Курт Гёдель

«Гедель» и «Гедель» перенаправляются сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Гёдель (значения) .

Курт Гёдель
Гёдель ок. 1926 год
Рожденный	Курт Фридрих Гедель ( 1906-04-28 ) 28 апреля 1906 г. Брюнн , Австро-Венгрия (ныне Брно, Чехия)
Умер	14 января 1978 г. (14 января 1978 г.) (71 год) Принстон, Нью-Джерси , США
Гражданство	Австрия Чехословакия Германия Соединенные Штаты
Альма-матер	Венский университет ( доктор философии , 1930 г.)
Известный	показывать   Gödel's incompleteness theorems Gödel's completeness theorem Gödel's constructible universe Gödel metric (closed timelike curve) Gödel logic Gödel–Dummett logic Gödel's β function Gödel's Loophole Gödel numbering Gödel operation Gödel's speed-up theorem Gödel's ontological proof Gödel–Gentzen translation Gödel–McKinsey–Tarski translation Von Neumann–Bernays–Gödel set theory ω-consistent theory The consistency of the continuum hypothesis with ZFC Axiom of constructibility Compactness theorem Condensation lemma Diagonal lemma Dialectica interpretation Ordinal definable set Slingshot argument
Супруг	Адель Нимбурски ( м. 1938)
Награды	Премия Альберта Эйнштейна (1951) ФорМемРС (1968) Национальная медаль науки (1974 г.)
Научная карьера
Поля	Математика , математическая логика , физика
Учреждения	Институт перспективных исследований
Диссертация	О полноте логического исчисления   (1929)
Докторантура	Ханс Хан
Философская карьера
Эра	Философия 20-го века
Область	Западная философия
Школа	Аналитическая философия
Основные интересы	Философия логики Философия математики Философия религии
Подпись

Курт Фридрих Гёдель ( / ˈ ɡ ɜːr d el / GUR -del , Немецкий: [kʊʁt ˈɡøːdl̩] ; 28 апреля 1906 — 14 января 1978) — логик , математик и философ . Считающийся наряду с Аристотелем и Готлобом Фреге одним из самых значительных логиков в истории, Гёдель оказал глубокое влияние на научную и философскую мысль ХХ века (в то время, когда Бертран Рассел , Альфред Норт Уайтхед , и Дэвид Гильберт использовали логику и теорию множеств для исследования основ математики ), основываясь на более ранних работах Фреге, Рихарда Дедекинда и Георга Кантора .

Открытия Гёделя в основах математики привели к доказательству его теоремы о полноте в 1929 году в рамках его диссертации на получение докторской степени в Венском университете и публикации теорем Гёделя о неполноте два года спустя, в 1931 году. Первая теорема о неполноте утверждает, что для любой ω-согласованной рекурсивной аксиоматической системы, достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, Арифметика Пеано ), существуют истинные положения о натуральных числах, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть на основе аксиом. Чтобы доказать это, Гёдель разработал метод, ныне известный как нумерация Гёделя , который кодирует формальные выражения как натуральные числа. Вторая теорема о неполноте, вытекающая из первой, утверждает, что система не может доказать свою непротиворечивость.

Гёдель также показал, что ни аксиома выбора , ни гипотеза континуума не могут быть опровергнуты принятой теорией множеств Цермело-Френкеля , если предположить, что ее аксиомы непротиворечивы. Первый результат открыл математикам возможность использовать аксиому выбора в своих доказательствах. Он также внес важный вклад в теорию доказательств , прояснив связи между классической логикой , интуиционистской логикой и модальной логикой .

Ранняя жизнь и образование

Детство

Гёдель родился 28 апреля 1906 года в Брюнне, Австро-Венгрия (ныне Брно , Чехия ), в немецкоязычной семье Рудольфа Гёделя (1874–1929), управляющего директора и совладельца крупной текстильной фирмы. Марианна Гёдель ( урожденная Хандшу, 1879–1966). На момент его рождения в городе проживало немецкоязычное большинство, включая его родителей. Его отец был католиком, а мать — протестанткой, и дети были воспитаны протестантами. Предки Курта Гёделя часто принимали активное участие в культурной жизни Брюнна. Например, его дед Йозеф Гёдель был известным в свое время певцом и в течение нескольких лет был членом Brünner Männergesangverein (Мужской хоровой союз Брюнна).

