Логическая связка

Нулевые связки (константы)
Унарные связки
Бинарные связки
	Больше информации

В логике логическая связка (также называемая логическим оператором , промысловой связкой или промысловым оператором ) является логической константой . Связки можно использовать для соединения логических формул. Например в синтаксисе логики высказываний , бинарная связка $\lor$ может использоваться для объединения двух атомарных формул $P$ и $Q$ , отображая сложную формулу $P\lor Q$ .

Общие связки включают отрицание , дизъюнкция , соединение , импликация и эквивалентность . В стандартных системах классической логики эти связки интерпретируются как функции истинности они получают множество альтернативных интерпретаций , хотя в неклассической логике . Их классические интерпретации аналогичны значениям выражений естественного языка, таких как английские «не», «или», «и» и «если», но не идентичны. Несоответствия между связками естественного языка и связками классической логики мотивировали неклассические подходы к значению естественного языка, а также подходы, которые сочетают классическую композиционную семантику с устойчивой прагматикой .

Логическая связка похожа, но не эквивалентна синтаксису, обычно используемому в языках программирования и называемому условным оператором . ^[1]^{[ нужен лучший источник ]}

Обзор [ править ]

В формальных языках функции истинности представлены однозначными символами. Это позволяет избежать двусмысленного понимания логических утверждений. Эти символы называются логическими связками , логическими операторами , пропозициональными операторами или, в классической логике , функционально-истинными связками . Правила, которые позволяют создавать новые правильно построенные формулы путем соединения других правильных формул с помощью функционально-истинных связок, см. в разделе « правильно сформированные формулы» .

Логические связки могут использоваться для связи нуля или более утверждений, поэтому можно говорить о $n$ -арных логических связках . Булевы константы . True и False можно рассматривать как нулевые операторы Отрицание – это одноарная связка и так далее.

Список распространенных логических связок [ править ]

К наиболее часто используемым логическим связкам относятся следующие. ^[2]

Отрицание (нет) : $\neg$ , $\sim$ , $N$ (префикс), в котором $\neg$ является наиболее современным и широко используемым, и $\sim$ также используется многими людьми;
Союз (и) : $\wedge$ , $\&$ , $K$ (префикс), в котором $\wedge$ является самым современным и широко используемым;
Дизъюнкция (или) : $\vee$ , $A$ (префикс), в котором $\vee$ является самым современным и широко используемым;
Вывод (если... то) : $\to$ , $\supset$ , $\Rightarrow$ , $C$ (префикс), в котором $\to$ является наиболее современным и широко используемым, и $\supset$ также используется многими людьми;
Эквивалентность (тогда и только если) : $\leftrightarrow$ , $\subset \!\!\!\supset$ , $\Leftrightarrow$ , $\equiv$ , $E$ (префикс), в котором $\leftrightarrow$ является наиболее современным и широко используемым, и $\subset \!\!\!\supset$ также может быть хорошим выбором по сравнению с $\supset$ обозначая импликацию так же, как $\leftrightarrow$ к $\to$ .

Например, смысл утверждений идет дождь (обозначается $p$ ) и я нахожусь в помещении (обозначается $q$ ) трансформируется, когда они сочетаются логическими связками:

Дождь не идет ( $\neg p$ );
Идет дождь , а я дома ( $p\wedge q$ );
Идет дождь или я дома ( $p\lor q$ );
Если идет дождь, то я в помещении( $p\rightarrow q$ );
Если я в помещении, то идет дождь( $q\rightarrow p$ );
Я нахожусь в помещении тогда и только тогда, когда идет дождь ( $p\leftrightarrow q$ ).

Также принято считать, что всегда истинная формула и всегда ложная формула являются связными (в этом случае они являются нулевыми ).

Верная формула: $\top$ , $1$ , $V$ (префикс) или $\mathrm {T}$ ;
Ложная формула: $\bot$ , $0$ , $O$ (префикс) или $\mathrm {F}$ .

