Слабо компактный кардинал

В математике слабо компактное кардинальное число — это определенный вид кардинального числа, введенный Эрдёшем и Тарским (1961) ; Слабо компактные кардиналы являются большими кардиналами , а это означает, что их существование не может быть доказано на основе стандартных аксиом теории множеств . (Тарский первоначально называл их «не сильно некомпактными» кардиналами.)

Формально кардинал κ называется слабо компактным, если он несчетен и для любой функции f : [κ] ² → {0, 1} существует множество мощности κ , однородное по f . В этом контексте [κ] ² означает набор 2-элементных подмножеств κ, а подмножество S из κ однородно для f тогда и только тогда, когда либо все из [ S ] ² отображается в 0 или все это отображается в 1.

Название «слабо компактный» относится к тому факту, что если кардинал слабо компактен, то определенный родственный бесконечный язык удовлетворяет версии теоремы о компактности ; см. ниже.

составы

Следующие утверждения эквивалентны для любого несчетного кардинала κ:

1. κ слабо компактен.
2. для любого λ<κ, натурального числа n ≥ 2 и функции f: [κ] ^н → λ, существует множество мощности κ, однородное по f. ( Дрейк 1974 , глава 7, теорема 3.5)
3. κ недоступно и обладает свойством дерева , то есть каждое дерево высоты κ имеет либо уровень размера κ, либо ветвь размера κ.
4. Каждый линейный порядок мощности κ имеет восходящую или нисходящую последовательность типа порядка κ. (WW Comfort, С. Негрепонтис, Теория ультрафильтров , стр.185)
5. κ есть $\Pi _{1}^{1}$- неописуемо .
6. κ обладает свойством расширения. Другими словами, для всех U ⊂ V _κ существует транзитивное множество X такое, что κ ∈ X , и подмножество S ⊂ X , такие, что ( V _κ , ∈, U ) является элементарной подструктурой ( X , ∈, S ) . Здесь U и S рассматриваются как унарные предикаты .
7. Для каждого множества S мощности κ подмножеств κ существует нетривиальный κ-полный фильтр, который решает S.
8. κ κ- разворачиваемо .
9. κ недоступен, а бесконечный язык L _κ,κ удовлетворяет слабой теореме компактности.
10. κ недоступен, а бесконечный язык L _κ,ω удовлетворяет слабой теореме компактности.
11. κ недоступно и для любого транзитивного множества $M$ мощности κ с κ $\in M$, ${}^{<\kappa }M\subset M$, и удовлетворяющий достаточно большому фрагменту ZFC , существует элементарное вложение $j$ от $M$ к транзитивному множеству $N$ мощности κ такая, что $^{<\kappa }N\subset N$, с критической точкой $crit(j)=$κ. ( Хаузер 1991 , Теорема 1.3)
12. κ — сильно недостижимый разветвляющийся кардинал. (WW Comfort, С. Негрепонтис, Теория ультрафильтров , стр.185)
13. $\kappa =\kappa ^{<\kappa }$ ( $\kappa ^{<\kappa }$ определяется как $\sum {\lambda <\kappa }\kappa ^{\lambda }$) и каждый $\kappa$-полный фильтр $\kappa$-полное поле множеств мощности $\leq \kappa$ содержится в $\kappa$-полный ультрафильтр. (WW Comfort, С. Негрепонтис, Теория ультрафильтров , стр.185)
14. $\kappa$ имеет свойство Александра, т.е. для любого пространства $X$ с $\kappa$-основание ${\mathcal {A}}$ с мощностью $\leq \kappa$и каждая обложка $X$ элементами ${\mathcal {A}}$ имеет подприкрытие мощности $<\kappa$, затем $X$ является $\kappa$-компактный. (WW Comfort, С. Негрепонтис, Теория ультрафильтров , стр.182--185)
15. $(2^{\kappa })_{\kappa }$ является $\kappa$-компактный. (WW Comfort, С. Негрепонтис, Теория ультрафильтров , стр.185)

Говорят, что язык L _{κ, κ} удовлетворяет слабой теореме о компактности, если всякий раз, когда Σ представляет собой множество предложений мощности не более κ и каждое подмножество с элементами менее κ имеет модель, то Σ имеет модель. сильно компактные кардиналы Аналогично определяются без ограничения мощности множества предложений.

Свойства

Каждый слабо компактный кардинал является отражающим кардиналом , а также пределом отражающих кардиналов. Это означает также, что слабо компактные кардиналы являются кардиналами Мало , а множество кардиналов Мало, меньших данного слабо компактного кардинала, стационарно .

Если $\kappa$ слабо компактна, то существуют цепочки обоснованных элементарных концевых расширений $(V_{\kappa },\in )$ произвольной длины $<\kappa ^{+}$. ^стр.6

Слабо компактные кардиналы остаются слабо компактными в $L$. Полагая V = L, кардинал слабо компактен тогда и только тогда, когда он 2-стационарен.

См. также

• Список крупных кардинальных свойств

Ссылки

• Дрейк, Франция (1974), Теория множеств: введение в большие кардиналы , исследования по логике и основам математики, том. 76, Elsevier Science Ltd, ISBN  0-444-10535-2
• Эрдеш, Пол ; Тарский, Альфред (1961), «О некоторых проблемах, связанных с недоступными кардиналами» , Очерки по основам математики , Иерусалим: Magnes Press, Jewish Univ., стр. 50–82, MR   0167422
• Хаузер, Кай (1991), «Неописуемые кардиналы и элементарные вложения», Журнал символической логики , 56 (2), Ассоциация символической логики: 439–457, doi : 10.2307/2274692 , JSTOR   2274692 , S2CID   288779
• Канамори, Акихиро (2003), Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.), Springer, ISBN  3-540-00384-3