Моноид

Для моноидных объектов в теории категорий см. Моноид (теория категорий) .

Не путать с Монадой .

Алгебраические структуры между магмами и группами . Например, моноиды — это полугруппы с единицей.

В абстрактной алгебре , разделе математики , моноид — это множество, снабженное ассоциативной бинарной операцией и единичным элементом . Например, неотрицательные целые числа после сложения образуют моноид, единичный элемент которого равен 0 .

Моноиды — это полугруппы с единицей. Такие алгебраические структуры встречаются в нескольких разделах математики.

Функции из множества в себя образуют моноид относительно композиции функций. В более общем смысле, в теории категорий морфизмы объекта самому себе образуют моноид, и, наоборот, моноид можно рассматривать как категорию с одним объектом.

В информатике и компьютерном программировании набор строк, построенный из заданного набора символов, представляет собой свободный моноид . Моноиды переходов и синтаксические моноиды используются при описании конечных автоматов . Моноиды трассировки и моноиды истории обеспечивают основу для вычислений процессов и параллельных вычислений .

В теоретической информатике изучение моноидов является фундаментальным для теории автоматов ( теория Крона–Родса ) и теории формального языка ( проблема высоты звезды ).

См. полугруппу , чтобы узнать об истории предмета и некоторых других общих свойствах моноидов.

Определение

Множество оснащенное S, бинарной операцией S × S → S , которую мы обозначим • , является моноидом , если оно удовлетворяет следующим двум аксиомам:

Ассоциативность

Для всех a , b и c в S справедливо уравнение ( a • b ) • c = a • ( b • c ) .

Элемент идентификации

Существует элемент e в S такой, что для каждого элемента a в S выполняются равенства e • a = a и a • e = a .

Другими словами, моноид — это полугруппа с единицей . Ее также можно рассматривать как магму, обладающую ассоциативностью и идентичностью. Единичный элемент моноида уникален. По этой причине тождество рассматривается как константа , т.е. 0 -арная (или нулевая) операция. Таким образом, моноид характеризуется спецификацией тройки ( S , •, e ) .

В зависимости от контекста символ бинарной операции может быть опущен, так что операция обозначается сопоставлением ; например, аксиомы моноида могут быть записаны ( ab ) c = a ( bc ) и ea = ae = a . Это обозначение не означает, что речь идет об умножении чисел.

Моноид, в котором каждый элемент имеет обратный, является группой .

Моноидные структуры

Субмоноиды

Субмоноид подмножество моноида ( M , •) — это N из M , замкнутое относительно операции моноида и содержащее единичный элемент e из M . Символически N является субмоноидом M, если e ∈ N ⊆ M и x • y ∈ N всякий раз, x , y ∈ N. когда В этом случае N является моноидом относительно бинарной операции, унаследованной от M .

С другой стороны, если N является подмножеством моноида, замкнутого относительно операции моноида, и является моноидом для этой унаследованной операции, то N не всегда является субмоноидом, поскольку единичные элементы могут различаться. Например, одноэлементное множество {0} замкнуто при умножении и не является субмоноидом (мультипликативного) моноида неотрицательных целых чисел .

Генераторы

подмножество S множества M Говорят, что порождает M , если наименьший подмоноид M , содержащий S, есть M . Если существует конечное множество, порождающее M , то M называется конечно порожденным моноидом .

Коммутативный моноид

Моноид, операция которого коммутативна, называется коммутативным моноидом (или, реже, абелевым моноидом ). Коммутативные моноиды часто записываются аддитивно. Любой коммутативный моноид наделен своим алгебраическим предварительным порядком ≤ , определяемым x ≤ y , если существует z такой, что x + z = y . Порядковая единица коммутативного моноида M — это элемент u из M такой, что для любого элемента x из M существует v в множестве, порожденном u, такой, что x ⩽ v . Это часто используется в случае, если M — положительный конус G частично упорядоченной абелевой группы , в этом случае мы говорим, что u — единица порядка G. и

Частично

Моноид, для которого операция коммутативна для некоторых, но не для всех элементов, является моноидом следа ; Моноиды трасс обычно встречаются в теории параллельных вычислений .

