Наивная теория множеств

Эта статья о математической теме. О одноименной книге см. «Наивная теория множеств» (книга) .

Наивная теория множеств — это любая из нескольких теорий множеств, используемых при обсуждении основ математики . В отличие от аксиоматических теорий множеств , которые определяются с помощью формальной логики , наивная теория множеств определяется неформально, на естественном языке . Он описывает аспекты математических множеств, знакомые в дискретной математике (например, диаграммы Венна и символические рассуждения об их булевой алгебре ), и достаточен для повседневного использования концепций теории множеств в современной математике.

Множества имеют большое значение в математике; в современных формальных трактовках большинство математических объектов ( числа , отношения , функции и т. д.) определяются в терминах множеств. Наивная теория множеств достаточна для многих целей, а также служит ступенькой к более формальным подходам.

Метод

Наивная теория в смысле «наивная теория множеств» — это неформализованная теория, то есть теория, использующая естественный язык для описания множеств и операций над множествами. Такая теория рассматривает множества как платонические абсолютные объекты. Слова и , или , если ... то , не , для некоторых , для каждого трактуются как в обычной математике. Для удобства использование наивной теории множеств и ее формализма преобладает даже в высшей математике, в том числе и в более формальных рамках самой теории множеств.

Первым развитием теории множеств была наивная теория множеств. Он был создан в конце XIX века Георгом Кантором в рамках его исследования бесконечных множеств. и развит Готлобом Фреге в его «Основных законах арифметики» .

Наивная теория множеств может относиться к нескольким очень различным понятиям. Это может относиться к

• Неформальное представление аксиоматической теории множеств, например, как в «Наивной теории множеств» Пола Халмоша .
• Ранние или более поздние версии теории Георга Кантора и других неформальных систем.
• Совершенно противоречивые теории (как аксиоматические, так и нет), такие как теория Готлоба Фреге. это привело к парадоксу Рассела и теориям Джузеппе Пеано. и Ричард Дедекинд .

Парадоксы

Предположение о том, что любое свойство может быть использовано для формирования множества без ограничений, приводит к парадоксам . Одним из распространенных примеров является парадокс Рассела : не существует множества, состоящего из «всех множеств, которые не содержат самих себя». Таким образом, непротиворечивые системы наивной теории множеств должны включать некоторые ограничения на принципы, которые можно использовать для формирования множеств.

Теория Кантора

Некоторые полагают, что теория множеств Георга Кантора на самом деле не была замешана в теоретико-множественных парадоксах (см. Frápolli 1991). Одна из трудностей в определении этого с уверенностью заключается в том, что Кантор не представил аксиоматизацию своей системы. К 1899 году Кантор осознавал некоторые парадоксы, вытекающие из неограниченной интерпретации его теории, например парадокс Кантора. и парадокс Бурали-Форти , и не верил, что они дискредитировали его теорию. Парадокс Кантора на самом деле может быть выведен из приведенного выше (ложного) предположения о том, что любое свойство P ( x ) может быть использовано для формирования множества, используя для P ( x ) « x — кардинальное число ». Фреге явно аксиоматизировал теорию, в которой может быть интерпретирована формализованная версия наивной теории множеств, и именно к этой формальной теории фактически обратился Бертран Рассел , когда представил свой парадокс, а не обязательно теория Кантора, который, как уже упоминалось, был осведомлен о нескольких парадоксы — видимо, имел в виду.

Аксиоматические теории

Аксиоматическая теория множеств была разработана в ответ на эти ранние попытки понять множества с целью точно определить, какие операции разрешены и когда.

Консистенция

Наивная теория множеств не обязательно противоречива, если она правильно определяет множества, которые разрешено рассматривать. Это можно сделать с помощью определений, которые являются неявными аксиомами. Можно сформулировать все аксиомы явно, как в случае с наивной теорией множеств Халмоша , которая на самом деле является неформальным представлением обычной аксиоматической теории множеств Цермело–Френкеля . Он «наивен» в том смысле, что язык и обозначения используются в обычной неформальной математике, и в том смысле, что он не касается непротиворечивости или полноты системы аксиом.

Точно так же аксиоматическая теория множеств не обязательно непротиворечива и не обязательно свободна от парадоксов. следует Из теорем Гёделя о неполноте , что достаточно сложная логическая система первого порядка (которая включает в себя наиболее распространенные аксиоматические теории множеств) не может быть доказана непротиворечивой изнутри самой теории - даже если она действительно непротиворечива. Однако обычно считается, что общие аксиоматические системы непротиворечивы; своими аксиомами они исключают некоторые парадоксы, например парадокс Рассела . На основании теоремы Гёделя просто неизвестно – и никогда не может быть – нет ли вообще парадоксов в этих теориях или в любой теории множеств первого порядка.