В этой таблице обобщена терминология:

Соединительный	По-английски	Существительные для частей	Фразовый глагол
Соединение	Оба а и Б	соединение	А и Б соединены
Дизъюнкция	Либо А, либо Б, либо оба	дизъюнктный	А и Б разделены
Отрицание	Дело не в том, что А	отклонен	А отрицается
Условный	Если А, то Б	предшествующий, последующий	B подразумевается под A
двуусловный	А тогда и только тогда, когда Б	эквиваленты	A и B эквивалентны

История обозначений [ править ]

Отрицание: символ $\neg$ появился в Хейтинге в 1930 г. ^[3]^[4] (сравните с его символом ⫟ Фреге в Wortschrift ^[5]); символ $\sim$ появился у Рассела в 1908 году; ^[6] Альтернативное обозначение — добавить горизонтальную линию поверх формулы, как в ${\overline {p}}$ ; другое альтернативное обозначение - использовать простой символ, как в $p'$ .
Союз: символ $\wedge$ появился в Хейтинге в 1930 г. ^[3] (сравните с использованием Пеано теоретико-множественной записи пересечения $\cap$ ^[7]); символ $\&$ появился по крайней мере в Шёнфинкеле в 1924 году; ^[8] символ $\cdot$ происходит от интерпретации Буля логики как элементарной алгебры .
Дизъюнкция: символ $\vee$ появился у Рассела в 1908 году ^[6] (сравните с использованием Пеано теоретико-множественной записи объединения $\cup$ ); символ $+$ также используется, несмотря на двусмысленность, связанную с тем, что $+$ обычной элементарной алгебры является исключительным или при логической интерпретации в двухэлементном кольце ; пунктуально в истории $+$ вместе с точкой в правом нижнем углу использовал Пирс . ^[9]
Значение: символ $\to$ появился у Гильберта в 1918 году; ^[10]^: 76 $\supset$ использовался Расселом в 1908 году ^[6] (сравните с перевернутой C Пеано); $\Rightarrow$ появился у Бурбаки в 1954 году. ^[11]
Эквивалентность: символ $\equiv$ во Фреге в 1879 году; ^[12] $\leftrightarrow$ у Беккера в 1933 г. (не первый раз и об этом см. ниже); ^[13] $\Leftrightarrow$ появился у Бурбаки в 1954 году; ^[14] другие символы появлялись в истории регулярно, например, $\supset \subset$ в Генцене , ^[15] $\sim$ в Шенфинкеле ^[8] или $\subset \supset$ в Шазале, ^[16]
Правда: символ $1$ происходит из интерпретации Буля логики как элементарной алгебры над двухэлементной булевой алгеброй ; другие обозначения включают $\mathrm {V}$ (аббревиатура латинского слова «verum»), найденная в Пеано в 1889 году.
Ложь: символ $0$ происходит также из интерпретации Буля логики как кольца; другие обозначения включают $\Lambda$ (повернутый $\mathrm {V}$ ), найденный в Пеано в 1889 году.

Некоторые авторы использовали буквы в качестве связок: $\operatorname {u.}$ для союза (немецкое «und» означает «и») и $\operatorname {o.}$ для дизъюнкции (немецкое «одер» вместо «или») в ранних работах Гильберта (1904); ^[17] $Np$ для отрицания, $Kpq$ для соединения, $Dpq$ для альтернативного отрицания, $Apq$ для дизъюнкции, $Cpq$ для импликации, $Epq$ для бикондиционала у Лукасевича в 1929 году.

Избыточность [ править ]

Такая логическая связка, как обратная импликация » $\leftarrow$ «на самом деле то же самое, что и материальное условное выражение с замененными аргументами; таким образом, символ обратной импликации является избыточным. В некоторых логических исчислениях (особенно в классической логике ) некоторые существенно разные составные утверждения логически эквивалентны . Менее тривиальный пример избыточности является классической эквивалентностью между $\neg p\vee q$ и $p\to q$ . Следовательно, логическая система, основанная на классической логике, не нуждается в условном операторе « $\to$ " если " $\neg$ «(нет) и» $\vee$ " (или) уже используются или могут использовать " $\to$ «только как синтаксический сахар для сложного соединения, имеющего одно отрицание и одну дизъюнкцию.