Примеры

• Из 16 возможных бинарных логических операторов четыре имеют двустороннюю идентичность, которая также является коммутативной и ассоциативной. Каждый из этих четырех делает набор {False, True} коммутативным моноидом. Согласно стандартным определениям, AND и XNOR имеют идентификатор True , а XOR и OR имеют идентификатор False . Моноиды от AND и OR также идемпотентны , а моноиды от XOR и XNOR — нет.
• Множество натуральных чисел N = {0, 1, 2, ...} является коммутативным моноидом при сложении (единичный элемент 0 ) или умножении (единичный элемент 1 ). Субмоноид числа N при сложении называется числовым моноидом .
• Множество натуральных чисел N ∖ {0} является коммутативным моноидом относительно умножения (единичный элемент 1 ).
• Учитывая набор A , набор подмножеств A является коммутативным моноидом при пересечении (единичный элемент - это сам A ).
• Учитывая набор A , набор подмножеств A является коммутативным моноидом при объединении (единичный элемент - это пустое множество ).
• Обобщая предыдущий пример, каждая ограниченная полурешетка является идемпотентным коммутативным моноидом.
  • В частности, любая ограниченная решетка может иметь как структуру моноида , так и структуру соединения . Элементами идентичности являются верх и низ решетки соответственно. Будучи решетками, гейтинговы алгебры и булевы алгебры наделены этими моноидными структурами.
• Каждое одноэлементное множество { x }, замкнутое относительно бинарной операции, • образует тривиальный (одноэлементный) моноид, который также является тривиальной группой .
• Каждая группа является моноидом, а каждая абелева группа — коммутативным моноидом.
• Любую полугруппу S можно превратить в моноид, просто присоединив элемент e, не входящий в S , и определив e • s = s = s • e для всех s ∈ S . Это преобразование любой полугруппы в моноид осуществляется свободным функтором между категорией полугрупп и категорией моноидов.
  • Таким образом, идемпотентный моноид (иногда известный как -first ) может быть сформирован путем присоединения единичного элемента e к левой нулевой полугруппе над множеством S. find Противоположный моноид (иногда называемый find-last формируется из полугруппы правых нулей над S. )
    • Присоедините тождество e к полугруппе левых нулей с двумя элементами {lt, gt} . Затем полученный идемпотентный моноид {lt, e , gt} моделирует лексикографический порядок последовательности с учетом порядков ее элементов, где e представляет равенство.
• Базовый набор любого кольца с операцией сложения или умножения. (По определению кольцо имеет мультипликативное тождество 1. )
  • , Целые числа рациональные числа , действительные числа или комплексные числа со сложением или умножением в качестве операции.
  • Набор всех размера n на n матриц в заданном кольце со сложением или умножением матриц в качестве операции.
• Множество всех конечных строк в некотором фиксированном алфавите Σ образует моноид с конкатенации строк операцией служит . Пустая строка элементом идентификации. Этот моноид обозначается Σ ^∗ и называется свободным моноидом над Σ . Оно не коммутативно, если Σ имеет хотя бы два элемента.
• Для любого моноида M моноид противоположный M ^на имеет тот же набор несущих и идентификационный элемент, что и M , и его работа определяется x • ^на y знак равно y • Икс . Любой коммутативный моноид является противоположным себе моноидом.
• Учитывая два множества M и N, наделенные структурой моноида (или, вообще говоря, любое конечное число моноидов, M ₁ , ..., M _k ), их декартово произведение M × N с бинарной операцией и единичным элементом, определенными на соответствующих координат, называемое прямым произведением , также является моноидом (соответственно M ₁ × ⋅⋅⋅ × M _k ).
• Зафиксируйте моноид M . Множество всех функций из данного множества до M также является моноидом. Элемент идентификации — это постоянная функция, сопоставляющая любое значение с идентификатором M ; ассоциативная операция определяется поточечно .
• Зафиксируйте моноид M с операцией • и единичным элементом и рассмотрим его степенное множество P ( M ), из всех подмножеств M. e состоящее Бинарная операция для таких подмножеств может быть определена как S • T = { s • t : s ∈ S , t ∈ T } . Это превращает P ( M ) в моноид с единичным элементом { e } . Точно так же степенное множество группы G является моноидом относительно произведения групповых подмножеств .
• Пусть S — множество. Множество всех функций S → S образует моноид при композиции функций . Идентичность — это просто функция тождества . также называют полным моноидом преобразования S Его . Если S конечна с n элементами, моноид функций на S конечен с n ^н элементы.
• Обобщая предыдущий пример, пусть C — категория , а X объект C. — Множество всех эндоморфизмов X End , обозначенное композиции _C ( X ) , образует моноид относительно морфизмов . Дополнительную информацию о взаимосвязи между теорией категорий и моноидами см. ниже.
• Множество гомеоморфизма классов компактных поверхностей со связной суммой . Ее единичным элементом является класс обычной 2-сферы. Кроме того, если a обозначает класс тора , а b обозначает класс проективной плоскости, то каждый элемент c моноида имеет уникальное выражение вида c = na + mb, где n — положительное целое число и m = 0, 1 или 2 . У нас есть 3 b = a + b .
• Пусть ⟨ f ⟩ — циклический моноид порядка n , то есть ⟨ f ⟩ = { f ⁰ , ж ¹ , ..., ж ^{п -1} } . Тогда f ^н = е ^к для некоторого 0 ≤ k < n . Фактически, каждый такой k дает отдельный моноид порядка n , и каждый циклический моноид изоморфен одному из них.
  Более того, f можно рассматривать как функцию в точках {0, 1, 2, ..., n −1}, заданную формулой