Термин «наивная теория множеств» до сих пор используется в некоторой литературе. относиться к теориям множеств, изученным Фреге и Кантором, а не к неформальным аналогам современной аксиоматической теории множеств.

Утилита

Выбор между аксиоматическим подходом и другими подходами во многом является вопросом удобства. В повседневной математике лучшим выбором может быть неформальное использование аксиоматической теории множеств. Ссылки на определенные аксиомы обычно происходят только тогда, когда этого требует традиция, например, аксиома выбора часто упоминается при использовании. Аналогично, формальные доказательства имеют место только тогда, когда это оправдано исключительными обстоятельствами. Такое неформальное использование аксиоматической теории множеств может иметь (в зависимости от обозначений) именно вид наивной теории множеств, как описано ниже. Его значительно легче читать и писать (при формулировке большинства утверждений, доказательств и направлений обсуждения) и он менее подвержен ошибкам, чем строго формальный подход.

Множества,

В наивной теории множеств множество описывается как четко определенная совокупность объектов. Эти объекты называются элементами или членами множества. Объектами может быть что угодно: числа, люди, другие множества и т. д. Например, 4 является членом множества всех четных целых чисел . Очевидно, что множество четных чисел бесконечно велико; нет требования, чтобы множество было конечным.

Отрывок с оригинальным определением Георга Кантора.

Определение множеств восходит к Георгу Кантору . он написал В своей статье 1915 года «Вклад в обоснование теории трансфинитных множеств» :

«Под «набором» мы подразумеваем любую комбинацию М некоторых хорошо различимых объектов нашей интуиции или мышления (которые называются «элементами» М) в целое». — Джордж Кантор

«Набор — это совокупность в целое определенных, различных объектов нашего восприятия или нашего мышления, которые называются элементами множества». — Георг Кантор

Первое использование символа ϵ в работе «Принципы новой арифметики» Джузеппе Пеано .

Примечание о последовательности

, как Из этого определения не следует могут образовываться множества и какие операции над множествами снова создадут множество. Термин «четко определенный» в «четко определенном наборе объектов» сам по себе не может гарантировать непротиворечивость и однозначность того, что именно составляет, а что не составляет набор. Попытка достичь этого была бы областью аксиоматической теории множеств или аксиоматической теории классов .

Проблема в этом контексте с неформально сформулированными теориями множеств, не выведенными из какой-либо конкретной аксиоматической теории (и не подразумевающими ее), заключается в том, что может существовать несколько сильно различающихся формализованных версий, которые имеют как разные множества, так и разные правила того, как могут быть созданы новые множества. сформированы так, что все они соответствуют исходному неформальному определению. Например, дословное определение Кантора допускает значительную свободу в том, что представляет собой множество. С другой стороны, маловероятно, что Кантора особенно интересовали множества, содержащие кошек и собак, а скорее только множества, содержащие чисто математические объекты. Примером такого класса множеств может быть Вселенная фон Неймана . Но даже при фиксации рассматриваемого класса множеств не всегда ясно, какие правила образования множеств допустимы, не внося при этом парадоксов.

В целях закрепления обсуждения ниже термин «четко определенный» вместо этого следует интерпретировать как намерение с неявными или явными правилами (аксиомами или определениями) исключить несоответствия. Цель состоит в том, чтобы держать зачастую глубокие и сложные вопросы согласованности вдали от, как правило, более простого контекста. Явное исключение всех мыслимых несоответствий (парадоксов) в любом случае не может быть достигнуто для аксиоматической теории множеств из-за второй теоремы Гёделя о неполноте, так что это нисколько не препятствует полезности наивной теории множеств по сравнению с аксиоматической теорией множеств в простом виде. контексты, рассмотренные ниже. Это просто упрощает обсуждение. Впредь согласованность считается само собой разумеющейся, если не указано иное.

Членство

Если x является членом множества A , то также говорят, что принадлежит A или что x находится в A. x обозначается x ∈ A. Это Символ ∈ является производным от строчной греческой буквы эпсилон , «ε», введенной Джузеппе Пеано в 1889 году, и является первой буквой слова ἐστί (означает «есть»). Символ ∉ часто используется для записи x ∉ A , что означает «x не входит в A».