Гёдель автоматически стал гражданином Чехословакии в 12 лет, когда Австро-Венгерская империя распалась после ее поражения в Первой мировой войне . По словам его одноклассника Клепетара , как и многие жители преимущественно немецких Судетских земель , «Гёдель всегда считал себя австрийцем и изгнанником в Чехословакии». В феврале 1929 года он был освобожден от чехословацкого гражданства, а затем, в апреле, получил австрийское гражданство. Когда Германия аннексировала Австрию в 1938 году, Гёдель автоматически стал гражданином Германии в возрасте 32 лет. В 1948 году, после Второй мировой войны , в возрасте 42 лет он стал гражданином Америки.

В семье юного Гёделя из-за его ненасытного любопытства прозвали герр Варум («Мистер Зачем»). По словам его брата Рудольфа, в возрасте шести или семи лет Курт заболел ревматизмом ; он полностью выздоровел, но на всю оставшуюся жизнь оставался убежденным, что его сердце необратимо повреждено. Начиная с четырех лет, Гёдель страдал от «частых приступов плохого здоровья», которые продолжались всю его жизнь.

Гёдель посещал Evangelische Volksschule , лютеранскую школу в Брюнне с 1912 по 1916 год, а с 1916 по 1924 год был зачислен в Deutsches Staats-Realgymnasium , отличившись с отличием по всем предметам, особенно по математике, языкам и религии. Хотя Гёдель сначала преуспел в языках, позже он стал больше интересоваться историей и математикой. Его интерес к математике возрос, когда в 1920 году его старший брат Рудольф (род. 1902) уехал в Вену , где посещал медицинскую школу Венского университета . В подростковом возрасте Гёдель изучал стенографию Габельсбергера . и критика Исаака Ньютона и сочинений Иммануила Канта .

Обучение в Вене

Мемориальная доска Гёделю на Йозефштедтерштрассе где , 43-45, Вена открыл свои теоремы о неполноте

В возрасте 18 лет Гёдель присоединился к своему брату в Венском университете . Он уже освоил математику университетского уровня. Хотя первоначально он намеревался изучать теоретическую физику , он также посещал курсы по математике и философии. За это время он усвоил идеи математического реализма . Он читал и Канта «Метафизические исследования природы» участвовал в Венском кружке с Морицем Шликом , Гансом Ханом и Рудольфом Карнапом . Затем Гёдель изучал теорию чисел , но когда он принял участие в семинаре Морица Шлика , на котором изучалась Бертрана Рассела книга «Введение в математическую философию» , он заинтересовался математической логикой . По мнению Гёделя, математическая логика была «наукой, предшествующей всем остальным, которая содержит идеи и принципы, лежащие в основе всех наук».

Посещение лекции Давида Гильберта в Болонье о полноте и непротиворечивости математических систем, возможно, определило жизненный путь Гёделя. В 1928 году Гильберт и Вильгельм Акерманн опубликовали Grundzüge der theoretischen Logik ( «Принципы математической логики »), введение в логику первого порядка , в котором была поставлена ​​проблема полноты: «Достаточно ли аксиом формальной системы, чтобы вывести каждое утверждение, которое является верно во всех моделях системы?"

Эта проблема стала темой, которую Гёдель выбрал для своей докторской работы. В 1929 году в возрасте 23 лет он защитил докторскую диссертацию под руководством Ханса Хана. В ней он установил свою одноименную теорему о полноте относительно логики первого порядка . В 1930 году ему была присвоена докторская степень. а его диссертация (сопровождаемая дополнительными работами) была опубликована Венской академией наук .

Карьера

Гёдель в студенческие годы, 1925 год.

Теоремы о неполноте

Достижение Курта Гёделя в современной логике уникально и монументально — на самом деле это больше, чем памятник, это веха, которая останется видимой далеко в пространстве и времени. ... Предмет логики, безусловно, полностью изменил свою природу и возможности с достижением Гёделя.

— Джон фон Нейман

В 1930 году Гёдель присутствовал на Второй конференции по эпистемологии точных наук , проходившей в Кенигсберге 5–7 сентября. Здесь он изложил свои теоремы о неполноте .

