Философская логика

Не путать с философией логики .

Понимаемая в узком смысле, философская логика — это область логики , которая изучает применение логических методов к философским проблемам, часто в форме расширенных логических систем, таких как модальная логика . Некоторые теоретики понимают философскую логику в более широком смысле как исследование объема и природы логики в целом. В этом смысле философскую логику можно рассматривать как идентичную философии логики , которая включает дополнительные темы, такие как определение логики или обсуждение фундаментальных концепций логики. В настоящей статье философская логика рассматривается в узком смысле, в котором она образует одну из областей исследования философии логики.

Важным вопросом для философской логики является вопрос о том, как классифицировать огромное разнообразие неклассических логических систем, многие из которых возникли сравнительно недавно. Одна из форм классификации, часто встречающаяся в литературе, состоит в различении расширенной логики и девиантной логики. Саму логику можно определить как исследование достоверных выводов . Классическая логика является доминирующей формой логики и формулирует правила вывода в соответствии с логическими интуициями, разделяемыми многими, такими как закон исключенного третьего , устранение двойного отрицания и двувалентность истины.

Расширенные логики — это логические системы, которые основаны на классической логике и ее правилах вывода, но расширяют ее на новые области путем введения новых логических символов и соответствующих правил вывода, управляющих этими символами. В случае алетической модальной логики эти новые символы используются для выражения не только того, что истинно simpliciter , но и того, что возможно или обязательно истинно . Его часто сочетают с семантикой возможных миров, которая утверждает, что предложение возможно истинно, если оно истинно в некотором возможном мире , и обязательно истинно, если оно истинно во всех возможных мирах. Деонтическая логика относится к этике и обеспечивает формальную трактовку таких этических понятий, как обязанность и разрешение . Темпоральная логика формализует временные отношения между предложениями. Сюда входят такие идеи, как истинность чего-либо в какой-то момент времени или всегда, и истинно ли это в будущем или в прошлом. Эпистемическая логика принадлежит эпистемологии . Его можно использовать для выражения не только того, что имеет место, но и того, что кто-то считает или знает. Его правила вывода формулируют то, что следует из того факта, что у кого-то есть такого рода психические состояния . Логики высшего порядка не применяют классическую логику напрямую к определенным новым подобластям философии, а обобщают ее, позволяя проводить количественную оценку не только отдельных лиц, но и предикатов.

Девиантные логики , в отличие от этих форм расширенной логики, отвергают некоторые фундаментальные принципы классической логики и часто рассматриваются как ее конкуренты. Интуиционистская логика основана на идее, что истина зависит от проверки посредством доказательства. Это приводит к отказу от некоторых правил вывода классической логики, которые несовместимы с этим предположением. Свободная логика модифицирует классическую логику, чтобы избежать экзистенциальных предпосылок, связанных с использованием, возможно, пустых единичных терминов, таких как имена и определенные описания. Многозначная логика допускает дополнительные значения истинности помимо true и false . Тем самым они отвергают принцип двувалентности истины. Паранепротиворечивые логики — это логические системы, способные справляться с противоречиями. Они делают это, избегая принципа взрыва, присутствующего в классической логике. Релевантная логика — это видная форма паранепротиворечивой логики. Он отвергает чисто истинностно-функциональную интерпретацию материального кондиционала , вводя дополнительное требование релевантности: для того, чтобы кондиционал был истинным, его антецедент должен быть релевантным его последствию.

Определение и связанные поля

Термин «философская логика» используется разными теоретиками несколько по-разному. В узком смысле, как обсуждается в этой статье, философская логика — это область философии, изучающая применение логических методов к философским проблемам. Обычно это происходит в форме разработки новых логических систем, чтобы либо распространить классическую логику на новые области, либо модифицировать ее, чтобы включить определенные логические интуиции, которые не рассматриваются должным образом классической логикой. В этом смысле философская логика изучает различные формы неклассической логики, такие как модальная логика и деонтическая логика. Таким образом, различные фундаментальные философские понятия, такие как возможность, необходимость, обязательство, разрешение и время, трактуются логически точно, формально выражая логические роли, которые они играют по отношению друг к другу. Некоторые теоретики понимают философскую логику в более широком смысле как исследование объема и природы логики в целом. С этой точки зрения он исследует различные философские проблемы, поднятые логикой, включая фундаментальные концепции логики. В этом более широком смысле ее можно понимать как идентичную философии логики , где обсуждаются эти темы. В настоящей статье рассматривается лишь узкое понимание философской логики. В этом смысле она образует одну из областей философии логики.

