Дерево Курепа
В теории множеств дерево Курепы — это дерево ( T , <) высоты ω 1 , каждый уровень которого счетен и имеет не менее ℵ 2 ветвей. Это понятие было введено Курепой ( 1935 ). Существование дерева Курепа (известное как гипотеза Курепы , хотя первоначально Курепа предполагал, что это неверно) согласуется с аксиомами ZFC : Соловей показал в неопубликованной работе, что существуют деревья Курепа в Гёделя конструируемой вселенной ( Jech 1971 ). . Точнее, существование деревьев Курепа следует из принципа «ромб плюс» , который действует в конструктивной вселенной. С другой стороны, Сильвер ( 1971 ) показал, что если сильно недоступным кардиналом является коллапс Леви до ω 2 , то в полученной модели не существует деревьев Курепы. Существование недоступного кардинала на самом деле равнозначно несостоятельности гипотезы Курепы, потому что, если гипотеза Курепы ложна, то кардинал ω 2 недоступен в конструируемой вселенной.
Дерево Курепа с числом менее 2 ℵ 1 Ветви известны как дерево Йеха-Кунена .
В более общем смысле, если κ — бесконечный кардинал, то κ-дерево Курепы — это дерево высоты κ с более чем κ ветвями, но не более чем |α| элементы каждого бесконечного уровня α<κ, а гипотеза Курепы для κ — это утверждение о существовании κ-дерева Курепы. Иногда дерево также предполагается двоичным. Существование бинарного κ-дерева Курепы эквивалентно существованию семейства Курепы : набора из более чем κ подмножеств κ таких, что их пересечения с любым бесконечным порядковым номером α<κ образуют множество мощности не более α. Гипотеза Курепы ложна, если κ — невыразимый кардинал , и наоборот, Йенсен показал, что в конструктивной вселенной для любого несчетного регулярного кардинала κ существует κ-дерево Курепы, если только κ не невыразимо.
Специализация дерева Курепа
[ редактировать ]Дерево Курепа можно «убить», принудительно существование функции, значение которой на любом некорневом узле является порядковым номером, меньшим, чем ранг узла, так что всякий раз, когда три узла, один из которых является нижней границей для другого, два сопоставляются с одним и тем же порядковым номером, то эти три узла сравнимы. Это можно сделать без свертывания ℵ 1 и в результате получится дерево ровно с ℵ 1 ветвями.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Джех, Томас Дж. (1971), «Деревья», Журнал символической логики , 36 : 1–14, doi : 10.2307/2271510 , JSTOR 2271510 , MR 0284331 , Zbl 0245.02054
- Я, Томас (2002). Теория множеств . Спрингер Верлаг. ISBN 3-540-44085-2 .
- Курепа, Г. (1935), "Упорядоченные и разветвленные множества" , Опубл. математика. унив. Белград , 4 :1–138, JFM 61.0980.01 , Zbl 0014.39401
- Сильвер, Джек (1971), «Независимость гипотезы Курепы и двухкардинальных гипотез в теории моделей», Аксиоматическая теория множеств , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. XIII, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 383–390, МР 0277379 , Збл 0255.02068
 | Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |