Большой кардинал
В математической области теории множеств большое кардинальное свойство представляет собой определенный вид свойства трансфинитных кардинальных чисел . Кардиналы с такими свойствами, как следует из названия, обычно очень «большие» (например, больше наименьшего α, так что α=ω α ). Утверждение о существовании таких кардиналов не может быть доказано в наиболее распространенной аксиоматизации теории множеств, а именно в ZFC , и такие утверждения можно рассматривать как способы измерения того, сколько «за пределами ZFC» необходимо предположить, чтобы иметь возможность доказать определенные желаемые значения. результаты. , их можно рассматривать Другими словами, по выражению Даны Скотт как количественную оценку того факта, «что если вы хотите большего, вам придется больше предполагать». [1]
Существует грубое соглашение, согласно которому результаты, доказуемые только с помощью ZFC, могут быть сформулированы без гипотез, но если доказательство требует других предположений (например, существования больших кардиналов), их следует сформулировать. Является ли это просто лингвистической условностью или чем-то большим, является спорным вопросом среди различных философских школ (см. «Мотивации и эпистемический статус» ниже).
А Большая кардинальная аксиома — это аксиома, утверждающая, что существует кардинал (или, возможно, многие из них) с некоторым указанным большим кардинальным свойством.
Большинство теоретиков рабочих множеств считают, что рассматриваемые в настоящее время большие кардинальные аксиомы согласуются с ZFC. [ нужна ссылка ] Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы подразумевать непротиворечивость ZFC. Следствием этого (через вторую теорему Гёделя о неполноте ) является то, что их согласованность с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечив).
Не существует общепринятого точного определения того, что такое большое кардинальное свойство, хотя по существу все согласны с тем, что те, что указаны в списке крупных кардинальных свойств, являются крупными кардинальными свойствами.
Частичное определение [ править ]
Необходимым условием того, чтобы свойство кардинальных чисел было большим кардинальным свойством, является то, что существование такого кардинала не противоречит ZF и что такой кардинал К будет несчетным начальным ординалом, для которого L К является моделью. компании ZFC. Если ZFC непротиворечив , то ZFC не подразумевает существования таких больших кардиналов.
согласованности Иерархия силы
Замечательное наблюдение относительно больших кардинальных аксиом состоит в том, что они располагаются в строго линейном порядке по силе непротиворечивости . То есть не известно ни одного исключения из следующего: при наличии двух больших кардинальных аксиом A 1 и A 2 происходит ровно одно из трех:
- Если ZFC не противоречив, ZFC+ A 1 непротиворечив тогда и только тогда, когда ZFC+ A 2 непротиворечив;
- ZFC+ A 1 доказывает, что ZFC+ A 2 непротиворечив; или
- ZFC+ A 2 доказывает, что ZFC+ A 1 непротиворечив.
Они взаимоисключающие, если только одна из рассматриваемых теорий на самом деле не противоречива.
случае 1 мы говорим A1 что и A2 В эквисогласованы , . В случае 2 мы говорим, что A 1 по согласованности сильнее, чем A 2 (в случае 3 наоборот). Если A 2 сильнее, чем A 1 , то ZFC+ A 1 не может доказать ZFC+ A 2 непротиворечивость даже при наличии дополнительной гипотезы о том, что ZFC+ A 1 сам по себе непротиворечив (при условии, конечно, что это действительно так). Это следует из второй теоремы Гёделя о неполноте .
Наблюдение о том, что большие кардинальные аксиомы линейно упорядочены по силе непротиворечивости, — это всего лишь наблюдение, а не теорема. (Без принятого определения крупного кардинального свойства оно не подлежит доказательству в обычном смысле.) Кроме того, не в каждом случае известно, какой из трех случаев имеет место. Сахарон Шела спросил: «Есть ли какая-то теорема, объясняющая это, или наше видение просто более единообразно, чем мы думаем?» Вудин , однако, выводит это из Ω-гипотезы , основной нерешенной проблемы его Ω-логики . Примечательно также, что многие комбинаторные утверждения именно эквисовместимы с каким-то большим кардиналом, а не, скажем, являются промежуточными между ними.