Гёдель опубликовал свои теоремы о неполноте в книге « Über formally unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme» (названной на английском языке « О формально неразрешимых утверждениях принципов математики и родственных систем »). В этой статье он доказал для любой вычислимой аксиоматической системы , достаточно мощной для описания арифметики натуральных чисел (например, аксиом Пеано или теории множеств Цермело-Френкеля с аксиомой выбора), что:

1. Если (логическая или аксиоматически формальная) система , омега-согласована она не может быть синтаксически полной .
2. Непротиворечивость аксиом не может быть доказана в рамках их собственной системы .

Эти теоремы положили конец полувековым попыткам, начавшимся с работы Готлоба Фреге и завершившимся «Принципами математики» и программой Гильберта , найти неотносительно непротиворечивую аксиоматизацию , достаточную для теории чисел (которая должна была послужить основой для других областей теории чисел). математика).

Гёдель построил формулу, утверждающую, что она недоказуема в данной формальной системе. Если бы это было доказуемо, это было бы ложью. Таким образом, всегда будет хотя бы одно истинное, но недоказуемое утверждение. То есть для любого вычислимо перечислимого набора аксиом арифметики (то есть набора, который в принципе может быть распечатан идеализированным компьютером с неограниченными ресурсами) существует формула, которая верна для арифметики, но недоказуема в этой системе. . Чтобы сделать это точным, Гёделю пришлось разработать метод кодирования (в виде натуральных чисел) утверждений, доказательств и концепции доказуемости; он сделал это с помощью процесса, известного как нумерация Гёделя .

В своей двухстраничной статье Zum intuitionistischen Aussagenkalkül (1932) Гёдель опроверг конечнозначность интуиционистской логики . В доказательстве он неявно использовал то, что позже стало известно как промежуточная логика Гёделя – Даммета (или нечеткая логика Гёделя ).

Середина 1930-х: дальнейшая работа и визиты в США.

Гёдель получил степень магистра в Вене в 1932 году, а в 1933 году стал там приват-доцентом (неоплачиваемым лектором). В 1933 году к власти в Германии пришёл Адольф Гитлер , и в последующие годы влияние нацистов возросло в Австрии и среди венских математиков. В июне 1936 года Мориц Шлик , семинар которого пробудил интерес Гёделя к логике, был убит одним из его бывших учеников, Иоганном Нельбеком . Это спровоцировало у Гёделя «тяжелый нервный кризис». У него развились параноидальные симптомы, в том числе страх быть отравленным, и он провел несколько месяцев в санатории по поводу нервных заболеваний.

В 1933 году Гёдель впервые побывал в США, где встретил Альберта Эйнштейна , который стал его хорошим другом. Он выступил с речью на ежегодном собрании Американского математического общества . В течение этого года Гёдель также развил идеи вычислимости и рекурсивных функций до такой степени, что смог прочитать лекцию об общих рекурсивных функциях и концепции истины. Эта работа была развита в теории чисел с использованием нумерации Гёделя .

В 1934 году Гёдель прочитал серию лекций в Институте перспективных исследований (IAS) в Принстоне, штат Нью-Джерси , под названием « О неразрешимых утверждениях формальных математических систем» . Стивен Клини , который только что защитил докторскую диссертацию в Принстоне, сделал записи этих лекций, которые впоследствии были опубликованы.

Осенью 1935 года Гёдель снова посетил ИАС. Путешествия и тяжелая работа утомили его, и в следующем году он взял перерыв, чтобы оправиться от депрессивного эпизода. Он вернулся к преподаванию в 1937 году. За это время он работал над доказательством непротиворечивости аксиомы выбора и гипотезы континуума ; Далее он показал, что эти гипотезы нельзя опровергнуть с помощью общей системы аксиом теории множеств.

Он женился на Адель Нимбурски (урожденная Поркерт, 1899–1981), которую он знал более 10 лет, 20 сентября 1938 года. Родители Гёделя были против их отношений, потому что она была разведенной танцовщицей и на шесть лет старше его.

Впоследствии он уехал в очередной визит в Соединенные Штаты, проведя осень 1938 года в МАИ и опубликовав « Соответствие аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума аксиомам теории множеств». классик современной математики. В этой работе он представил конструируемую вселенную — модель теории множеств , в которой существуют только те множества, которые можно построить из более простых множеств. Гёдель показал, что как аксиома выбора (AC), так и обобщенная гипотеза континуума (GCH) верны в конструируемой вселенной и, следовательно, должны быть совместимыми с аксиомами Цермело – Френкеля для теории множеств (ZF). Этот результат имел серьезные последствия для работающих математиков, поскольку это означает, что они могут принять аксиому выбора при доказательстве теоремы Хана-Банаха . Пол Коэн позже построил модель ZF, в которой AC и GCH являются ложными; вместе эти доказательства означают, что AC и GCH независимы от аксиом ZF теории множеств.