Равенство

Два множества A и B считаются равными, если одних и тех же элементов, то есть если каждый элемент A является элементом B , а каждый элемент B является элементом A. они состоят из (См. аксиому экстенсиональности .) Таким образом, множество полностью определяется своими элементами; описание несущественно. Например, множество элементов 2, 3 и 5 равно множеству всех простых чисел меньше 6.Если множества A и B равны, это символически обозначается как A = B (как обычно).

Пустой набор

Пустое множество , обозначаемое как $\varnothing$ и иногда $\{\}$, представляет собой набор вообще без членов. Поскольку множество полностью определяется своими элементами, пустое множество может быть только одно. (См. аксиому пустого множества .) Хотя пустое множество не имеет членов, оно может быть членом других наборов. Таким образом $\varnothing \neq \{\varnothing \}$, потому что у первого нет членов, а у второго есть один член.

Указание наборов

Самый простой способ описать набор — перечислить его элементы в фигурных скобках (это называется расширенным определением набора ). Таким образом, {1, 2} обозначает набор, единственными элементами которого являются 1 и 2 .(См. аксиому спаривания .)Обратите внимание на следующие моменты:

• Порядок элементов неважен; например, {1, 2} = {2, 1} .
• Повторение ( множественность ) элементов не имеет значения; например, {1, 2, 2} = {1, 1, 1, 2} = {1, 2} .

(Это последствия определения равенства, данного в предыдущем разделе.)

Этим обозначением можно неофициально злоупотреблять, говоря что-то вроде {dogs}, чтобы указать набор всех собак, но математики обычно читают этот пример как «набор, содержащий одиночный элемент собак ».

Крайним (но правильным) примером этого обозначения является {} , который обозначает пустое множество.

Обозначение { x : P ( x )} , или иногда { x | P ( x )} используется для обозначения набора, содержащего все объекты, для которых выполняется условие P определение набора (известное как намеренное ).Например, { х | x ∈ R } обозначает множество действительных чисел , { x | x имеет светлые волосы} обозначает набор всего со светлыми волосами.

Эта нотация называется нотацией построителя множеств (или « пониманием множеств », особенно в контексте функционального программирования ).Некоторые варианты обозначений построителя множеств:

• { Икс € А | P ( x )} обозначает набор всех x , которые уже являются членами A, таких, что условие P выполняется для x . Например, если Z — множество целых чисел , то { x ∈ Z | x четный} — набор всех четных целых чисел. (См. аксиому спецификации .)
• { F ( Икс ) | x ∈ A } обозначает множество всех объектов, полученных подстановкой членов множества A в формулу F . Например, {2 х | x ∈ Z } снова является множеством всех четных целых чисел. (См. аксиому замены .)
• { F ( Икс ) | P ( x )} — это наиболее общая форма записи построителя множеств. Например, { x владелец | x — собака} — множество всех владельцев собак.

Подмножества

Учитывая два множества A и B , A является подмножеством B , если каждый элемент A элементом B. также является В частности, каждое множество B является подмножеством самого себя; подмножество B , не равное B, называется собственным подмножеством .

Если A является подмножеством B , то можно также сказать, что является надмножеством A , A. что A содержится в B или B содержит B что В символах A ⊆ B означает, что A является подмножеством B , а B ⊇ A означает, что является надмножеством A. B Некоторые авторы используют символы ⊂ и ⊃ для обозначения подмножеств, а другие используют эти символы только для собственных подмножеств. Для ясности можно явно использовать символы ⊊ и ⊋ для обозначения неравенства.

В качестве иллюстрации пусть R будет набором действительных чисел, пусть Z будет набором целых чисел, пусть O будет набором нечетных целых чисел и пусть P будет набором нынешних или бывших президентов США .Тогда O — подмножество Z , Z — подмножество R и (следовательно) O — подмножество R , где во всех случаях подмножество можно даже читать как собственное подмножество .Не все наборы сопоставимы в этом смысле. Например, это не тот случай, когда R является подмножеством P или что P является подмножеством R .

Из определения равенства множеств, приведенного выше, непосредственно следует, что для данных двух множеств B A = и B тогда и только тогда, когда A ⊆ B и B ⊆ A. A Фактически это часто дается как определение равенства. Обычно, пытаясь доказать равенство двух множеств, стремятся показать эти два включения. Пустое множество является подмножеством каждого множества (утверждение о том, что все элементы пустого множества также являются членами любого множества A, является бессмысленным ).

