Бинарная операция

В математике бинарная операция или диадическая операция — это правило объединения двух элементов (называемых операндами ) для создания другого элемента. бинарная операция — это операция арности Более формально , два.

Более конкретно, бинарная операция над множеством — это бинарная операция, два домена которой и кодомен являются одним и тем же набором. Примеры включают знакомые арифметические сложения операции , вычитания и умножения . Другие примеры легко найти в разных областях математики, таких как сложение векторов , умножение матриц и сопряжение в группах .

Операцию арности два, включающую несколько наборов, иногда называют бинарной операцией . Например, скалярное умножение векторных пространств требует скаляра и вектора для создания вектора, а скалярное произведение требует двух векторов для создания скаляра. Такие бинарные операции также можно назвать бинарными функциями .

Бинарные операции являются краеугольным камнем большинства структур , изучаемых в алгебре , в частности в полугруппах , моноидах , группах , кольцах , полях и векторных пространствах .

Терминология

Точнее, бинарная операция над множеством $S$ является отображением элементов декартова произведения $S\times S$ к $S$ : ^[1]^[2]^[3]

\,f\colon S\times S\rightarrow S.

Свойство замыкания бинарной операции выражает существование результата операции при любой паре операндов. ^[4]

Если $f$ не функция , а частичная функция , то $f$ называется частичной бинарной операцией . Например, деление действительных чисел невозможно является частично двоичной операцией, поскольку деление на ноль : ${\frac {a}{0}}$ не определено для каждого действительного числа $a$ . И в теории моделей , и в классической универсальной алгебре бинарные операции должны быть определены над всеми элементами $S\times S$ . Однако частичные алгебры ^[5] обобщить универсальные алгебры , чтобы разрешить частичные операции.

Иногда, особенно в информатике , термин «бинарная операция» используется для обозначения любой бинарной функции .

Свойства и примеры

Типичными примерами бинарных операций являются сложение ( $+$ ) и умножение ( $\times$ ) чисел и матриц, а также композицию функций на одном множестве.Например,

О множестве действительных чисел $\mathbb {R}$ , $f(a,b)=a+b$ является двоичной операцией, поскольку сумма двух действительных чисел является действительным числом.
О множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$ , $f(a,b)=a+b$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух натуральных чисел является натуральным числом. Это другая бинарная операция, чем предыдущая, поскольку наборы разные.
На съемочной площадке $M(2,\mathbb {R} )$ из $2\times 2$ матрицы с действительными элементами, $f(A,B)=A+B$ является бинарной операцией, поскольку сумма двух таких матриц есть $2\times 2$ матрица.
На съемочной площадке $M(2,\mathbb {R} )$ из $2\times 2$ матрицы с действительными элементами, $f(A,B)=AB$ является бинарной операцией, поскольку произведение двух таких матриц есть $2\times 2$ матрица.
Для заданного набора $C$ , позволять $S$ быть набором всех функций $h\colon C\rightarrow C$ . Определять $f\colon S\times S\rightarrow S$ к $f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))$ для всех $c\in C$ , композиция двух функций $h_{1}$ и $h_{2}$ в $S$ . Затем $f$ является бинарной операцией, поскольку композиция двух функций снова является функцией на множестве $C$ (то есть член $S$ ).

Многие бинарные операции, представляющие интерес как в алгебре, так и в формальной логике, являются коммутативными , удовлетворяя условиям $f(a,b)=f(b,a)$ для всех элементов $a$ и $b$ в $S$ , или ассоциативный , удовлетворяющий $f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))$ для всех $a$ , $b$ , и $c$ в $S$ . Многие из них также имеют элементы идентичности и обратные элементы .

Первые три примера выше являются коммутативными, и все приведенные выше примеры ассоциативны.

О множестве действительных чисел $\mathbb {R}$ , вычитание , то есть $f(a,b)=a-b$ , является бинарной операцией, которая не является коммутативной, поскольку, вообще говоря, $a-b\neq b-a$ . Оно также не ассоциативно, поскольку, вообще говоря, $a-(b-c)\neq (a-b)-c$ ; например, $1-(2-3)=2$ но $(1-2)-3=-4$ .