Существует шестнадцать логических функций , связывающих входные значения истинности. $p$ и $q$ с четырехразрядными двоичными выходами. ^[18]Они соответствуют возможному выбору бинарных логических связок для классической логики . Различные реализации классической логики могут выбирать разные функционально полные подмножества связок.

Один из подходов состоит в том, чтобы выбрать минимальный набор и определить другие связки некоторой логической формой, как в примере с материальным условием выше. Ниже приведены минимальные функционально полные множества операторов классической логики, арность которых не превосходит 2:

Один элемент: $\{\uparrow \}$ , $\{\downarrow \}$ .
Два элемента: $\{\vee ,\neg \}$ , $\{\wedge ,\neg \}$ , $\{\to ,\neg \}$ , $\{\gets ,\neg \}$ , $\{\to ,\bot \}$ , $\{\gets ,\bot \}$ , $\{\to ,\nleftrightarrow \}$ , $\{\gets ,\nleftrightarrow \}$ , $\{\to ,\nrightarrow \}$ , $\{\to ,\nleftarrow \}$ , $\{\gets ,\nrightarrow \}$ , $\{\gets ,\nleftarrow \}$ , $\{\nrightarrow ,\neg \}$ , $\{\nleftarrow ,\neg \}$ , $\{\nrightarrow ,\top \}$ , $\{\nleftarrow ,\top \}$ , $\{\nrightarrow ,\leftrightarrow \}$ , $\{\nleftarrow ,\leftrightarrow \}$ .
Три элемента: $\{\lor ,\leftrightarrow ,\bot \}$ , $\{\lor ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}$ , $\{\lor ,\nleftrightarrow ,\top \}$ , $\{\land ,\leftrightarrow ,\bot \}$ , $\{\land ,\leftrightarrow ,\nleftrightarrow \}$ , $\{\land ,\nleftrightarrow ,\top \}$ .

Другой подход заключается в использовании равноправных связок определенного удобного и функционально полного, но не минимального набора. Этот подход требует большего количества пропозициональных аксиом , и каждая эквивалентность между логическими формами должна быть либо аксиомой , либо доказуемой как теорема.

ситуация сложнее Однако в интуиционистской логике . Из пяти связок, {∧, ∨, →, ¬, ⊥}, только отрицание «¬» можно свести к другим связкам ( см. Ложь (логика) § Ложь, отрицание и противоречие подробнее ). Ни союз, ни дизъюнкция, ни материальный кондиционал не имеют эквивалентной формы, построенной из четырех других логических связок.

Естественный язык [ править ]

Стандартные логические связки классической логики имеют грубые эквиваленты в грамматиках естественных языков. В английском языке , как и во многих языках, такие выражения обычно представляют собой грамматические союзы . Однако они также могут принимать форму дополнений , глаголов суффиксов и частиц . Обозначения связок естественного языка — основная тема исследований в формальной семантике — области, изучающей логическую структуру естественных языков.

Значения связок естественного языка не совсем идентичны их ближайшим эквивалентам в классической логике. В частности, дизъюнкция может получить исключительную интерпретацию во многих языках. Некоторые исследователи восприняли этот факт как свидетельство естественного семантики неклассичности языка . Однако другие придерживаются классической семантики, постулируя прагматические концепции исключительности, которые создают иллюзию неклассичности. В таких подходах исключительность обычно трактуется как скалярная импликация . Связанные с дизъюнкцией головоломки включают в себя выводы о свободном выборе , ограничение Херфорда и вклад дизъюнкции в альтернативные вопросы .