Набор всех подмножеств данного множества A называется набором степеней A и обозначается $2^{A}$ или $P(A)$; « P » иногда используется в рукописном шрифте: $\wp (A)$. Если множество A состоит из n элементов, то $P(A)$ будет иметь $2^{n}$ элементы.

Универсальные множества и абсолютные дополнения

В определенных контекстах можно рассматривать все рассматриваемые множества как подмножества некоторого данного универсального множества .Например, при исследовании свойств действительных чисел R (и подмножеств R ), R можно рассматривать как универсальный набор. Истинное универсальное множество не включено в стандартную теорию множеств (см. «Парадоксы» ниже), но включено в некоторые нестандартные теории множеств.

универсальное множество U и подмножество A из U , дополнение A Учитывая (в U ) определяется как

А ^С := { x ∈ U | Икс ∉ А } .

Другими словами, А ^С (« A-дополнение »; иногда просто A' , « A-простое ») — это множество всех членов U которые не являются членами A. , Таким образом, если R , Z и O определены как в разделе о подмножествах, то если Z — универсальное множество, то O ^С — множество четных целых чисел, а если R — универсальное множество, то O ^С — это набор всех действительных чисел, которые либо являются четными целыми числами, либо вообще не являются целыми числами.

Союзы, пересечения и относительные дополнения

Учитывая два множества A и B , их объединение — это множество, состоящее из всех объектов, которые являются элементами A , B или обоих (см. аксиому объединения ). Он обозначается A ∪ B .

Пересечение — A , и B это множество всех объектов, находящихся как в так и в B. A Он обозначается A ∩ B .

Наконец, относительное дополнение B , относительно A , также известное как разность A B. и B , представляет собой набор всех объектов, которые A но не принадлежат теоретико- множественная принадлежат Записывается как A \ B или A − B .

Символически это соответственно

А ∪ B := { Икс | ( Икс ∈ А ) ∨ ( Икс ∈ B )} ;

А ∩ B := { Икс | ( Икс € А ) ∧ ( Икс € B )} знак равно { Икс € А | Икс € B } = { Икс € B | Икс ∈ А } ;

А \ В := { х | ( Икс ∈ А ) ∧ ¬ ( Икс ∈ B ) } знак равно { Икс ∈ А | ¬ ( Икс ∈ B )} .

Множество B не обязательно должно быть подмножеством A, чтобы A \ B имело смысл; в этом разница между относительным дополнением и абсолютным дополнением ( A ^С = U \ A ) из предыдущего раздела.

Чтобы проиллюстрировать эти идеи, пусть A — это группа левш, а B — группа людей со светлыми волосами. Тогда A ∩ B — это множество всех светловолосых левшей, а A ∪ B — это множество всех людей, которые левши, или блондины, или и то, и другое. С другой стороны, A \ B — это множество всех людей, которые левши, но не блондины, а B \ A — это множество всех людей со светлыми волосами, но не левшами.

Теперь пусть E будет совокупностью всех людей, а F — совокупностью всех живых существ старше 1000 лет. Что такое E ∩ F в этом случае? Ни одному живому человеческому существу не исполнилось более 1000 лет , поэтому E ∩ F должно быть пустым множеством {}.

Для любого набора A набор мощности $P(A)$ является булевой алгеброй относительно операций объединения и пересечения.

пары и

Интуитивно, упорядоченная пара — это просто совокупность двух объектов, один из которых можно отличить как первый элемент , а другой — как второй элемент , и обладающий фундаментальным свойством, состоящим в том, что две упорядоченные пары равны тогда и только тогда, когда их первые элементы равны и их вторые элементы равны.

Формально упорядоченная пара с первой координатой a и второй координатой b , обычно обозначаемая ( a , b ), может быть определена как набор $\{\{a\},\{a,b\}\}.$

Отсюда следует, что две упорядоченные пары ( a , b ) и ( c , d ) равны тогда и только тогда, когда a = c и b = d .

Альтернативно, упорядоченную пару можно формально рассматривать как набор {a,b} с общим порядком .

(Обозначение ( a , b ) также используется для обозначения открытого интервала на прямой числовой линии обозначение ] a , b , но из контекста должно быть ясно, какое значение имеется в виду. В противном случае для обозначения открытого интервала может использоваться [. интервал, тогда как ( a , b ) используется для упорядоченной пары).

Если A и B — множества, то декартово произведение (или просто произведение ) определяется как:

А × B знак равно {( а , б ) | а € А и б € В }.