$${\begin{bmatrix}0&1&2&\cdots &n-2&n-1\\1&2&3&\cdots &n-1&k\end{bmatrix}}$$

или, что то же самое

$$f(i):={\begin{cases}i+1,&{\text{if }}0\leq i<n-1\\k,&{\text{if }}i=n-1.\end{cases}}$$

Умножение элементов в ⟨ f ⟩ затем задаётся композицией функций.

Когда k = 0 , функция f является перестановкой {0, 1, 2, ..., n −1} и дает уникальную циклическую группу порядка n .

Свойства

Аксиомы моноида подразумевают, что единичный элемент e уникален: если e и f являются единичными элементами моноида, то e = ef = f .

Продукты и возможности

Для каждого неотрицательного целого числа n можно определить произведение $p_{n}=\textstyle \prod _{i=1}^{n}a_{i}$ любой последовательности ( a ₁ , ..., a _n ) из n элементов моноида рекурсивно: пусть 0 ₌ e и пусть pm _p = p _{m −1} • a _m для 1 ≤ m ≤ n .

В качестве частного случая можно определить неотрицательные целые степени элемента x моноида: x ⁰ = 1 и х ^н = х ^{п -1} • x для n ≥ 1 . Тогда х ^{м + н} = х ^м • х ^н для всех м , п ≥ 0 .

Обратимые элементы

Элемент x называется обратимым , если существует элемент y такой, что x • y = e и y • x = e . Элемент y называется обратным элементу x . Инверсии, если они существуют, уникальны: если y и z являются инверсиями x , то по ассоциативности y = ey = ( zx ) y = z ( xy ) = ze = z .

Если x обратим, скажем, с обратным y , то можно определить отрицательные степени x, установив x ^{− п} = и ^н для каждого n ≥ 1 ; это делает уравнение x ^{м + н} = х ^м • х ^н для всех m , n ∈ Z. справедливы

Совокупность всех обратимых элементов моноида вместе с операцией • образует группу .

Группа Гротендика

Основная статья: Группа Гротендика

Не каждый моноид находится внутри группы. Например, вполне возможно иметь моноид, в котором существуют два элемента a и b, такие что a • b = a выполняется, даже если b не является единичным элементом. Такой моноид не может быть вложен в группу, потому что в группе, умножив обе части на обратную величину a, получим b = e , что неверно.

Моноид ( M , •) обладает свойством сокращения (или является сокращающимся), если для всех a , b и c в M равенство a • b = a • c влечет b = c , а равенство b • a = c • а подразумевает б = с .

Коммутативный моноид со свойством сокращения всегда можно вложить в группу с помощью групповой конструкции Гротендика . Именно так аддитивная группа целых чисел (группа с операцией + ) строится из аддитивного моноида натуральных чисел (коммутативного моноида с операцией + и свойством отмены). Однако некоммутативный сокращающийся моноид не обязательно должен быть вложимым в группу.