Весну 1939 года Гёдель провел в Университете Нотр-Дам .

Принстон, Эйнштейн, гражданство США

После аншлюса 12 марта 1938 года Австрия стала частью нацистской Германии . Германия отменила звание приват-доцента , поэтому Гёделю пришлось претендовать на другую должность в соответствии с новым приказом. Его прежние связи с еврейскими членами Венского кружка, особенно с Ханом, играли против него. Венский университет отклонил его заявку.

Его затруднительное положение усугубилось, когда немецкая армия признала его годным к призыву. Вторая мировая война началась в сентябре 1939 года. Еще до конца года Гёдель и его жена уехали из Вены в Принстон . Чтобы избежать трудностей, связанных с пересечением Атлантического океана, Гёдели поехали по Транссибирской магистрали в Тихий океан, отплыли из Японии в Сан-Франциско (которого они достигли 4 марта 1940 года), а затем пересекли США на поезде до Принстона. Во время этой поездки Гёдель должен был нести секретное письмо венского физика Ганса Тирринга Альберту Эйнштейну, чтобы предупредить Рузвельта о возможности создания Гитлером атомной бомбы. Гёдель так и не передал это письмо Эйнштейну, хотя они и встретились, потому что он не был убежден, что Гитлер сможет достичь этого подвига. В любом случае Лео Сцилард уже передал это сообщение Эйнштейну, а Эйнштейн уже предупредил Рузвельта.

В Принстоне Гёдель принял должность в Институте перспективных исследований (IAS), который он посетил в 1933–34 годах.

Эйнштейн в это время также жил в Принстоне. Гёдель и Эйнштейн подружились и, как известно, вместе совершали длительные прогулки в Институт перспективных исследований и обратно. Характер их разговоров оставался загадкой для остальных членов Института. Экономист Оскар Моргенштерн вспоминает, что к концу своей жизни Эйнштейн признался, что «его собственная работа больше не имела большого значения, что он пришел в Институт просто… чтобы иметь честь идти домой с Гёделем».

Гёдель и его жена Адель провели лето 1942 года в Блю-Хилл, штат Мэн , в гостинице Blue Hill Inn на вершине залива. Гёдель не просто отдыхал, но и провел очень продуктивное лето на работе. Используя Heft 15 [рабочих тетрадей] Гёделя [том 15] еще неопубликованных Arbeitshefte , Джон В. Доусон-младший предполагает, что Гёдель обнаружил доказательство независимости аксиомы выбора от теории конечных типов, ослабленной формы теории множеств, находясь в Голубом холме в 1942 году. Близкий друг Гёделя Хао Ван поддерживает эту гипотезу, отмечая, что «Синий холм» Гёделя Записные книжки Хилла содержат его наиболее обширное рассмотрение проблемы.

5 декабря 1947 года Эйнштейн и Моргенштерн сопровождали Гёделя на экзамене на гражданство США , где они выступали в качестве свидетелей. Гёдель признался им, что обнаружил несоответствие в Конституции США , которое может позволить США стать диктатурой; с тех пор это было названо лазейкой Гёделя . Эйнштейн и Моргенштерн были обеспокоены тем, что непредсказуемое поведение их друга могло поставить под угрозу его заявку. Судьей оказался Филип Форман , который знал Эйнштейна и давал присягу на слушании по делу о гражданстве Эйнштейна. Все шло гладко, пока Форман случайно не спросил Гёделя, думает ли он, что в США может возникнуть диктатура, подобная нацистскому режиму , а затем Гёдель начал объяснять свое открытие Форману. Форман понял, что происходит, прервал Гёделя и перевел слушание на другие вопросы и рутинное заключение.

Гёдель стал постоянным членом Института перспективных исследований в Принстоне в 1946 году. Примерно в это же время он прекратил публиковаться, хотя продолжал работать. Он стал профессором института в 1953 году и почетным профессором в 1976 году.

