Бинарная функция

В математике двоичная функция (также называемая функцией двумерной функции или функцией двух переменных ) — это функция , которая принимает два входных параметра.

Точнее говоря, функция $f$ является двоичным, если существуют множества $X,Y,Z$ такой, что

\,f\colon X\times Y\rightarrow Z

где $X\times Y$ является произведением декартовым $X$ и $Y.$

Альтернативные определения [ править ]

Теоретико-множество двоичная функция может быть представлена как подмножество декартова произведения. $X\times Y\times Z$ , где $(x,y,z)$ принадлежит подмножеству тогда и только тогда, когда $f(x,y)=z$ . И наоборот, подмножество $R$ определяет бинарную функцию тогда и только тогда, когда для любого $x\in X$ и $y\in Y$ , существует уникальный $z\in Z$ такой, что $(x,y,z)$ принадлежит $R$ . $f(x,y)$ затем определяется как это $z$ .

Альтернативно, двоичную функцию можно интерпретировать просто как функцию из $X\times Y$ к $Z$ . Однако даже если думать об этом таким образом, обычно пишут $f(x,y)$ вместо $f((x,y))$ . (То есть одна и та же пара круглых скобок используется для обозначения как применения функции , так и образования упорядоченной пары .)

Примеры [ править ]

Деление целых чисел можно рассматривать как функцию. Если $\mathbb {Z}$ это набор целых чисел , $\mathbb {N} ^{+}$ – набор натуральных чисел (кроме нуля), а $\mathbb {Q}$ — множество рациональных чисел , то деление — двоичная функция $f:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} ^{+}\to \mathbb {Q}$ .

В векторном пространстве V над полем F скалярное умножение является бинарной функцией. Скаляр a € F объединяется с вектором v € V для получения нового вектора av € V .

Другим примером являются внутренние продукты или, в более общем смысле, функции вида $(x,y)\mapsto x^{\mathrm {T} }My$ , где $x$ , $y$ — вектора с действительным знаком соответствующего размера, а $M$ — матрица. Если $M$ является положительно определенной матрицей , это дает скалярный продукт . ^[1]

Функции двух действительных переменных [ править ]

Функции, область определения которых является подмножеством $\mathbb {R} ^{2}$ часто также называются функциями двух переменных, даже если их область определения не образует прямоугольник и, следовательно, не является декартовым произведением двух множеств. ^[2]

Ограничения на обычные функции [ править ]

В свою очередь, из бинарной функции можно также вывести обычные функции одной переменной. Учитывая любой элемент $x\in X$ , есть функция $f^{x}$ , или $f(x,\cdot )$ , от $Y$ к $Z$ , заданный $f^{x}(y)=f(x,y)$ . Аналогично, учитывая любой элемент $y\in Y$ , есть функция $f_{y}$ , или $f(\cdot ,y)$ , от $X$ к $Z$ , заданный $f_{y}(x)=f(x,y)$ . В информатике это отождествление функции из $X\times Y$ к $Z$ и функция из $X$ к $Z^{Y}$ , где $Z^{Y}$ представляет собой набор всех функций из $Y$ к $Z$ , называется каррированием .

Обобщения [ править ]

Различные концепции, относящиеся к функциям, также можно обобщить на двоичные функции. Например, приведенный выше пример деления является сюръективным (или на ), поскольку каждое рациональное число может быть выражено как частное целого и натурального числа. Этот пример инъективен по каждому входу в отдельности, поскольку функции f ^Икси f _y всегда инъективны. Однако он не инъективен по обеим переменным одновременно, потому что (например) f (2,4) = f (1,2).

Можно также рассмотреть частичные двоичные функции, которые могут быть определены только для определенных значений входных данных. Например, приведенный выше пример деления также можно интерпретировать как частичную двоичную функцию от Z и N до Q , где N — это набор всех натуральных чисел, включая ноль. Но эта функция не определена, когда второй вход равен нулю.

Бинарная операция — это бинарная функция, в которой множества X , Y и Z равны; Бинарные операции часто используются для определения алгебраических структур .

В линейной алгебре билинейное преобразование — это бинарная функция, где множества X , Y и Z являются векторными пространствами , а производные функции f ^Икси fy _— все линейные преобразования . Билинейное преобразование, как и любую бинарную функцию, можно интерпретировать как функцию от X × Y до Z , но эта функция в общем случае не будет линейной. Однако билинейное преобразование также можно интерпретировать как одно линейное преобразование из тензорного произведения $X\otimes Y$ это из .

Обобщения троичных и других функций [ править ]

Понятие двоичной функции обобщается до троичной (или 3-арной ) функции , четвертичной (или 4-арной ) функции или, в более общем плане, до n-арной функции для любого натурального числа n . 0 -арная функция просто Z задается элементом . Z Можно также определить A-арную функцию , где A — любое множество ; имеется один вход для каждого элемента A .

Теория категорий [ править ]

В теории категорий n - арные функции обобщаются до n -арных морфизмов в мультикатегории . Интерпретация n -арного морфизма как обычного морфизма, область определения которого является своего рода произведением областей определения исходного n -арного морфизма, будет работать в моноидальной категории . Построение производных морфизмов одной переменной будет работать в замкнутой моноидальной категории . Категория множеств является замкнутой моноидальной, как и категория векторных пространств, что дает вышеприведенное понятие билинейного преобразования.

См. также [ править ]

Арити

Ссылки [ править ]

^ Кларк, Бертран; Фокуэ, Эрнест; Чжан, Хао Хелен (21 июля 2009 г.). Принципы и теория интеллектуального анализа данных и машинного обучения . п. 285. ИСБН 9780387981352 . Проверено 16 августа 2016 г.
^ Стюарт, Джеймс (2011). Основы многомерного исчисления . Торонто: Нельсон Эдьюкейшн. п. 591.

[1] Кларк, Бертран; Фокуэ, Эрнест; Чжан, Хао Хелен (21 июля 2009 г.). Принципы и теория интеллектуального анализа данных и машинного обучения . п. 285. ИСБН 9780387981352 . Проверено 16 августа 2016 г.

[2] Стюарт, Джеймс (2011). Основы многомерного исчисления . Торонто: Нельсон Эдьюкейшн. п. 591.

[1]

[2]