О множестве натуральных чисел $\mathbb {N}$ двоичной операции , возведение в степень , $f(a,b)=a^{b}$ , не является коммутативным, поскольку $a^{b}\neq b^{a}$ (ср. уравнение x ^и = и ^х), а также неассоциативен, поскольку $f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))$ . Например, с $a=2$ , $b=3$ , и $c=2$ , $f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64$ , но $f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512$ . Изменяя набор $\mathbb {N}$ к множеству целых чисел $\mathbb {Z}$ , эта бинарная операция становится частичной бинарной операцией, поскольку теперь она не определена, когда $a=0$ и $b$ любое отрицательное целое число. Для любого набора эта операция имеет правильный тождество (то есть $1$ ) с $f(a,1)=a$ для всех $a$ в множестве, которое не является тождеством (двустороннее тождество), поскольку $f(1,b)\neq b$ в общем.

Разделение ( $\div$ ), частичная двоичная операция над множеством действительных или рациональных чисел, не является коммутативной или ассоциативной. Тетрация ( $\uparrow \uparrow$ ), как бинарная операция над натуральными числами, не является коммутативной или ассоциативной и не имеет единичного элемента.

Обозначения

Бинарные операции часто записываются с использованием инфиксной записи, например $a\ast b$ , $a+b$ , $a\cdot b$ или (путем сопоставления без символа) $ab$ а не функциональной записью формы $f(a,b)$ . Степени обычно также пишутся без оператора, но со вторым аргументом в виде надстрочного индекса .

Бинарные операции иногда записываются с использованием префиксной или (чаще) постфиксной записи, причем в обоих случаях скобки отсутствуют. Их еще называют соответственно польскими обозначениями $\ast ab$ и обратная польская запись $ab\ast$ .

Бинарные операции как троичные отношения

Бинарная операция $f$ на съемочной площадке $S$ можно рассматривать как троичное отношение на $S$ , то есть набор троек $(a,b,f(a,b))$ в $S\times S\times S$ для всех $a$ и $b$ в $S$ .

Другие бинарные операции

Например, скалярное умножение в линейной алгебре . Здесь $K$ это поле и $S$ является векторным пространством над этим полем.

Также скалярное произведение двух векторных карт $S\times S$ к $K$ , где $K$ это поле и $S$ является векторным пространством над $K$ . Будет ли это рассматриваться как бинарная операция, зависит от авторов.

См. также

Категория:Свойства бинарных операций
Итерированная бинарная операция – многократное применение операции к последовательности.
Магма (алгебра) - алгебраическая структура с бинарной операцией.
Оператор (программирование) — конструкция, связанная с математической операцией в компьютерных программах.
Тернарная операция - математическая операция, объединяющая три элемента для создания другого элемента.
Таблица истинности § Бинарные операции
Унарная операция – математическая операция только с одним операндом.

Примечания

^ Ротман 1973 , стр. 1
^ Харди и Уокер 2002 , стр. 176, Определение 67
^ Фрэли 1976 , стр. 10
^ Холл 1959 , стр. 1
^ Джордж А. Гретцер (2008). Универсальная алгебра (2-е изд.). Springer Science & Business Media. Глава 2. Частичные алгебры. ISBN 978-0-387-77487-9 .

Ссылки

Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли, ISBN 0-201-01984-1
Холл, Маршалл младший (1959), Теория групп , Нью-Йорк: Макмиллан
Харди, Дэрел В.; Уокер, Кэрол Л. (2002), Прикладная алгебра: коды, шифры и дискретные алгоритмы , Аппер-Сэддл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл, ISBN 0-13-067464-8
Ротман, Джозеф Дж. (1973), Теория групп: Введение (2-е изд.), Бостон: Аллин и Бэкон

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Двоичная операция» . Математический мир .

[1] Ротман 1973 , стр. 1

[2] Харди и Уокер 2002 , стр. 176, Определение 67

[3] Фрэли 1976 , стр. 10

[4] Холл 1959 , стр. 1

[Gratzer2008-5] Джордж А. Гретцер (2008). Универсальная алгебра (2-е изд.). Springer Science & Business Media. Глава 2. Частичные алгебры. ISBN 978-0-387-77487-9 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]