Другие очевидные несоответствия между естественным языком и классической логикой включают парадоксы материальной импликации , ослиную анафору и проблему контрфактических кондиционалов . Эти явления были приняты в качестве мотивации для отождествления обозначений условных предложений естественного языка с логическими операторами, включая строгие условные , переменно строгие условные , а также различные динамические операторы.

В следующей таблице показаны стандартные классически определяемые приближения для английских связок.

Английское слово	Соединительный	Символ	Логические ворота
нет	отрицание	$\neg$	НЕТ
и	соединение	$\wedge$	И
или	дизъюнкция	$\vee$	ИЛИ
если... тогда	материальный смысл	$\to$	ПОДРАЗУМЕВАТЬ
...если	обратная импликация	$\leftarrow$
либо... либо	исключительная дизъюнкция	$\oplus$	БЕСПЛАТНО
если и только если	двуусловный	$\leftrightarrow$	ИСНО-ИЛИ
не оба	альтернативное отрицание	$\uparrow$	NAND
ни ни	совместное отрицание	$\downarrow$	НИ
но нет	материальное отсутствие последствий	$\not \to$	ПРОСТОЙ

Свойства [ править ]

Некоторые логические связки обладают свойствами, которые могут быть выражены в теоремах, содержащих эту связку. Вот некоторые из тех свойств, которыми может обладать логическая связка:

Ассоциативность: Внутри выражения, содержащего две или более одинаковых ассоциативных связок подряд, порядок операций не имеет значения, пока не изменяется последовательность операндов.
Коммутативность: Операнды связки можно менять местами, сохраняя логическую эквивалентность исходному выражению.
Дистрибутивность: Связка, обозначенная ·, распределяется по другой связке, обозначенной +, если $a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$ для всех операндов $a$ , $b$ , $c$ .
Идемпотентность: Если операнды операции одинаковы, соединение логически эквивалентно операнду.
Поглощение: Пара связок ∧, ∨ удовлетворяет закону поглощения, если $a\land (a\lor b)=a$ для всех операндов $a$ , $b$ .
Монотонность: Если f ( a ₁ , ..., a _n ) ≤ f ( b ₁ , ..., b _n ) для всех a ₁ , ..., a _n , b ₁ , ..., b _n ∈ {0 ,1} такой, что 1 _≤ b 1 _, a 2 _≤ b 2 _, ..., a _n ≤ bn _a . Например, ∨, ∧, ⊤, ⊥.
Близость: Каждая переменная всегда влияет на истинное значение операции или никогда не влияет. Например, ¬, ↔, $\nleftrightarrow$ , ⊤, ⊥.
Двойственность: Прочитать истинностные присвоения для операции сверху вниз по ее таблице истинности - это то же самое, что взять дополнение чтения таблицы той же или другой связки снизу вверх. Не прибегая к таблицам истинности, его можно сформулировать как $g̃ (\neg a 1, ..., \neg a n) = \neg g (a 1, ..., an n)$ . Например, ¬.
Сохраняющий истину: То, что все эти аргументы являются тавтологиями, само по себе является тавтологией. Например, ∨, ∧, ⊤, →, ↔, ⊂ (см. достоверность ).
Сохраняющий ложь: Соединение всех этих аргументов является противоречием само по себе. Например, ∨, ∧, $\nleftrightarrow$ , ⊥, ⊄, ⊅ (см. справедливость ).
Инволютивность (для одинарных связок): $ж (ж (а)) знак равно а$ . Например, отрицание в классической логике.

Для классической и интуиционистской логики символ «=" означает, что соответствующие импликации «...→...» и «... ←...» для логических соединений могут быть доказаны как в виде теорем, так и символ «≤» означает, что «...→...» для логических соединений является следствием соответствующих связок «...→...» для пропозициональных переменных. Некоторые многозначные логики могут иметь несовместимые определения эквивалентности и порядка (следствия).