То есть A × B первая координата которых является элементом A , а вторая координата — элементом B. — это набор всех упорядоченных пар ,

Это определение можно распространить на набор A × B × C упорядоченных троек и, в более общем смысле, на наборы упорядоченных n-кортежей для любого положительного целого числа n .Можно даже определить бесконечные декартовы произведения , но это требует более сложного определения произведения.

Декартовы произведения были впервые разработаны Рене Декартом в контексте аналитической геометрии . Если R обозначает множество всех действительных чисел , то R ² := R × R представляет собой евклидову плоскость , а R ³ := R × R × R представляет трёхмерное евклидово пространство .

Некоторые важные наборы

Есть несколько повсеместных множеств, для которых обозначения почти универсальны. Некоторые из них перечислены ниже. В списке a , b и c относятся к натуральным числам , а r и s — действительным числам .

1. натуральные числа Для счета используются . На доске жирная заглавная N ( $\mathbb {N}$) часто представляет этот набор.
2. Целые числа появляются как решения для x в таких уравнениях, как x + a = b . На доске жирная заглавная Z ( $\mathbb {Z}$) часто представляет это множество (от немецкого Zahlen , что означает числа ).
3. Рациональные числа появляются как решения таких уравнений, как a + bx = c . На доске жирная заглавная буква Q ( $\mathbb {Q}$) часто представляет этот набор (для частного , поскольку R используется для набора действительных чисел).
4. Алгебраические числа появляются как решения полиномиальных уравнений (с целыми коэффициентами) и могут включать радикалы (в том числе $i={\sqrt {-1\,}}$) и некоторые другие иррациональные числа . Q с подчеркиванием ( ${\overline {\mathbb {Q} }}$) часто представляет этот набор. Черная черта обозначает операцию алгебраического замыкания .
5. Действительные числа представляют собой «действительную линию» и включают в себя все числа, которые можно аппроксимировать рациональными числами. Эти числа могут быть рациональными или алгебраическими, но также могут быть трансцендентными числами , которые не могут выступать в качестве решений полиномиальных уравнений с рациональными коэффициентами. На доске жирная заглавная буква R ( $\mathbb {R}$) часто представляет этот набор.
6. Комплексные числа представляют собой суммы действительного и мнимого чисел: $r+s\,i$. Здесь либо $r$ или $s$ (или оба) могут быть нулевыми; таким образом, набор действительных чисел и набор строго мнимых чисел являются подмножествами набора комплексных чисел, которые образуют алгебраическое замыкание набора действительных чисел, а это означает, что каждый многочлен с коэффициентами в $\mathbb {R}$ имеет хотя бы один корень в этом множестве. На доске жирная заглавная буква C ( $\mathbb {C}$) часто представляет этот набор. Обратите внимание, что поскольку число $r+s\,i$ можно определить по точке $(r,s)$ в самолете, $\mathbb {C}$ по сути «то же самое», что и декартово произведение $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ («одинаковый» означает, что любая точка в одном определяет уникальную точку в другом, и для результата вычислений не имеет значения, какая из них используется для расчета, если правило умножения подходит для $\mathbb {C}$).

в ранней

Основная статья: Парадокс

Принцип неограниченного формирования множеств, называемый схемой аксиом неограниченного понимания ,

Если P — свойство, то существует множество Y = { x : P ( x )} ,

является источником нескольких рано возникших парадоксов:

• Y знак равно { Икс | x — порядковый номер) , что привело в 1897 году к парадоксу Бурали-Форти , первой опубликованной антиномии .
• Y знак равно { Икс | x — кардинал) создал парадокс Кантора в 1897 году.
• Y знак равно { Икс | {} = {}} дало вторую антиномию Кантора в 1899 году. Здесь свойство P истинно для всех x , каким бы x ни было, поэтому Y будет универсальным множеством , содержащим все.
• Y знак равно { Икс | x ∉ x } , то есть набор всех множеств, которые не содержат себя в качестве элементов, дал парадокс Рассела в 1902 году.

Если схема аксиом неограниченного понимания ослабляется до схемы аксиом спецификации или схемы аксиом разделения ,

Если P является свойством, то для любого множества X существует множество Y = { x ∈ X : P ( x )} ,

тогда все вышеперечисленные парадоксы исчезнут. Есть следствие. Если использовать схему аксиом разделения как аксиому теории, то в качестве теоремы теории следует:

Множество всех множеств не существует.

Или, что более эффектно (выражение Халмоша не существует ): Вселенной . Доказательство что он существует, и назовем его U. : предположим , Теперь примените схему аксиом разделения с X = U и для P ( x ) используйте x ∉ x . Это снова приводит к парадоксу Рассела. Следовательно, U не может существовать в этой теории.

