA(ℵ 1 ) подразумевает, что произведением топологических пространств ccc является ccc (это, в свою очередь, означает отсутствие прямых Суслина ).
- MA + ¬CH означает, что существует несвободная группа Уайтхеда; Шела использовал это, чтобы показать, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.
Дальнейшее развитие
[ редактировать ]- Аксиома Мартина имеет обобщения, называемые аксиомой правильного воздействия и максимумом Мартина .
- Шелдон В. Дэвис в своей книге предположил, что аксиома Мартина мотивирована теоремой Бэра о категориях . [ 2 ]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Мартин, Дональд А .; Соловей, Роберт М. (1970). «Внутренние расширения Коэна» . Энн. Математика. Логика . 2 (2): 143–178. дои : 10.1016/0003-4843(70)90009-4 . МР 0270904 .
- ^ Дэвис, Шелдон В. (2005). Топология . МакГроу Хилл. п. 29. ISBN 0-07-291006-2 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Фремлин, Дэвид Х. (1984). Следствия аксиомы Мартина . Кембриджские трактаты по математике, вып. 84. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-25091-9 .
- Джех, Томас , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
- Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN 0-444-86839-9 .