Центральное место в философской логике занимает понимание того, что такое логика и какую роль философская логика играет в ней. Логику можно определить как исследование обоснованных выводов. Вывод – это этап рассуждения, на котором он движется от посылок к заключению. Часто вместо этого также используется термин «аргумент». Вывод является действительным, если посылки не могут быть истинными, а вывод — ложным. В этом смысле истинность посылок обеспечивает истинность заключения. Это можно выразить в терминах правил вывода : вывод действителен, если его структура, то есть способ формирования посылок и выводов, соответствует правилу вывода. Различные системы логики по-разному объясняют, когда вывод верен. Это означает, что они используют разные правила вывода. Традиционно доминирующий подход к обоснованности называется классической логикой. Но философская логика занимается неклассической логикой: она изучает альтернативные системы вывода. Мотивы для этого можно условно разделить на две категории. Для некоторых классическая логика слишком узка: она не учитывает многие интересные с философской точки зрения вопросы. Эту проблему можно решить, расширив классическую логику дополнительными символами, чтобы обеспечить логически строгую трактовку дальнейших областей. Другие видят некоторый изъян в самой классической логике и пытаются дать альтернативное объяснение вывода. Обычно это приводит к развитию девиантной логики, каждая из которых модифицирует фундаментальные принципы классической логики, чтобы исправить предполагаемые недостатки.

Классификация логик

Современные разработки в области логики привели к значительному распространению логических систем. Это резко контрастирует с историческим доминированием аристотелевской логики , которая рассматривалась как единый канон логики на протяжении более двух тысяч лет. Трактаты по современной логике часто рассматривают эти различные системы как список отдельных тем, не давая их четкой классификации. Однако одна классификация, часто упоминаемая в академической литературе, принадлежит Сьюзен Хаак и различает классическую логику , расширенную логику и девиантную логику . Эта классификация основана на идее, что классическая логика, то есть логика высказываний и логика первого порядка, формализует некоторые из наиболее распространенных логических интуиций. В этом смысле он представляет собой базовое описание аксиом, управляющих правильным выводом. Расширенная логика принимает эту базовую учетную запись и расширяет ее на дополнительные области. Обычно это происходит путем добавления новой лексики, например, для выражения необходимости, обязательства или времени. Эти новые символы затем интегрируются в логический механизм, определяя, какие новые правила вывода применяются к ним, подобно тому, как возможность вытекает из необходимости. С другой стороны, девиантная логика отвергает некоторые основные положения классической логики. В этом смысле они не являются просто ее продолжением, а часто формулируются как конкурирующие системы, предлагающие иное объяснение законов логики.

Выражаясь более техническим языком, различие между расширенной и девиантной логикой иногда проводится несколько иначе. С этой точки зрения логика является расширением классической логики, если выполняются два условия: (1) все правильно построенные формулы классической логики также являются корректными формулами в ней и (2) все действительные выводы классической логики также действительны. выводы в нем. С другой стороны, для девиантной логики (а) ее класс правильных формул совпадает с классом формул классической логики, в то время как (б) некоторые действительные выводы в классической логике не являются в ней действительными выводами. Термин квазидевиантная логика используется, если (i) она вводит новый словарь, но все правильно построенные формулы классической логики также являются в ней правильно построенными формулами, и (ii) даже когда она ограничивается выводами, используя только словарь классической логики. логике, некоторые действительные выводы в классической логике не являются в ней действительными выводами. Термин «девиантная логика» часто используется в том смысле, который включает также квазидевиантную логику.

