Сильно компактный кардинал

В теории множеств , разделе математики , сильно компактный кардинал — это своего рода большой кардинал .

Кардинал κ сильно компактен тогда и только тогда, когда каждый κ-полный фильтр можно расширить до κ-полного ультрафильтра.

Сильно компактные кардиналы изначально были определены в терминах бесконечной логики , где логическим операторам разрешено принимать бесконечное количество операндов. Логика регулярного кардинала κ определяется требованием, чтобы количество операндов для каждого оператора было меньше κ; тогда κ сильно компактна, если ее логика удовлетворяет аналогу свойства компактности финитной логики.В частности, утверждение, которое следует из некоторого другого набора утверждений, должно также следовать из некоторого подмножества, мощность которого меньше κ.

Свойство сильной компактности можно ослабить, потребовав, чтобы это свойство компактности выполнялось только тогда, когда исходный набор утверждений имеет мощность ниже определенного кардинала λ; тогда мы можем обратиться к λ-компактности. Кардинал слабо компактен тогда и только тогда, когда он κ-компакт; это было первоначальное определение этой концепции.

Сильная компактность предполагает измеримость и подразумевается сверхкомпактностью . Учитывая, что соответствующие кардиналы существуют, с ZFC согласуется либо то, что первый измеримый кардинал сильно компактен, либо что первый сильно компактный кардинал является суперкомпактным; Однако оба эти утверждения не могут быть правдой. Измеримый предел сильно компактных кардиналов сильно компактен, но наименьший такой предел не является сверхкомпактным.

Прочность консистенции сильной компактности строго выше, чем у кардинала Вуда . Некоторые теоретики множеств предполагают, что существование сильно компактного кардинала эквисовместимо с существованием суперкомпактного кардинала. Однако доказательство маловероятно до тех пор, пока не будет разработана каноническая теория внутренней модели суперкомпактных кардиналов.

Джех получил вариант свойства дерева , которое справедливо для недоступного кардинала тогда и только тогда, когда он сильно компактен.

Расширяемость — это аналог сильной компактности второго порядка.

См. также

• Список крупных кардинальных свойств

Ссылки

• Дрейк, Франция (1974). Теория множеств: введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76) . Elsevier Science Ltd. ISBN компании  0-444-10535-2 .