Во время учебы в институте интересы Гёделя обратились к философии и физике. В 1949 году он продемонстрировал существование решений, включающих замкнутые времениподобные кривые , для уравнений поля Эйнштейна в общей теории относительности . Говорят, что он подарил эту разработку Эйнштейну на его 70-летие. Его «вращающиеся вселенные» позволили бы путешествовать во времени в прошлое и заставили Эйнштейна усомниться в своей собственной теории. Его решения известны как метрика Гёделя (точное решение уравнения поля Эйнштейна ).

Он изучал работы Готфрида Лейбница и восхищался ими, но пришел к выводу, что враждебный заговор стал причиной запрета некоторых работ Лейбница. В меньшей степени он изучал Иммануила Канта и Эдмунда Гуссерля . В начале 1970-х годов Гёдель распространил среди своих друзей разработку лейбницевской версии Кентерберийского Ансельма онтологического доказательства существования Бога . Теперь это известно как онтологическое доказательство Гёделя .

Награды и почести

Гёдель был награжден (вместе с Джулианом Швингером ) первой премией Альберта Эйнштейна в 1951 году, а также был награжден Национальной медалью науки в 1974 году. Гёдель был избран постоянным членом Американского философского общества в 1961 году и иностранным членом Королевского общества (ForMemRS) в 1968 году . Он был пленарным спикером ICM в 1950 году в Кембридже, штат Массачусетс.

Дальнейшая жизнь и смерть

Надгробие Курта и Адель Гёдель на кладбище Принстона, штат Нью-Джерси.

Позже в своей жизни Гёдель переживал периоды психической нестабильности и болезней. После убийства своего близкого друга Морица Шлика У Гёделя развился навязчивый страх быть отравленным , и он ел только пищу, приготовленную его женой Адель. Адель попала в больницу в конце 1977 года, и в ее отсутствие Гёдель отказывался есть; он весил 29 килограммов (65 фунтов), когда умер от «недоедания и истощения, вызванного расстройством личности» в Принстонской больнице 14 января 1978 года. Он был похоронен на Принстонском кладбище . Адель умерла в 1981 году.

Религиозные взгляды

Гёдель считал, что Бог личностный, и назвал свою философию «рационалистической, идеалистической, оптимистической и теологической».

Гёдель верил в загробную жизнь, говоря: «Конечно, это предполагает, что существует множество отношений, о которых сегодняшняя наука и общепринятая мудрость не имеют ни малейшего представления. Но я убежден в этом [загробной жизни] независимо от какой-либо теологии». «Сегодня можно с помощью чистого рассуждения понять», что это «полностью соответствует известным фактам». «Если мир устроен рационально и имеет смысл, то должна существовать такая вещь [как загробная жизнь]».

В неотправленном ответе на анкету Гёдель описал свою религию как «крещеную лютеранскую веру (но не член какой-либо религиозной общины). Моя вера теистическая , а не пантеистическая , и я следую Лейбницу, а не Спинозе ». О религии в целом он сказал: «Религии по большей части плохие, но религия - нет». По словам его жены Адель, «Гёдель, хотя и не ходил в церковь, был религиозен и каждое воскресное утро читал Библию в постели». Что касается ислама , он сказал: «Мне нравится ислам: это последовательная [или последовательная] идея религии и непредвзятости».

Наследие

Дуглас Хофштадтер написал в 1979 году книгу « Гёдель, Эшер, Бах», чтобы прославить работу и идеи Гёделя, М. К. Эшера и Иоганна Себастьяна Баха . Он частично исследует последствия того факта, что теорема Гёделя о неполноте может быть применена к любой полной по Тьюрингу вычислительной системе, которая может включать человеческий мозг . В 2005 году Джон Доусон опубликовал биографию « Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя» . Книга Стивена Будянски о жизни Гёделя « Путешествие на грань разума: Жизнь Курта Гёделя» , вошла в список лучших книг 2021 года по версии критиков New York Times . Гёдель был одним из четырех математиков, рассмотренных в Дэвида Мэлоуна в 2008 году BBC документальном фильме «Опасные знания» .

Общество Курта Гёделя , основанное в 1987 году, является международной организацией, занимающейся продвижением исследований в области логики, философии и истории математики . находится В Венском университете Исследовательский центр математической логики Курта Гёделя. Ассоциация символической логики проводит ежегодные лекции Гёделя с 1990 года. Премия Гёделя ежегодно вручается за выдающуюся работу в области теоретической информатики. Философские тетради Гёделя хранятся в Исследовательском центре Курта Гёделя при Берлинско-Бранденбургской академии наук и гуманитарных наук . Вышло в свет пять томов собрания сочинений Гёделя. Первые два включают его публикации; третий включает неопубликованные рукописи из его Нахласа , а последние два включают переписку.