Порядок силы непротиворечивости не обязательно совпадает с порядком размера наименьшего свидетеля большой кардинальной аксиомы. Например, существование огромного кардинала с точки зрения силы согласованности намного сильнее, чем существование сверхкомпактного кардинала , но если предположить, что оба существуют, первый огромный меньше, чем первый сверхкомпактный.
и эпистемический статус Мотивации
Большие кардиналы понимаются в контексте вселенной фон Неймана V, которая создается путем трансфинитного повторения операции набора степеней , которая собирает вместе все подмножества данного набора. Обычно модели , в которых большие кардинальные аксиомы не работают, можно каким-то естественным образом рассматривать как подмодели тех, в которых аксиомы выполняются. Например, если есть недоступный кардинал , то «отсечение вселенной» на высоте первого такого кардинала дает вселенную , в которой нет недоступных кардиналов. Или, если существует измеримый кардинал , то итерация определимой операции набора степеней вместо полной дает конструктивную вселенную Гёделя L, которая не удовлетворяет утверждению «существует измеримый кардинал» (даже несмотря на то, что она содержит измеримый кардинал как порядковый номер). ).
Таким образом, с определенной точки зрения, которой придерживаются многие теоретики множеств (особенно те, кто вдохновлен традицией Кабала ) , большие кардинальные аксиомы «говорят», что мы рассматриваем все множества, которые «должны» рассматривать, в то время как их отрицания являются «ограничительными» и говорят, что мы рассматриваем только некоторые из этих множеств. Более того, последствия крупных кардинальных аксиом, похоже, подчиняются естественным закономерностям (см. Мэдди, «Веря в аксиомы, часть II»). По этим причинам такие теоретики множеств склонны считать, что большие кардинальные аксиомы имеют предпочтительный статус среди расширений ZFC, который не разделяется аксиомами с менее ясной мотивацией (такими как аксиома Мартина ) или другими, которые они считают интуитивно маловероятными (такими как V = Л ). Убежденные реалисты в этой группе, проще говоря, заявили бы, что большие кардинальные аксиомы верны .
Эта точка зрения ни в коем случае не является универсальной среди теоретиков множеств. Некоторые формалисты утверждают, что теория стандартных множеств по определению является изучением последствий ZFC, и хотя они в принципе не возражают против изучения последствий других систем, они не видят причин выделять большие кардиналы в качестве предпочтительных. Есть также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является правильной мотивацией, и даже считают, что основные кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, есть некоторые, кто отрицает, что отрицания больших кардинальных аксиом являются ограничительными, указывая, что (например) в L может существовать модель транзитивного множества , которая полагает, что существует измеримый кардинал, даже если сам L не удовлетворяет этому требованию. предложение.
См. также [ править ]
Примечания [ править ]
- ^ Белл, Дж. Л. (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств . Издательство Оксфордского университета. viii. ISBN 0-19-853241-5 .
Ссылки [ править ]
- Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании 0-444-10535-2 .
- Джех, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Спрингер. ISBN 3-540-44085-2 .
- Канамори, Акихиро (2003). Высшее бесконечное: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Спрингер. ISBN 3-540-00384-3 .
- Канамори, Акихиро; Магидор, М. (1978), «Эволюция больших кардинальных аксиом в теории множеств» (PDF) , Высшая теория множеств , Конспекты лекций по математике, том. 669, Springer Berlin/Heidelberg, стр. 99–275, номер домена : 10.1007/BFb0103104 , ISBN. 978-3-540-08926-1 , получено 25 сентября 2022 г.
- Мэдди, Пенелопа (1988). «Веря аксиомам, я». Журнал символической логики . 53 (2): 481–511. дои : 10.2307/2274520 . JSTOR 2274520 .
- Мэдди, Пенелопа (1988). «Веря в аксиомы, II». Журнал символической логики . 53 (3): 736–764. дои : 10.2307/2274569 . JSTOR 2274569 . S2CID 16544090 .
- Шела, Сахарон (2002). «Будущее теории множеств». arXiv : math/0211397 .
- Соловей, Роберт М .; Уильям Н. Рейнхардт ; Акихиро Канамори (1978). «Сильные аксиомы бесконечности и элементарные вложения» (PDF) . Анналы математической логики . 13 (1): 73–116. дои : 10.1016/0003-4843(78)90031-1 .
- Вудин, В. Хью (2001). «Гипотеза континуума, часть II». Уведомления Американского математического общества . 48 (7): 681–690.