И конъюнкция, и дизъюнкция ассоциативны, коммутативны и идемпотентны в классической логике, большинстве разновидностей многозначной логики и интуиционистской логики. То же самое относится и к дистрибутивности конъюнкции над дизъюнкцией и дизъюнкции над конъюнкцией, а также к закону поглощения.

В классической логике и некоторых разновидностях многозначной логики конъюнкция и дизъюнкция двойственны, а отрицание самодвойственно, последнее самодвойственно и в интуиционистской логике.

Порядок приоритета [ править ]

Чтобы уменьшить количество необходимых круглых скобок, можно ввести правила приоритета : ¬ имеет более высокий приоритет, чем ∧, ∧ выше, чем ∨, и ∨ выше, чем →. Так, например, $P\vee Q\wedge {\neg R}\rightarrow S$ это сокращение от $(P\vee (Q\wedge (\neg R)))\rightarrow S$ .

Вот таблица, показывающая часто используемый приоритет логических операторов. ^[19]^[20]

Оператор	Приоритет
$\neg$	1
$\land$	2
$\lor$	3
$\to$	4
$\leftrightarrow$	5

Однако не все компиляторы используют один и тот же порядок; например, также использовался порядок, при котором дизъюнкция имеет более низкий приоритет, чем импликация или би-импликация. ^[21]Иногда приоритет между конъюнкцией и дизъюнкцией не указан, поэтому в данной формуле его необходимо указывать явно в скобках. Порядок старшинства определяет, какая связка является «основной» при интерпретации неатомарной формулы.

Таблица и диаграмма Хассе [ править ]

16 логических связок можно частично упорядочить , чтобы получить следующую диаграмму Хассе . Частичный порядок определяется заявлением, что $x\leq y$ тогда и только тогда, когда когда-либо $x$ держится, то так же $y.$

Приложения [ править ]

Логические связки используются в информатике и в теории множеств .

Информатика [ править ]

Истинно-функциональный подход к логическим операторам реализуется в виде логических элементов в цифровых схемах . Практически все цифровые схемы (основное исключение — DRAM ) построены из И-НЕ , ИЛИ- НЕ , НЕ и передающих вентилей ; Более подробную информацию см. в разделе « Функция истины в информатике» . Логические операторы над битовыми векторами (соответствующие конечным булевым алгебрам ) являются побитовыми операциями .

Но не каждое использование логической связки в компьютерном программировании имеет булевую семантику. Например, ленивое вычисление иногда реализуется для $P \land Q$ и $P \lor Q$ , поэтому эти связки не являются коммутативными, если одно или оба выражения $P$ , $Q$ имеют побочные эффекты . Кроме того, условная связка , которая в некотором смысле соответствует материальной условной связке, по существу не является булевой, поскольку для if (P) then Q;, консеквент Q не выполняется, если антецедент P ложен (хотя соединение в целом является успешным ≈ «истина» в таком случае). Это ближе к интуиционистским и конструктивистским взглядам на материальное условное, а не к взглядам классической логики.

Теория множеств [ править ]

Логические связки используются для определения фундаментальных операций теории множеств . ^[22] следующее:

Операции и связки теории множеств
Установить операцию	Соединительный	Определение
Пересечение	Соединение	$A\cap B=\{x:x\in A\land x\in B\}$ ^[23]^[24]^[25]
Союз	Дизъюнкция	$A\cup B=\{x:x\in A\lor x\in B\}$ ^[26]^[23]^[24]
Дополнить	Отрицание	${\overline {A}}=\{x:x\notin A\}$ ^[27]^[24]^[28]
Подмножество	Импликация	$A\subseteq B\leftrightarrow (x\in A\rightarrow x\in B)$ ^[29]^[24]^[30]
Равенство	двуусловный	$A=B\leftrightarrow (\forall X)[A\in X\leftrightarrow B\in X]$ ^[29]^[24]^[31]