В фильме 1994 года «IQ » Лу Якоби играет Гёделя. В фильме 2023 года «Оппенгеймер » Гёдель, которого играет Джеймс Урбаниак , ненадолго появляется, прогуливаясь с Эйнштейном в садах Принстона.

Библиография

Важные публикации

По-немецки:

• 1930, «Полнота аксиом исчисления логических функций». Ежемесячные выпуски по математике и физике 37 : 349–60.
• 1931, «О формально неразрешимых теоремах Principia Mathematica и родственных систем, I». Ежемесячные выпуски по математике и физике 38 : 173–98.
• 1932, «Об интуиционистском исчислении высказываний», Академия наук Анцайгера, Вена , 69 : 65–66.

По-английски:

• 1940. Согласованность аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума с аксиомами теории множеств . Издательство Принстонского университета.
• 1947. «Что такое проблема континуума Кантора?» Американский математический ежемесячный журнал 54 : 515–25. Пересмотренная версия в книге Пола Бенасеррафа и Хилари Патнэм , ред., 1984 (1964). Философия математики: Избранные материалы . Кембриджский университет. Пресса: 470–85.
• 1950, «Вращающиеся Вселенные в общей теории относительности». Труды международного конгресса математиков в Кембридже, Vol. 1, стр. 175–81.

В английском переводе:

• Курт Гёдель, 1992. О формально неразрешимых утверждениях Principia Mathematica и родственных системах , тр. Б. Мельцер, с подробным введением Ричарда Брейтуэйта . Дуврское переиздание издания Basic Books 1962 года.
• Курт Гёдель, 2000. О формально неразрешимых предложениях Principia Mathematica и родственных системах , тр. Мартин Хирзель
• Жан ван Хейеноорт , 1967. Справочник по математической логике, 1879–1931 . Гарвардский университет. Нажимать.
  • 1930. «Полнота аксиом функционального логического исчисления», 582–91.
  • 1930. «Некоторые метаматематические результаты о полноте и непротиворечивости», 595–96. Аннотация к (1931).
  • 1931. «О формально неразрешимых положениях Principia Mathematica и родственных систем», 596–616.
  • 1931а. «О полноте и последовательности», 616–17.
• Собрание сочинений : Издательство Оксфордского университета: Нью-Йорк. Главный редактор: Соломон Феферман .
  • Том I: Публикации 1929–1936 гг. ISBN   978-0-19-503964-1 / Мягкая обложка: ISBN   978-0-19-514720-9 ,
  • Том II: Публикации 1938–1974 гг. ISBN   978-0-19-503972-6 / Мягкая обложка: ISBN   978-0-19-514721-6 ,
  • Том III: Неопубликованные эссе и лекции ISBN   978-0-19-507255-6 / Мягкая обложка: ISBN   978-0-19-514722-3 ,
  • Том IV: Переписка, A – G. ISBN   978-0-19-850073-5 ,
  • Том V: Переписка, H – Z ISBN   978-0-19-850075-9 .
• Философские тетради / Философские тетради : Де Грюйтер: Берлин/Мюнхен/Бостон. Монтажер: Ева-Мария Энгелен .
  • Том 1: Философия I Максимы 0 / Философия I Максимы 0 ISBN   978-3-11-058374-8 .
  • Том 2: Тайм-менеджмент (максимы) I и II / Тайм-менеджмент (максимы) I и II ISBN   978-3-11-067409-5 .
  • Том 3: Максимы III / Максимы III ISBN   978-3-11-075325-7 .
  • Том 4: Максимы IV / Максимы IV ISBN   9783110772944 .
  • Том 5: Максимен V / Максимы V ISBN   9783111081144 .