Философская проблема, возникающая из-за этого множества логик, касается вопроса о том, может ли существовать более одной истинной логики. Некоторые теоретики отдают предпочтение локальному подходу, при котором разные типы логики применяются к разным областям. Ранние интуиционисты, например, считали интуиционистскую логику правильной логикой для математики, но допускали классическую логику в других областях. Но другие, такие как Майкл Даммет , предпочитают глобальный подход, считая, что интуиционистская логика должна заменить классическую логику во всех областях. Монизм – это тезис о том, что существует только одна истинная логика. Это можно понимать по-разному, например, что из всех предложенных логических систем правильна только одна или что правильная логическая система еще не найдена как система, лежащая в основе и объединяющая все различные логики. Плюралисты, с другой стороны, считают, что множество различных логических систем могут быть правильными одновременно.

Тесно связанная проблема касается вопроса о том, действительно ли все эти формальные системы представляют собой логические системы. Это особенно актуально для девиантной логики, которая очень далеко отклоняется от обычных логических интуиций, связанных с классической логикой. В этом смысле утверждалось, например, что нечеткая логика является логикой только по названию, но вместо этого ее следует рассматривать как нелогическую формальную систему, поскольку идея степеней истины слишком далека от самых фундаментальных логических интуиций. Так что не все согласны с тем, что все формальные системы, обсуждаемые в этой статье, на самом деле представляют собой логики , если понимать их в строгом смысле.

Классическая логика

Классическая логика является доминирующей формой логики, используемой в большинстве областей. Этот термин относится прежде всего к логике высказываний и логике первого порядка . Классическая логика не является самостоятельной темой философской логики. Но хорошее знакомство с ней все же необходимо, поскольку многие логические системы, имеющие непосредственное отношение к философской логике, можно понимать либо как расширения классической логики, принимающие ее фундаментальные принципы и строящиеся на ее основе, либо как ее модификации, отвергающие ее. некоторые из его основных предположений. Классическая логика изначально была создана для анализа математических аргументов и лишь впоследствии была применена к различным другим областям. По этой причине он игнорирует многие темы философского значения, не имеющие отношения к математике, такие как разница между необходимостью и возможностью, между обязательством и разрешением или между прошлым, настоящим и будущим. Эти и подобные темы получают логическое развитие в различных философских логиках, расширяющих классическую логику. Классическая логика сама по себе занимается лишь несколькими базовыми концепциями и той ролью, которую эти концепции играют в обоснованных выводах. Понятия, относящиеся к логике высказываний, включают пропозициональные связки, такие как «и», «или» и «если-то». Характерной чертой классического подхода к этим связкам является то, что они подчиняются определенным законам, таким как закон исключенного третьего , устранение двойного отрицания , принцип взрыва и двувалентность истины. Это отличает классическую логику от различных девиантных логик, отрицающих один или несколько из этих принципов.

В логике первого порядка состоят сами предложения из субпропозициональных частей, таких как предикаты , сингулярные термины и кванторы . В единственном числе термины относятся к объектам, а предикаты выражают свойства объектов и отношения между ними. Кванторы представляют собой формальную трактовку таких понятий, как «для некоторых» и «для всех». Их можно использовать, чтобы выразить, имеют ли предикаты вообще расширение или их расширение включает весь домен. Количественная оценка разрешена только для отдельных терминов, но не для предикатов, в отличие от логики более высокого порядка.