С указанными конструкциями связано формирование множества

• Y знак равно { Икс | ( Икс ∈ Икс ) → {} ≠ {}} ,

где утверждение, следующее за импликацией, заведомо ложно. Из определения Y с использованием обычных правил вывода (и некоторых запоздалых размышлений при чтении доказательства в связанной статье ниже) следует, что Y ∈ Y → {} ≠ {} и Y ∈ Y выполняются, следовательно, {} ≠ { } . Это парадокс Карри .

Проблемой (возможно, как ни удивительно) является не возможность того, что x ∈ x . Это снова схема аксиом неограниченного понимания, позволяющая ( x ∈ x ) → {} ≠ {} для P ( x ) . При использовании схемы аксиом спецификации вместо неограниченного понимания вывод Y ∈ Y не выполняется и, следовательно, {} ≠ {} не является логическим следствием.

Тем не менее, возможность x ∈ x часто явно исключается. или, например, в ZFC, неявно, требуя аксиомы регулярности . соблюдения Одним из последствий этого является

Не существует множества X, для которого X ∈ X ,

или, другими словами, ни одно множество не является элементом самого себя.

Схема аксиом разделения просто слишком слаба (в то время как неограниченное понимание является очень сильной аксиомой — слишком сильной для теории множеств) для разработки теории множеств с ее обычными операциями и конструкциями, изложенными выше. Аксиома регулярности также носит ограничительный характер. Поэтому приходится формулировать другие аксиомы, гарантирующие существование достаточного количества множеств для формирования теории множеств. Некоторые из них неофициально описаны выше, а многие другие возможны. Не все мыслимые аксиомы можно свободно объединить в непротиворечивые теории. Например, аксиома выбора ZFC несовместима с мыслимым «любое множество действительных чисел измеримо по Лебегу ». Первое подразумевает, что второе неверно.

См. также

• Алгебра множеств
• Аксиоматическая теория множеств
• Теория внутренних множеств
• Список установленных личностей и отношений
• Теория множеств
• Набор (математика)
• Частично заказанный комплект

Ссылки

• Бурбаки, Н. , Элементы истории математики , Джон Мелдрам (пер.), Springer-Verlag, Берлин, Германия, 1994.
• Кантор, Георг (1874), «О свойстве описания всех действительных алгебраических чисел» , Ж. Рейн Ангью. Math. , 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515/crll.1874.77.258 , S2CID   124035379 ; см. также pdf-версию
• Девлин, К.Дж. , Радость множеств: основы современной теории множеств , 2-е издание, Springer-Verlag, Нью-Йорк, Нью-Йорк, 1993.
• Мария Х. Фраполли | Фраполли, Мария Дж., 1991, «Является ли канторианская теория множеств итеративной концепцией множеств?». Современная логика , т. 1 н. 4, 1991, 302–318.
• Фреге, Готтлоб (1893), Основные законы арифметики , том. 1, Йена {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Халмош, Пол (1960). Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда.
  • Халмос, Пол (1974). Наивная теория множеств (переиздание). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90092-6 .
  • Халмос, Пол (2011). Наивная теория множеств (изд. В мягкой обложке). Мэнсфилд-центр, Китай: Компания Д. Ван Ностранда. ISBN  978-1-61427-131-4 .
• Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN  3-540-44085-2 .
• Келли, Дж. Л. , Общая топология , Ван Ностранд Рейнхольд, Нью-Йорк, 1955.
• ван Хейеноорт, Дж ., От Фреге до Гёделя, Справочник по математической логике, 1879–1931 , издательство Гарвардского университета, Кембридж, Массачусетс, 1967. Перепечатано с исправлениями, 1977. ISBN   0-674-32449-8 .
• Мешковски, Герберт [на немецком языке] ; Нильсон, Винфрид (1991), Георг Кантор: Письма. Отредактировано авторами. , Берлин: Springer, ISBN  3-540-50621-7
• Пеано, Джузеппе (1889), Принципы арифметики, изложенные в новом методе , Турин. {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
• Цермело, Эрнст (1932), Георг Кантор: Сборник трактатов математического и философского содержания. С пояснительными примечаниями и дополнениями из переписки Кантора-Дедекинда. Отредактировано автором. , Берлин: Шпрингер

Внешние ссылки

• Начало страницы теории множеств в Сент-Эндрюсе
• Самые ранние известные варианты использования некоторых математических слов (S)