Эквисогласованность

В математической логике две теории являются равносогласованными , если из непротиворечивости одной теории следует непротиворечивость другой теории, и наоборот . В данном случае они, грубо говоря, «столь же последовательны, как друг друга».

невозможно доказать абсолютную непротиворечивость теории Т. В общем , Вместо этого мы обычно берем теорию S , считающуюся непротиворечивой, и пытаемся доказать более слабое утверждение, что если S непротиворечиво, то T также должно быть непротиворечивым — если мы можем это сделать, мы говорим, что T непротиворечива относительно S. Если S также непротиворечиво относительно T , то мы говорим, S и T эквисогласованы что .

Последовательность

В математической логике формальные теории изучаются как математические объекты . Поскольку некоторые теории достаточно сильны, чтобы моделировать различные математические объекты, естественно задаться вопросом об их собственной непротиворечивости .

Гильберт предложил программу В начале 20 века , конечной целью которой было показать с помощью математических методов непротиворечивость математики. Поскольку большинство математических дисциплин можно свести к арифметике , программа быстро стала устанавливать непротиворечивость арифметики методами, формализуемыми внутри самой арифметики.

Гёделя о Теоремы неполноте показывают, что программа Гильберта не может быть реализована: если непротиворечивая вычислимо перечислимая теория достаточно сильна, чтобы формализовать свою собственную метаматематику (независимо от того, является ли что-то доказательством или нет), т.е. достаточно сильна, чтобы моделировать слабый фрагмент арифметики ( арифметика Робинсона достаточно), то теория не может доказать свою непротиворечивость. Есть некоторые технические оговорки относительно того, каким требованиям должно удовлетворять формальное утверждение, представляющее метаматематическое утверждение «Теория непротиворечива», но в результате получается, что если (достаточно сильная) теория может доказать свою непротиворечивость, то либо не существует вычислимого способа определения того, является ли утверждение вообще аксиомой теории или нет, или же теория сама по себе противоречива (в этом случае она может доказать что угодно, включая ложные утверждения, такие как ее собственная непротиворечивость).

Учитывая это, вместо полной непротиворечивости обычно рассматривают относительную непротиворечивость: пусть S и T — формальные теории. Предположим, что S — непротиворечивая теория. Следует ли из этого, что T непротиворечив? Если да, то T непротиворечиво относительно S. Две теории эквисовместимы, если каждая из них непротиворечива относительно другой.

Прочность консистенции

Если T непротиворечиво относительно S , но , неизвестно, что S непротиворечиво относительно то мы говорим, что S имеет большую силу непротиворечивости, чем T. T При обсуждении вопросов силы непротиворечивости необходимо тщательно рассмотреть метатеорию, в рамках которой происходит обсуждение. Для теорий на уровне арифметики второго порядка программа обратной математики может многое сказать. Проблемы непротиворечивости — обычная часть теории множеств , поскольку это вычислимая теория, которая, безусловно, может моделировать большую часть математики. Наиболее широко используемый набор аксиом теории множеств называется ZFC . Когда говорят, что теоретико-множественное утверждение A эквисовместимо с другим утверждением B , на самом деле утверждается, что в метатеории ( в данном случае арифметике Пеано ) можно доказать, что теории ZFC+ A и ZFC+ B эквисогласованы. Обычно в качестве рассматриваемой метатеории может быть принята примитивно-рекурсивная арифметика , но даже если метатеория представляет собой ZFC или ее расширение, это понятие имеет смысл. Метод Форсинг позволяет показать, что теории ZFC, ZFC+CH и ZFC+¬CH эквисогласованы (где CH обозначает гипотезу континуума ).

При обсуждении фрагментов ZFC или их расширений (например, ZF, теория множеств без аксиомы выбора, или ZF+AD, теория множеств с аксиомой детерминированности ), описанные выше понятия адаптируются соответствующим образом. Таким образом, ZF эквисовместим с ZFC, как показал Гёдель.

Сила непротиворечивости многочисленных комбинаторных утверждений может быть откалибрована большими кардиналами . Например:

• отрицание гипотезы Курепы равносовместимо с существованием недоступного кардинала ,
• отсутствие специального $\omega _{2}$- Деревья Ароншайна равносовместимы с существованием кардинала Мало ,
• отсутствие $\omega _{2}$- Деревья Ароншайна равносовместимы с существованием слабо компактного кардинала .

См. также

• Большая кардинальная собственность

Ссылки

• Акихиро Канамори (2003). Высшая Бесконечность . Спрингер. ISBN   3-540-00384-3