Расширенная логика

Алетическое модальное окно

Алетическая модальная логика оказала большое влияние на логику и философию. Он обеспечивает логический формализм для выражения того, что возможно или обязательно истинно . Она представляет собой расширение логики первого порядка, которая сама по себе способна выразить только то, что является истинным simpliciter . Это расширение происходит за счет введения двух новых символов: " $\Diamond$" за возможность и " $\Box$« по необходимости. Эти символы используются для модификации предложений. Например, если « $W(s)$" означает предложение "Сократ мудр", тогда " $\Diamond W(s)$» выражает положение «возможно, что Сократ мудр». Чтобы интегрировать эти символы в логический формализм, к существующим аксиомам логики первого порядка добавляются различные аксиомы. Они управляют логическим поведением этих символов, определяя, как достоверность вывода зависит от того факта, что эти символы в нем встречаются. Обычно они включают в себя идею о том, что если предложение необходимо, то его отрицание невозможно, т. е. что « $\Box A$" эквивалентно " $\lnot \Diamond \lnot A$" .Еще один такой принцип заключается в том, что если что-то необходимо, то это должно быть и возможно. Это значит, что " $\Diamond A$" следует из " $\Box A$" . Существуют разногласия относительно того, какие именно аксиомы управляют модальной логикой. Различные формы модальной логики часто представляются как вложенная иерархия систем, в которой наиболее фундаментальные системы, такие как система K , включают только самые фундаментальные аксиомы, в то время как другие системы, такие как популярная система S5 , строятся на ее основе, включая дополнительные аксиомы. В этом смысле система K является расширением логики первого порядка, а система S5 — расширением системы K. Важные дискуссии в рамках философской логики касаются вопроса о том, какая система модальной логики правильна. Обычно выгодно иметь максимально надежную систему, чтобы иметь возможность сделать множество различных выводов. Но это порождает проблему, заключающуюся в том, что некоторые из этих дополнительных выводов могут противоречить основным модальным интуициям в конкретных случаях. Обычно это мотивирует выбор более простой системы аксиом.

Семантика возможных миров — это очень влиятельная формальная семантика в модальной логике, которая приносит с собой систему S5. Формальная семантика языка характеризует условия, при которых предложения этого языка являются истинными или ложными. Формальная семантика играет центральную роль в теоретико-модельной концепции валидности . Они способны предоставить четкие критерии того, действителен или нет вывод: вывод действителен тогда и только тогда, когда он сохраняет истину, т. е. если всякий раз, когда его посылки истинны, его вывод также верен. Истинны они или ложны, определяется формальной семантикой. Семантика возможных миров определяет условия истинности предложений, выраженных в модальной логике в терминах возможных миров. Возможный мир — это полный и последовательный способ того, как все могло бы быть. С этой точки зрения, предложение, измененное $\Diamond$-оператор истинен, если он истинен хотя бы в одном возможном мире, пока предложение, измененное оператором $\Box$-оператор истинен, если он истинен во всех возможных мирах. Итак, фраза « $\Diamond W(s)$« (возможно, что Сократ мудр) верно, поскольку существует по крайней мере один мир, где Сократ мудр. Но » $\Box W(s)$« (необходимо, чтобы Сократ был мудр) ложно, поскольку Сократ не мудр во всех возможных мирах. Семантика возможного мира подвергалась критике как формальная семантика модальной логики, поскольку она кажется замкнутой. Причина этого в том, что возможные миры сами по себе определяются в модальных терминах, то есть как способы того, как все могло бы быть. Таким образом, он сам использует модальные выражения для определения истинности предложений, содержащих модальные выражения.

Деонтический

Деонтическая логика распространяет классическую логику на область этики . Центральное значение в этике имеют концепции обязательств и разрешений , т.е. какие действия агент должен совершать или ему разрешено совершать. Деонтическая логика обычно выражает эти идеи с помощью операторов $O$ и $P$. Так что если " $J(r)$" означает предложение "Рамирес идет на пробежку", тогда " $OJ(r)$" означает, что Рамирес обязан заняться пробежкой и " $PJ(r)$означает , что Рамиресу разрешено заниматься пробежкой.

