Иерархия (математика)

В математике иерархия определенного — это теоретико-множественный объект, состоящий из предпорядка, на множестве . Его часто называют упорядоченным набором , хотя это неоднозначный термин, который многие авторы оставляют для частично упорядоченных или полностью упорядоченных наборов . Термин « предварительно упорядоченный набор» однозначен и всегда является синонимом математической иерархии. Термин «иерархия» используется, чтобы подчеркнуть иерархические отношения между элементами.

Иногда набор имеет естественную иерархическую структуру. Например, набор натуральных чисел N оснащен натуральной структурой предзаказа, где $n\leq n'$ всякий раз, когда мы можем найти какое-то другое число $m$ так что $n+m=n'$ . То есть, $n'$ больше, чем $n$ только потому, что мы можем добраться до $n'$ от $n$ с использованием $m$ . Эту идею можно применить к любому коммутативному моноиду . С другой стороны, набор целых чисел Z требует более сложных аргументов в пользу своей иерархической структуры, поскольку мы всегда можем решить уравнение $n+m=n'$ написав $m=(n'-n)$ . ^{[ нужна ссылка ]}

Математичную иерархию (предварительно упорядоченный набор) не следует путать с более общей концепцией иерархии в социальной сфере, особенно когда кто-то строит вычислительные модели, которые используются для описания социальных, экономических или политических систем реального мира. Эти иерархии или сложные сети слишком богаты, чтобы их можно было описать в категории «Набор множеств». ^[1] Это не просто педантичное утверждение; существуют также математические иерархии в общем смысле, которые невозможно описать с помощью теории множеств. ^{[ нужна ссылка ]}

Другие естественные иерархии возникают в информатике , где это слово относится к частично упорядоченным множествам , элементами которых являются классы объектов возрастающей сложности . В этом случае предварительным порядком, определяющим иерархию, является отношение содержания класса. Таким образом, иерархии включения являются особыми случаями иерархий.

Сопутствующая терминология

Отдельные элементы иерархии часто называют уровнями , и иерархию называют бесконечной, если она имеет бесконечно много различных уровней, но говорят, что она разрушается , если она имеет только конечное число различных уровней.

Пример

В теоретической информатике временная иерархия представляет собой классификацию задач решения по количеству времени, необходимого для их решения.

См. также

Темы, связанные с деревом:

Эффективные иерархии сложности :

Неэффективные иерархии сложности:

В теории множеств или логике:

Ссылки

^ побольше Возможно, нам понадобится топос .

Эта теории множеств статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] побольше Возможно, нам понадобится топос .

[1]