Это определение равенства множеств эквивалентно аксиоме экстенсиональности .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Зубчатое колесо. «В чем разница между логическим и условным /оператором/» . Переполнение стека . Проверено 9 апреля 2015 г.
^ Чао, К. (2023). Математическая логика: применение метода формализации [ Математическая логика: применение метода формализации ] (на китайском языке: Препринт, стр. 15–28).
^ Перейти обратно: ^а ^б Хейтинг, А. (1930). «Формальные правила интуиционистской логики». Протоколы заседаний Прусской академии наук, физико-математический класс (на немецком языке): 42–56.
^ Денис Рогель (2002), Краткий обзор логических обозначений XX века (см. таблицу на стр. 2).
^ Фреге, Г. (1879). Концептуальное письмо — формульный язык чистого мышления, созданный по образцу арифметики . Halle a/S: Издательство Louis Nebert. п. 10.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Рассел (1908) Математическая логика, основанная на теории типов (American Journal of Mathematics 30, стр. 222–262, также в книге «От Фреге до Гёделя» под редакцией ван Хейеноорта).
^ Пеано (1889) Арифметические принципы, изложенные новым методом .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шенфинкель (1924) «О строительных блоках математической логики» , переведенный как « О строительных блоках математической логики» в книге «От Фреге к Гёделю» под редакцией ван Хейеноорта.
^ Пирс (1867) Об улучшении логического исчисления Буля.
^ Гильберт, Д. (1918). Бернейс, П. (ред.). Принципы математики . Конспекты лекций в Геттингенском университете, зимний семестр, 1917–1918 гг .; Перепечатано как Гильберт, Д. (2013). «Принципы математики». В Эвальде, В.; Зиг, В. (ред.). Лекции Дэвида Гильберта по основам арифметики и логики 1917–1933 гг . Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт и Лондон: Springer. стр. 59–221.
^ Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств . Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 14.
^ Фреге, Г. (1879). Концептуальное письмо, формульный язык чистого мышления, созданный по образцу арифметики (на немецком языке). Halle a/S: Издательство Louis Nebert. п. 15.
^ Беккер, А. (1933). Аристотелевская теория возможных замков: логико-филологическое исследование глав 13–22 «Analytica Priora I» Аристотеля (на немецком языке). Берлин: Юнкер и Dünnhaupt Verlag. п. 4.
^ Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств (на французском языке). Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 32.
^ Генцен (1934) Исследования логических рассуждений .
^ Чазал (1996): Элементы формальной логики.
^ Гильберт, Д. (1905) [1904]. «Об основах логики и арифметики». В Кразере, К. (ред.). Материалы Третьего международного конгресса математиков в Гейдельберге с 8 по 13 августа 1904 года . стр. 174–185.
^ Боченский (1959), Краткое изложение математической логики , passim.
^ О'Доннелл, Джон; Холл, Корделия; Пейдж, Рекс (2007), Дискретная математика с использованием компьютера , Springer, с. 120, ISBN 9781846285981 .
^ Аллен, Колин; Хэнд, Майкл (2022). Букварь по логике (3-е изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-54364-4 .
^ Джексон, Дэниел (2012), Абстракции программного обеспечения: логика, язык и анализ , MIT Press, стр. 263, ISBN 9780262017152 .
^ Пинтер, Чарльз К. (2014). Книга по теории множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 26–29. ISBN 978-0-486-49708-2 .
^ Перейти обратно: ^а ^б «Набор операций» . www.siue.edu . Проверено 11 июня 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это «1.5 Логика и множества» . www.whitman.edu . Проверено 11 июня 2024 г.
^ «Теоретический набор» . Mirror.clarkson.edu . Проверено 11 июня 2024 г.
^ «Установить включение и отношения» . autry.sites.grinnell.edu . Проверено 11 июня 2024 г.
^ «Дополните и установите разницу» . web.mnstate.edu . Проверено 11 июня 2024 г.
^ Купер, А. «Операции над множествами и их подмножествами – основы математики» . Проверено 11 июня 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б "Базовые концепты" . www.siue.edu . Проверено 11 июня 2024 г.
^ Купер, А. «Операции над множествами и их подмножествами – основы математики» . Проверено 11 июня 2024 г.
^ Купер, А. «Операции над множествами и их подмножествами – основы математики» . Проверено 11 июня 2024 г.