Деонтическая логика тесно связана с алетической модальной логикой в ​​том смысле, что аксиомы, управляющие логическим поведением их операторов, идентичны. Это означает, что обязательство и разрешение ведут себя в отношении действительного вывода точно так же, как необходимость и возможность. По этой причине иногда в качестве операторов используются даже одни и те же символы. Как и в алетической модальной логике, в философской логике ведется дискуссия о том, какая система аксиом является правильной для выражения общих интуиций, управляющих деонтическими выводами. Но аргументы и контрпримеры здесь немного другие, поскольку значения этих операторов различаются. Например, в этике распространено представление о том, что если агент обязан что-то сделать, то он автоматически также получает разрешение сделать это. Формально это можно выразить через схему аксиом « $OA\to PA$" . Другой вопрос, представляющий интерес для философской логики, касается отношения между алетической модальной логикой и деонтической логикой. Часто обсуждаемый принцип в этом отношении заключается в том, что «должно» подразумевает «можно» . Это означает, что агент может иметь обязательство что-то сделать только в том случае, если агент может это сделать. Выражено формально: « $OA\to \Diamond A$" .

Временной

Темпоральная логика , или временная логика, использует логические механизмы для выражения временных отношений. В своей самой простой форме он содержит один оператор, обозначающий, что что-то произошло в определенный момент времени, и другой, обозначающий, что что-то происходит постоянно. Эти два оператора ведут себя так же, как операторы возможности и необходимости в алетической модальной логике. Поскольку разница между прошлым и будущим имеет первостепенное значение для человеческих дел, эти операторы часто модифицируются, чтобы учесть эту разницу. Артура Прайора реализует эту идею с помощью четырех таких операторов: Например, напряженная логика $P$ (было так...), $F$ (будет так, что...), $H$ (так было всегда...), и $G$ (так будет всегда...). Поэтому, чтобы выразить, что в Лондоне всегда будет дождливо, можно использовать " $G(Rainy(london))$" . Для определения того, какие выводы действительны, в зависимости от фигурирующих в них операторов используются различные аксиомы. По ним, например, можно сделать вывод " $F(Rainy(london))$" (в какое-то время в Лондоне будет дождь) от " $G(Rainy(london))$" . В более сложных формах темпоральной логики также бинарные операторы, связывающие два предложения, например, для выражения того, что что-то происходит до тех пор, пока не произойдет что-то другое. определяются

Темпоральную модальную логику можно перевести в классическую логику первого порядка, рассматривая время в форме единственного термина и увеличивая арность предикатов на единицу. Например, напряжено-логическое предложение « $dark\land P(light)\land F(light)$« (темно, было светло и снова будет светло) можно перевести в чистую логику первого порядка как « $dark(t_{1})\land \exists t_{0}(t_{0}<t_{1}\land light(t_{0}))\land \exists t_{2}(t_{1}<t_{2}\land light(t_{2}))$" . Хотя подобные подходы часто встречаются в физике, логики обычно предпочитают автономную трактовку времени с точки зрения операторов. Это также ближе к естественным языкам, которые в основном используют грамматику, например, путем спряжения глаголов, для выражения прошлого или будущего событий.

Эпистемический

Эпистемическая логика — это форма модальной логики, применяемая в области эпистемологии . Его цель – уловить логику знаний и убеждений . Модальные операторы, выражающие знания и убеждения, обычно выражаются через символы « $K$" и " $B$" . Так что, если " $W(s)$" означает предложение "Сократ мудр", тогда " $KW(s)$" выражает положение "агент знает, что Сократ мудр" и " $BW(s)$" выражает предложение "агент считает, что Сократ мудр". Затем формулируются аксиомы, управляющие этими операторами, для выражения различных эпистемических принципов. Например, схема аксиом « $KA\to A$« выражает, что всякий раз, когда что-то известно, это истина. Это отражает идею о том, что можно знать только то, что истинно, иначе это не знание, а другое психическое состояние. Другая эпистемическая интуиция относительно знаний касается того факта, что когда агент что-то знает, он также знает, что он это знает. Это можно выразить схемой аксиом « $KA\to KKA$" . Дополнительный принцип, связывающий знание и убеждение, гласит, что знание подразумевает убеждение, т.е. $KA\to BA$« …Динамическая эпистемическая логика — это особая форма эпистемической логики, которая фокусируется на ситуациях, в которых происходят изменения в убеждениях и знаниях.