См. также

• Оригинальное доказательство теоремы Гёделя о полноте
• нечеткая логика Гёделя
• Логика Гёделя – Лёба
• Премия Гёделя
• Онтологическое доказательство Гёделя
• Бесконечнозначная логика
• Список австрийских ученых
• Список пионеров информатики
• Математический платонизм
• Примитивный рекурсивный функционал
• Странная петля
• Теорема Тарского о неопределимости
• Всемирный день логики
• машина Гёделя

Ссылки

• Доусон, Джон В. (1997), Логические дилеммы: жизнь и творчество Курта Гёделя , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters .
• Гольдштейн, Ребекка (2005), Неполнота: доказательство и парадокс Курта Гёделя , Нью-Йорк: WW Norton & Co, ISBN  978-0-393-32760-1 .
• Ван, Хао (1987), Размышления о Курте Гёделе , Кембридж: MIT Press, ISBN  0-262-73087-1
• Ван, Хао (1996), Логическое путешествие: от Гёделя к философии , Кембридж: MIT Press, ISBN  0-262-23189-1

Дальнейшее чтение

• Стивен Будянски , 2021. Путешествие на грань разума: Жизнь Курта Гёделя . WW Нортон и компания.
• Касти, Джон Л; ДеПаули, Вернер (2000), Гёдель: Жизнь логики , Кембридж, Массачусетс: Basic Books (Perseus Books Group), ISBN  978-0-7382-0518-2 .
• Доусон, Джон В. младший (1996), Логические дилеммы: жизнь и работа Курта Гёделя , А.К. Петерс .
• Доусон, Джон В. младший (1999), «Гедель и пределы логики», Scientific American , 280 (6): 76–81, Бибкод : 1999SciAm.280f..76D , doi : 10.1038/scientificamerican0699-76 , PMID   10048234 .
• Францен, Торкель (2005), Теорема Гёделя: неполное руководство по ее использованию и злоупотреблениям , Уэлсли, Массачусетс: AK Peters .
• Айвор Граттан-Гиннесс , 2000. В поисках математических корней 1870–1940 . Принстонский университет. Нажимать.
• Хямеен-Анттила, Мария (2020). Гёдель об интуиционизме и конструктивных основаниях математики (кандидатская диссертация). Хельсинки: Хельсинкский университет. ISBN  978-951-51-5922-9 .
• Яакко Хинтикка , 2000. О Гёделе . Уодсворт.
• Дуглас Хофштадтер , 1980. Гёдель, Эшер, Бах . Винтаж.
• Стивен Клини , 1967. Математическая логика . Перепечатка Дувра в мягкой обложке c. 2001.
• Стивен Клини, 1980. Введение в метаматематику . Северная Голландия ISBN   0-7204-2103-9 (мягкая обложка Ishi Press. 2009. ISBN   978-0-923891-57-2 )
• Дж. Р. Лукас , 1970. Свобода воли . Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Эрнест Нагель и Ньюман, Джеймс Р., 1958. Доказательство Гёделя. Нью-Йоркский университет. Нажимать.
• Эд Реджис , 1987. Кому достался кабинет Эйнштейна? Аддисон-Уэсли Паблишинг Компани, Инк.
• Раймонд Смалльян , 1992. Теоремы Геделя о неполноте . Издательство Оксфордского университета.
• Ольга Таусская-Тодд , 1983. Воспоминания о Курте Гёделе . Техника и наука, зима 1988 г.
• Юрграу, Палле, 1999. Гёдель встречает Эйнштейна: путешествие во времени во Вселенной Гёделя. Чикаго: Открытый суд.
• Юрграу, Палле, 2004. Мир без времени: забытое наследие Гёделя и Эйнштейна . Основные книги. ISBN   978-0-465-09293-2 . (Отзыв Джона Стэчела в « Уведомлениях Американского математического общества» ( 54 (7), стр. 861–68 ).

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Гёдель, Курт (1906–1978)» . Мир Науки .
• Кеннеди, Джульетта. «Курт Гёдель» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии .
• Бандиты времени : статья Джима Холта об отношениях между Гёделем и Эйнштейном
• Уведомления AMS, апрель 2006 г., том 53, номер 4, выпуск, посвященный столетию Курта Гёделя.
• Пол Дэвис и Фримен Дайсон обсуждают Курта Геделя (стенограмма)
• Край «Гедель и природа математической истины» : разговор с Ребеккой Гольдштейн о Курте Гёделе.
• Не все дело в цифрах: Грегори Хайтин объясняет математические сложности Гёделя.
• Фотогалерея Гёделя. (в архиве)
• Курт Гёдель архива истории математики МакТьютор Страница
• Биографические мемуары Национальной академии наук