Источники [ править ]

Боченский, Юзеф Мария (1959), Краткое описание математической логики , перевод с французского и немецкого изданий Отто Берда, Д. Рейделя, Дордрехт, Южная Голландия.
Чао, К. (2023). Математическая логика: применение метода формализации [ Математическая логика: применение метода формализации ] (на китайском языке: Препринт, стр. 15–28).
Эндертон, Герберт (2001), Математическое введение в логику (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Academic Press, ISBN 978-0-12-238452-3
Гамут, LTF (1991), «Глава 2», Логика, язык и значение , том. 1, University of Chicago Press, стр. 54–64, OCLC 21372380.
Раутенберг, В. (2010), Краткое введение в математическую логику (3-е изд.), Нью-Йорк : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6 .
Хамберстон, Ллойд (2011). Соединения . МТИ Пресс. ISBN 978-0-262-01654-4 .

Внешние ссылки [ править ]

«Пропозициональная связка» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Ллойд Хамберстон (2010), « Связки предложений в формальной логике », Стэнфордская энциклопедия философии ( абстрактный алгебраический логический подход к связкам.)
Джон Макфарлейн (2005), « Логические константы », Стэнфордская энциклопедия философии .

[1] Зубчатое колесо. «В чем разница между логическим и условным /оператором/» . Переполнение стека . Проверено 9 апреля 2015 г.

[chao2023-2] Чао, К. (2023). Математическая логика: применение метода формализации [ Математическая логика: применение метода формализации ] (на китайском языке: Препринт, стр. 15–28).

[heyting1930-3] Перейти обратно: ^а ^б Хейтинг, А. (1930). «Формальные правила интуиционистской логики». Протоколы заседаний Прусской академии наук, физико-математический класс (на немецком языке): 42–56.

[4] Денис Рогель (2002), Краткий обзор логических обозначений XX века (см. таблицу на стр. 2).

[frege1879a-5] Фреге, Г. (1879). Концептуальное письмо — формульный язык чистого мышления, созданный по образцу арифметики . Halle a/S: Издательство Louis Nebert. п. 10.

[autogenerated222-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с Рассел (1908) Математическая логика, основанная на теории типов (American Journal of Mathematics 30, стр. 222–262, также в книге «От Фреге до Гёделя» под редакцией ван Хейеноорта).

[7] Пеано (1889) Арифметические принципы, изложенные новым методом .

[autogenerated1924-8] Перейти обратно: ^а ^б Шенфинкель (1924) «О строительных блоках математической логики» , переведенный как « О строительных блоках математической логики» в книге «От Фреге к Гёделю» под редакцией ван Хейеноорта.

[9] Пирс (1867) Об улучшении логического исчисления Буля.

[hilbert1918-10] Гильберт, Д. (1918). Бернейс, П. (ред.). Принципы математики . Конспекты лекций в Геттингенском университете, зимний семестр, 1917–1918 гг .; Перепечатано как Гильберт, Д. (2013). «Принципы математики». В Эвальде, В.; Зиг, В. (ред.). Лекции Дэвида Гильберта по основам арифметики и логики 1917–1933 гг . Гейдельберг, Нью-Йорк, Дордрехт и Лондон: Springer. стр. 59–221.

[bourbaki1954a-11] Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств . Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 14.

[frege1879b-12] Фреге, Г. (1879). Концептуальное письмо, формульный язык чистого мышления, созданный по образцу арифметики (на немецком языке). Halle a/S: Издательство Louis Nebert. п. 15.

[becker1933-13] Беккер, А. (1933). Аристотелевская теория возможных замков: логико-филологическое исследование глав 13–22 «Analytica Priora I» Аристотеля (на немецком языке). Берлин: Юнкер и Dünnhaupt Verlag. п. 4.