Высший порядок

Логика высшего порядка расширяет логику первого порядка, включая новые формы количественной оценки . В логике первого порядка количественная оценка ограничивается единичными терминами. Его можно использовать, чтобы говорить о том, имеет ли предикат вообще расширение или его расширение включает весь домен. Таким образом, предложения типа « $\exists x(Apple(x)\land Sweet(x))$« ( есть несколько сладких яблок). В логике высшего порядка количественная оценка допускается не только по отдельным терминам, но и по предикатам. Таким образом, можно выразить, например, есть ли у определенных людей общие черты или все их предикаты, как в " $\exists Q(Q(mary)\land Q(john))$( качества , есть некоторые которые разделяют Мэри и Джона). Из-за этих изменений логика высшего порядка обладает большей выразительной силой, чем логика первого порядка. Это может быть полезно для математики по-разному, поскольку различные математические теории имеют гораздо более простое выражение в логике высшего порядка, чем в логике первого порядка. Например, арифметика Пеано и теория множеств Цермело-Френкеля требуют бесконечного числа аксиом, чтобы быть выраженными в логике первого порядка. Но их можно выразить в логике второго порядка лишь с помощью нескольких аксиом.

Но, несмотря на это преимущество, логика первого порядка по-прежнему используется гораздо шире, чем логика высшего порядка. Одна из причин этого заключается в том, что логика высшего порядка неполна . Это означает, что для теорий, сформулированных в логике высшего порядка, невозможно доказать каждое истинное предложение, относящееся к рассматриваемой теории. Другой недостаток связан с дополнительными онтологическими обязательствами логики высшего порядка. Часто считается, что использование квантора существования влечет за собой онтологическую приверженность сущностям, над которыми распространяется этот квантор. В логике первого порядка это касается только индивидов, что обычно рассматривается как беспроблемное онтологическое обязательство. В логике высшего порядка количественная оценка касается также свойств и отношений. Это часто интерпретируется как означающее, что логика высшего порядка несет с собой форму платонизма , то есть точку зрения, согласно которой универсальные свойства и отношения существуют помимо индивидов.

Девиантная логика

Интуиционистский

Интуиционистская логика — это более ограниченная версия классической логики. Она более ограничена в том смысле, что некоторые правила вывода, используемые в классической логике, не являются в ней действительными выводами. В частности, это касается закона исключенного третьего и исключения двойного отрицания . Закон исключенного третьего гласит, что для каждого предложения истинно либо оно, либо его отрицание. Формально выражаясь: $A\lor \lnot A$. Закон устранения двойного отрицания гласит, что если предложение не истинно, то оно истинно, т.е. $\lnot \lnot A\to A$" . Из-за этих ограничений многие доказательства усложняются, а некоторые доказательства, принятые в противном случае, становятся невозможными.

Эти модификации классической логики мотивированы идеей о том, что истина зависит от проверки посредством доказательства . Это было истолковано в том смысле, что «истинный» означает «проверяемый». Первоначально он применялся только к области математики, но с тех пор использовался и в других областях. Согласно этой интерпретации, закон исключенного третьего предполагает предположение, что каждая математическая задача имеет решение в форме доказательства. В этом смысле интуиционистский отказ от закона исключенного третьего мотивирован отказом от этого предположения. Эту позицию можно также выразить, заявив, что не существует непережитых или превосходящих проверку истин. В этом смысле интуиционистская логика мотивирована формой метафизического идеализма. Применительно к математике она утверждает, что математические объекты существуют только в той степени, в которой они созданы в уме.

