Невыразимый кардинал

В математике трансфинитных чисел невыразимое кардинальное число — это особый вид большого кардинального числа, введенный Дженсеном и Куненом (1969) . В следующих определениях $\kappa$ всегда будет правильным неисчисляемым кардинальным числом .

Кардинальное число $\kappa$ называется почти невыразимым, если для каждого $f:\kappa \to {\mathcal {P}}(\kappa )$ (где ${\mathcal {P}}(\kappa )$ это мощности набор $\kappa$ ) с тем свойством, которое $f(\delta )$ является подмножеством $\delta$ для всех порядковых номеров $\delta <\kappa$ , есть подмножество $S$ из $\kappa$ имеющий мощность $\kappa$ и однородный по $f$ в том смысле, что для любого $\delta _{1}<\delta _{2}$ в $S$ , $f(\delta _{1})=f(\delta _{2})\cap \delta _{1}$ .

Кардинальное число $\kappa$ называется невыразимым , если для любой двоичной функции $f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}$ , существует стационарное подмножество $\kappa$ на котором $f$ является однородным : то есть либо $f$ отображает все неупорядоченные пары элементов, взятые из этого подмножества, в ноль или отображает все такие неупорядоченные пары в один. Эквивалентная формулировка состоит в том, что кардинал $\kappa$ невыразимо, если для любой последовательности $⟨A α : α \in κ⟩$ такой, что для каждого $A α \subseteq α$ , существует $A \subseteq κ$ такой, что ${α \in κ : A \cap α = A α}$ стационарно в $κ$ .

Другая эквивалентная формулировка состоит в том, что регулярный несчетный кардинал $\kappa$ невыразимо, если для любого множества $S$ мощности $\kappa$ подмножеств $\kappa$ , существует нормальный (т.е. замкнутый относительно диагонального пересечения ) нетривиальный $\kappa$ -полный фильтр ${\mathcal {F}}$ на $\kappa$ решение $S$ : то есть для любого $X\in S$ , или $X\in {\mathcal {F}}$ или $\kappa \setminus X\in {\mathcal {F}}$ . ^[1] Это похоже на характеристику слабо компактных кардиналов .

В более общем смысле, $\kappa$ называется $n$ -невыразимо (для положительного целого числа $n$ ), если для каждого $f:[\kappa ]^{n}\to \{0,1\}$ существует стационарное подмножество $\kappa$ на котором $f$ является $n$ - однородный (принимает одно и то же значение для всех неупорядоченных $n$ -кортежи, взятые из подмножества). Таким образом, оно невыразимо тогда и только тогда, когда оно 2-невыразимо. Невыразимость строго слабее, чем 3-невыразимость. ^[2]^{п. 399}

кардинал Совершенно невыразимый — это кардинал, который $n$ -невыразимо для каждого $2\leq n<\aleph _{0}$ . Если $\kappa$ является $(n+1)$ -невыразимо, то множество $n$ -невыразимые кардиналы внизу $\kappa$ является стационарным подмножеством $\kappa$ .

Каждый $n$ -невыразимый кардинал $n$ -почти невыразимо (с набором $n$ - почти невыразимо ниже неподвижного), и каждый $n$ - почти невыразимо $n$ -тонкий (с набором $n$ -тонкий ниже него неподвижный). Наименьший $n$ -тонкий кардинал даже не слабо компактен (и в отличие от невыразимых кардиналов, наименьший $n$ - почти невыразимо $\Pi _{2}^{1}$ -описуемо), но $(n-1)$ -невыразимые кардиналы неподвижны ниже каждого $n$ -тонкий кардинал.

Кардинал κ совершенно невыразим, если существует непустое $R\subseteq {\mathcal {P}}(\kappa )$ такой, что
- каждый $A\in R$ неподвижен
- для каждого $A\in R$ и $f:[\kappa ]^{2}\to \{0,1\}$ , есть $B\subseteq A$ однородный для f с $B\in R$ .

Используя любое конечное $n$ > 1 вместо 2 приведет к тому же определению, поэтому совершенно невыразимые кардиналы совершенно невыразимы (и имеют большую силу согласованности ). Совершенно невыразимые кардиналы $\Pi _{n}^{1}$ -неописуемо для любого n , но свойство быть совершенно невыразимым $\Delta _{1}^{2}$ .

Сила непротиворечивости совершенно невыразимых ниже, чем у 1-итерируемых кардиналов, которые, в свою очередь, ниже замечательных кардиналов , которые, в свою очередь, ниже ω-кардиналов Эрдёша . Список крупных кардинальных аксиом по силе непротиворечивости доступен в разделе ниже.

См. также [ править ]

Список крупных кардинальных свойств

Ссылки [ править ]

Фридман, Харви (2001), «Тонкие кардиналы и линейные порядки», Annals of Pure and Applied Logic , 107 (1–3): 1–34, doi : 10.1016/S0168-0072(00)00019-1 .
Дженсен, Рональд ; Кунен, Кеннет (1969), Некоторые комбинаторные свойства L и V , неопубликованная рукопись

Цитаты [ править ]

^ Святой, Питер; Шлихт, Филипп (2017). «Иерархия кардиналов, подобных Рэмси». arXiv : 1710.10043 [ math.LO ].
^ К. Кунен,. «Комбинаторика». В Справочнике по математической логике , Исследованиях по логике и основам математики, том. 90, изд. Дж. Барвайз (1977)

[1] Святой, Питер; Шлихт, Филипп (2017). «Иерархия кардиналов, подобных Рэмси». arXiv : 1710.10043 [ math.LO ].

[2] К. Кунен,. «Комбинаторика». В Справочнике по математической логике , Исследованиях по логике и основам математики, том. 90, изд. Дж. Барвайз (1977)

[1]

[2]