Абстрактная алгебраическая логика

В математической логике абстрактная алгебраическая логика — это исследование алгебризации дедуктивных систем. возникающая как абстракция известной алгебры Линденбаума–Тарского , и то, как полученные алгебры связаны с логическими системами. ^[1]

История

Архетипической ассоциацией такого рода, фундаментальной для исторических истоков алгебраической логики и лежащей в основе всех впоследствии разработанных субтеорий, является ассоциация между классом булевых алгебр и классическим исчислением высказываний . Эта ассоциация была открыта Джорджем Булем в 1850-х годах, а затем развита и уточнена другими, особенно К.С. Пирсом и Эрнстом Шредером , с 1870-х по 1890-е годы. Кульминацией этой работы стали алгебры Линденбаума-Тарского , разработанные Альфредом Тарским и его учеником Адольфом Линденбаумом в 1930-х годах. Позже Тарский и его американские ученики (в число которых входит Дон Пигоцци) открыли цилиндрическую алгебру , представимые экземпляры которой алгебраизуют всю классическую логику первого порядка , и возродили алгебру отношений , модели которой включают все известные аксиоматические теории множеств .

Классическая алгебраическая логика, которая включает в себя все работы в области алгебраической логики примерно до 1960 года, изучала свойства конкретных классов алгебр, используемых для «алгебраизации» конкретных логических систем, представляющих особый интерес для конкретных логических исследований. Как правило, алгебра, связанная с логической системой, оказалась разновидностью решетки , возможно, обогащенной одной или несколькими унарными операциями, отличными от дополнения решетки .

Абстрактная алгебраическая логика — это современная область алгебраической логики, возникшая в Польше в 1950-х и 60-х годах благодаря работам Хелены Расёвой , Романа Сикорского , Ежи Лося и Романа Сушко (и это лишь некоторые из них). Она достигла зрелости в 1980-х годах благодаря плодотворным публикациям польского логика Януша Челаковского , голландского логика Вима Блока и американского логика Дона Пигоцци . Фокус абстрактной алгебраической логики сместился с изучения конкретных классов алгебр, связанных с конкретными логическими системами (фокус классической алгебраической логики), к изучению:

Классы алгебр, связанные с классами логических систем, все члены которых удовлетворяют определенным абстрактным логическим свойствам;
Процесс, посредством которого класс алгебр становится «алгебраическим аналогом» данной логической системы;
Связь между металогическими свойствами, которым удовлетворяет класс логических систем, и соответствующими алгебраическими свойствами, которым удовлетворяют их алгебраические аналоги.

Переход от классической алгебраической логики к абстрактной алгебраической логике можно сравнить с переходом от «современной» или абстрактной алгебры (т. е. изучения групп , колец , модулей , полей и т. д.) к универсальной алгебре (изучение классов алгебр произвольных типов подобия (алгебраических сигнатур ), удовлетворяющих определенным абстрактным свойствам).

Два основных мотива развития абстрактной алгебраической логики тесно связаны с (1) и (3), приведенными выше. Что касается (1), решающий шаг на пути перехода был инициирован работой Расиовой. Ее целью было абстрагировать результаты и методы, которые, как известно, применимы к классическому исчислению высказываний , булевым алгебрам и некоторым другим тесно связанным логическим системам, таким образом, чтобы эти результаты и методы можно было применять к гораздо более широкому разнообразию логик высказываний.

(3) во многом обязан совместной работе Блока и Пигоцци, исследующей различные формы, которые известная теорема дедукции классического исчисления высказываний и логики первого порядка принимает в самых разных логических системах. Они связали эти различные формы теоремы дедукции со свойствами алгебраических аналогов этих логических систем.

Абстрактная алгебраическая логика стала хорошо зарекомендовавшей себя подобластью алгебраической логики со многими глубокими и интересными результатами. Эти результаты объясняют многие свойства различных классов логических систем, ранее объяснявшиеся лишь на индивидуальной основе или окутанные тайной. Возможно, самым важным достижением абстрактной алгебраической логики стала классификация пропозициональных логик в иерархии , называемой абстрактной алгебраической иерархией или иерархией Лейбница, различные уровни которой примерно отражают силу связей между логикой на определенном уровне и связанным с ней классом. алгебр. Положение логики в этой иерархии определяет степень, в которой эта логика может быть изучена с использованием известных алгебраических методов и приемов. Приписав логику к уровню этой иерархии, можно воспользоваться мощным арсеналом результатов, накопленным за последние 30 с лишним лет, по алгебрам, расположенным на том же уровне иерархии.

Похожие термины «общая алгебраическая логика» и «универсальная алгебраическая логика» относятся к подходу венгерской школы, включая Хайнала Андреку , Иштвана Немети и других.

Примеры

Логическая система	Алгебраический аналог
Классическая пропозициональная логика	Булевы алгебры
Интуиционистская пропозициональная логика	Гейтинговые алгебры
Пропозициональная модальная логика	Булевы алгебры с операторами Модальные алгебры
Логика первого порядка	Цилиндрические алгебры Полиадические алгебры Логика функтора предикатов
Теория множеств	Комбинаторная логика Алгебра отношений Булева алгебра

См. также

Примечания

^ Шрифт, 2003.

Ссылки

Блок В., Пигоцци Д., 1989. Алгебраизуемые логики . Воспоминания АМН, 77(396). Пигоцци. Также доступно для загрузки с домашней страницы
Челаковски Дж., 2001. Протоалгебраическая логика . Умный. ISBN 0-7923-6940-8 . Считается «отличным и очень читабельным введением в область абстрактной алгебраической логики» по версии журнала Mathematical Reviews.
Челаковски Дж. (редактор), 2018 г., Дон Пигоцци об абстрактной алгебраической логике, универсальной алгебре и информатике , «Выдающийся вклад в логику», том 16, Springer International Publishing, ISBN 978-3-319-74772-9
Фонт, Дж. М., 2003. Представление абстрактной алгебраической логики некоторых многозначных логик . В М. Фиттинге и Э. Орловской (ред.), «За пределами двух: теория и приложения многозначной логики» , Springer-Verlag, стр. 25–57.
Фонт, Дж. М., Янсана, Р., 1996. Общая алгебраическая семантика для логики предложений . Конспекты лекций по Logic 7, Springer-Verlag. (2-е издание опубликовано ASL в 2009 г.) Также открыт доступ в Project Euclid.
-------- и Пигоцци Д., 2003, Обзор абстрактной алгебраической логики , Studia Logica 74 : 13-79.
Рышард Войчицкий (1988). Теория логических исчислений: основы теории следственных операций . Спрингер. ISBN 978-90-277-2785-5 .
Андрека Х., Немети И.: Общая алгебраическая логика: взгляд на то, «что такое логика» , в Д. Габбай (ред.): Что такое логическая система? , Clarendon Press, 1994, стр. 485–569.
Д. Пигоцци (2001). «Абстрактная алгебраическая логика». В М. Хазевинкеле (ред.). Математическая энциклопедия: Приложение, том III . Спрингер. стр. 2–13. ISBN 1-4020-0198-3 . онлайн на «Абстрактная алгебраическая логика» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

Стэнфордская энциклопедия философии : « Алгебраическая логика высказываний » — Рамон Джансана.

[1] Шрифт, 2003.

[1]