Бесплатно

Свободная логика отвергает некоторые экзистенциальные предпосылки, встречающиеся в классической логике. В классической логике каждый термин в единственном числе должен обозначать объект в области количественной оценки. Обычно под этим понимают онтологическую приверженность существованию названной сущности. Но в повседневной речи используются многие имена, которые не относятся к существующим сущностям, например «Санта-Клаус» или «Пегас». Это грозит лишить такие области дискурса строгого логического подхода. Свободная логика позволяет избежать этих проблем, допуская формулы с необозначающими сингулярные члены. Это относится как к именам собственным , так и к определенным описаниям и функциональным выражениям. Кванторы, с другой стороны, рассматриваются обычным образом как располагающиеся по области. Это позволяет использовать такие выражения, как « $\lnot \exists x(x=santa)$( Санта-Клауса не существует), хотя они и противоречивы в классической логике. Это также приводит к тому, что некоторые действительные формы вывода, встречающиеся в классической логике, недействительны в свободной логике. Например, можно сделать вывод из « $Beard(santa)$« (У Деда Мороза борода) что » $\exists x(Beard(x))$« (что-то с бородой) в классической логике, но не в свободной логике. В свободной логике часто используется предикат существования, чтобы указать, обозначает ли единичный термин объект в предметной области или нет. Но использование предикатов существования является спорным. Они часто противостоят друг другу, основываясь на идее, что существование необходимо, если какие-либо предикаты вообще должны применяться к объекту. В этом смысле существование само по себе не может быть предикатом.

Карел Ламберт , придумавший термин «свободная логика», предположил, что свободную логику можно понимать как обобщение классической логики предикатов, точно так же, как логика предикатов является обобщением аристотелевской логики. С этой точки зрения классическая логика предикатов вводит предикаты с пустым расширением, тогда как свободная логика вводит сингулярные термины несуществующих вещей.

Важная проблема свободной логики состоит в том, как определить истинностное значение выражений, содержащих пустые сингулярные члены, т. е. сформулировать формальную семантику свободной логики. Формальная семантика классической логики может определять истинность их выражений с точки зрения их значения. Но этот вариант нельзя применить ко всем выражениям в свободной логике, поскольку не все из них имеют обозначение. В литературе часто обсуждаются три общих подхода к этому вопросу: негативная семантика , позитивная семантика и нейтральная семантика . Негативная семантика утверждает, что все атомарные формулы, содержащие пустые термины, ложны. С этой точки зрения выражение « $Beard(santa)$" является ложным. Позитивная семантика допускает, что по крайней мере некоторые выражения с пустыми терминами истинны. Обычно это включает в себя заявления об идентичности, например « $santa=santa$" . В некоторых версиях вводится второй, внешний домен для несуществующих объектов, который затем используется для определения соответствующих значений истинности. Нейтральная семантика , с другой стороны, утверждает, что атомарные формулы, содержащие пустые термины, не являются ни истинными, ни ложными. Это часто понимают как трехзначную логику , т.е. для этих случаев вводится третье истинностное значение, помимо истинного и ложного.

Многозначный

Многозначная логика — это логика, допускающая более двух значений истинности. Они отвергают одно из основных предположений классической логики: принцип двувалентности истины. Наиболее простыми вариантами многозначных логик являются трехзначные логики: они содержат третье значение истинности. Например, в Стивена Коула Клини это третье истинностное значение «не определено». трехзначной логике Согласно Нуэля Белнапа четырехзначной логике , существует четыре возможных значения истинности: «истина», «ложь», «ни истина, ни ложь» и «и истина, и ложь». Это можно интерпретировать, например, как указание имеющейся информации о том, получает ли государство: информацию, которую оно получает, информацию, которую оно не получает, отсутствие информации и противоречивую информацию. Одной из наиболее крайних форм многозначной логики является нечеткая логика. Это позволяет истине возникнуть в любой степени от 0 до 1. 0 соответствует полностью ложному, 1 соответствует полностью истинному, а значения между ними в некоторой степени соответствуют истине, например, как немного правдивые или очень правдивые. Его часто используют для обозначения расплывчатых выражений на естественном языке. Например, утверждение «Петр молод» лучше подходит (то есть «более верно»), если «Петр» относится к трехлетнему ребенку, чем к 23-летнему. Многозначные логики с конечным числом истинностных значений могут определять свои логические связки с помощью таблиц истинности, как и классическая логика. Разница в том, что эти таблицы истинности более сложны, поскольку необходимо учитывать больше возможных входных и выходных данных. Например, в трехзначной логике Клини входные данные «истина» и «неопределено» для оператора конъюнкции « $\land$" приводит к выводу "неопределено". С другой стороны, входные данные "ложь" и "неопределено" приводят к результату "ложь".