[bourbaki1954b-14] Бурбаки, Н. (1954). Теория множеств (на французском языке). Париж: Hermann & Cie, Издательство. п. 32.

[15] Генцен (1934) Исследования логических рассуждений .

[16] Чазал (1996): Элементы формальной логики.

[hilbert1904-17] Гильберт, Д. (1905) [1904]. «Об основах логики и арифметики». В Кразере, К. (ред.). Материалы Третьего международного конгресса математиков в Гейдельберге с 8 по 13 августа 1904 года . стр. 174–185.

[18] Боченский (1959), Краткое изложение математической логики , passim.

[19] О'Доннелл, Джон; Холл, Корделия; Пейдж, Рекс (2007), Дискретная математика с использованием компьютера , Springer, с. 120, ISBN 9781846285981 .

[:35-20] Аллен, Колин; Хэнд, Майкл (2022). Букварь по логике (3-е изд.). Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 978-0-262-54364-4 .

[21] Джексон, Дэниел (2012), Абстракции программного обеспечения: логика, язык и анализ , MIT Press, стр. 263, ISBN 9780262017152 .

[22] Пинтер, Чарльз К. (2014). Книга по теории множеств . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 26–29. ISBN 978-0-486-49708-2 .

[:0-23] Перейти обратно: ^а ^б «Набор операций» . www.siue.edu . Проверено 11 июня 2024 г.

[:1-24] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это «1.5 Логика и множества» . www.whitman.edu . Проверено 11 июня 2024 г.

[25] «Теоретический набор» . Mirror.clarkson.edu . Проверено 11 июня 2024 г.

[26] «Установить включение и отношения» . autry.sites.grinnell.edu . Проверено 11 июня 2024 г.

[27] «Дополните и установите разницу» . web.mnstate.edu . Проверено 11 июня 2024 г.

[28] Купер, А. «Операции над множествами и их подмножествами – основы математики» . Проверено 11 июня 2024 г.

[:2-29] Перейти обратно: ^а ^б "Базовые концепты" . www.siue.edu . Проверено 11 июня 2024 г.

[30] Купер, А. «Операции над множествами и их подмножествами – основы математики» . Проверено 11 июня 2024 г.

[31] Купер, А. «Операции над множествами и их подмножествами – основы математики» . Проверено 11 июня 2024 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

Символ, имя		Правда стол
Нулевые связки (константы)
⊤	Истина / тавтология				1
⊥	Ложь / противоречие				0
Унарные связки
		$p$ =	0		1
	Предложение $p$		0		1
¬	Отрицание		1		0
Бинарные связки
		$p$ =	0		1
		$q$ =	0	1	0	1
	Предложение $p$		0	0	1	1
	Предложение $q$		0	1	0	1
∧	Соединение		0	0	0	1
↑	Альтернативное отрицание		1	1	1	0
∨	Дизъюнкция		0	1	1	1
↓	Совместное отрицание		1	0	0	0
→	Материал условный		1	1	0	1
$\nleftrightarrow$	Эксклюзивный или		0	1	1	0
↔	двуусловный		1	0	0	1
←	Обратная импликация		1	0	1	1
Больше информации

v т Это Общие логические связи
Tautology/True $\top$
Alternative denial (NAND gate) $\uparrow$ Converse implication $\leftarrow$ Implication (IMPLY gate) $\rightarrow$ Disjunction (OR gate) $\lor$
Negation (NOT gate) $\neg$ Exclusive or (XOR gate) $\not \leftrightarrow$ Biconditional (XNOR gate) $\leftrightarrow$ Statement (Digital buffer)
Joint denial (NOR gate) $\downarrow$ Nonimplication (NIMPLY gate) $\nrightarrow$ Converse nonimplication $\nleftarrow$ Conjunction (AND gate) $\land$
Contradiction/False $\bot$
Philosophy portal