Парапоследовательный

Паранепротиворечивые логики — это логические системы, которые могут иметь дело с противоречиями, не приводя к полному абсурду. Они достигают этого, избегая принципа взрыва, присутствующего в классической логике. Согласно принципу взрыва, всё следует из противоречия. Это происходит из-за двух правил вывода, которые действительны в классической логике: введение дизъюнкции и дизъюнктивный силлогизм . Согласно дизъюнкционному введению, любое предложение может быть введено в форме дизъюнкции в сочетании с истинным предложением. Итак, поскольку верно, что «Солнце больше Луны», можно сделать вывод, что «Солнце больше Луны или что Испанией управляют космические кролики». Согласно дизъюнктивному силлогизму, можно сделать вывод, что одно из этих дизъюнктов истинно, если другое ложно. Таким образом, если логическая система также содержит отрицание этого предложения, т.е. что «Солнце не больше Луны», то из этой системы можно вывести любое предложение, например, утверждение, что «Испанией управляют космические кролики». ". Паранепротиворечивая логика позволяет избежать этого, используя различные правила вывода, которые делают выводы в соответствии с принципом взрыва недействительными.

Важным мотивом использования паранепротиворечивой логики является диалетеизм, то есть вера в то, что противоречия не просто вводятся в теории из-за ошибок, но что сама реальность противоречива и противоречия внутри теорий необходимы для точного отражения реальности. Без паранепротиворечивой логики диалетеизм был бы безнадежен, поскольку все было бы одновременно истинным и ложным. Паранепротиворечивая логика позволяет сохранять противоречия локальными, не взрывая при этом всю систему. Но даже с учетом этой корректировки диалетеизм по-прежнему вызывает серьезные споры. Другая мотивация паранепротиворечивой логики — обеспечить логику дискуссий и групповых убеждений, когда группа в целом может иметь противоречивые убеждения, если ее разные члены не согласны.

Актуальность

Логика релевантности — это один из типов паранепротиворечивой логики. Таким образом, он также позволяет избежать принципа взрыва, хотя обычно это не является основной мотивацией логики релевантности. Вместо этого его обычно формулируют с целью избежать некоторых неинтуитивных применений материального условного выражения, встречающегося в классической логике. Классическая логика определяет материальный кондиционал в чисто функционально-истинных терминах, т.е. $p\to q$" ложно, если " $p$" правда и " $q$« ложно, но в остальном истинно в каждом случае. Согласно этому формальному определению, не имеет значения, является ли « $p$" и " $q$« каким-либо образом связаны друг с другом. Например, материальное условное утверждение «если все лимоны красные, то в Сиднейском оперном театре песчаная буря» истинно, хотя эти два предложения не относятся друг к другу.

Тот факт, что такое использование материальных кондиционалов крайне неинтуитивно, также отражается в неформальной логике , которая классифицирует такие выводы как ошибки релевантности . Логика релевантности пытается избежать этих случаев, требуя, чтобы для истинного материального условного условия его антецедент был релевантным последующему. Трудность, с которой приходится сталкиваться в этом вопросе, заключается в том, что релевантность обычно принадлежит содержанию предложений, тогда как логика имеет дело только с формальными аспектами. Частично эту проблему решает так называемый принцип совместного использования переменных . Он утверждает, что антецедент и консеквент должны иметь общую пропозициональную переменную. Так будет, например, в « $(p\land q)\to q$" но не в " $(p\land q)\to r$« ...Тесно связанная с логикой релевантности проблема заключается в том, что выводы должны соответствовать одному и тому же требованию релевантности, т. е. необходимым требованием действительных выводов является то, что их предпосылки релевантны их заключению.