Если моноид обладает свойством сокращения и конечен , то он фактически является группой.

Право- и левосократяющиеся элементы моноида поочередно образуют субмоноид (т. е. замкнуты относительно операции и, очевидно, содержат единицу). Это означает, что сокращающиеся элементы любого коммутативного моноида можно расширить до группы.

Свойство сокращения в моноиде не обязательно для выполнения конструкции Гротендика - достаточно коммутативности. Однако если коммутативный моноид не обладает свойством сокращения, гомоморфизм моноида в его группу Гротендика не является инъективным. Точнее, если a • b = a • c , то b и c имеют один и тот же образ в группе Гротендика, даже если b ≠ c . В частности, если моноид имеет поглощающий элемент , то его группа Гротендика является тривиальной группой .

Виды моноидов

Обратный моноид — это моноид, в котором для каждого a в M существует единственный a ⁻¹ в M такой, что a = a • a ⁻¹ • а и а ⁻¹ = а ⁻¹ • а • а ⁻¹ . Если инверсный моноид сократим, то он является группой.

В противоположном направлении моноид без нулевой суммы — это моноид, записанный аддитивно, в котором из a + b = 0 следует, что a = 0 и b = 0 : эквивалентно, что ни один элемент, кроме нуля, не имеет аддитивного обратного.

операторов

Основная статья: моноидный акт

Пусть M — моноид с бинарной операцией, обозначенной •, и единичным элементом, обозначенным e . Тогда (левый) M -действие (или левый действие над M ) представляет собой множество X вместе с операцией ⋅: M × X → X , которая совместима со структурой моноида следующим образом:

• для всех x в X : е ⋅ x знак равно x ;
• для всех a , b в M и x в X : а ⋅ ( б ⋅ Икс ) знак равно ( а • б ) ⋅ Икс .

Это аналог действия (левой) группы в теории моноида . Правые М -акты определяются аналогично. Моноид с действием также известен как моноид оператора . примерами являются переходные системы полуавтоматов Важными . Полугруппу преобразований можно превратить в моноид оператора путем присоединения тождественного преобразования.

гомоморфизмы

Пример моноидного гомоморфизма x ↦ 2 ^х от ( N , +, 0) до ( Н , ×, 1) . Оно инъективно, но не сюръективно.

Гомоморфизмом и между двумя моноидами ( M , ∗) ( N , •) называется функция f : M → N такая, что

• ж ( Икс * y ) знак равно ж ( Икс ) • ж ( y ) для всех x , y в M
• ж ( е _M ) знак равно е _N ,

где e _M и e _N — тождества на M и N соответственно. Моноидные гомоморфизмы иногда называют просто моноидными морфизмами .

Не каждый гомоморфизм полугруппы между моноидами является моноидным гомоморфизмом, поскольку он не может отображать тождество в тождество целевого моноида, даже если тождество является тождеством образа гомоморфизма. Например, рассмотрим [ Z ] _n , набор классов вычетов по модулю n, оснащенный функцией умножения. В частности, [1] _n является единичным элементом. Функция f : [ Z ] ₃ → [ Z ] _6, заданная формулой [ k ] ₃ ↦ [3 k ] _6, является гомоморфизмом полугруппы, поскольку [3 k ⋅ 3 l ] ₆ = [9 kl ] ₆ = [3 kl ] ₆ . Однако f ([1] ₃ ) = [3] ₆ ≠ [1] ₆ , поэтому гомоморфизм моноида — это гомоморфизм полугруппы между моноидами, который отображает идентичность первого моноида в идентичность второго моноида, и последнее условие не может быть опущено.

Напротив, гомоморфизм полугрупп между группами всегда является гомоморфизмом группы , поскольку он обязательно сохраняет идентичность (потому что в целевой группе гомоморфизма единичный элемент является единственным элементом x таким, что x ⋅ x = x ).

Биективный моноидным моноидный гомоморфизм называется изоморфизмом . Два моноида называются изоморфными, если между ними существует моноидный изоморфизм.

Эквациональное представление

Основная статья: Представление моноида

Моноидам может быть предоставлено представление , во многом таким же образом, как группы могут быть определены посредством представления группы . Это можно сделать, задав набор генераторов Σ и набор отношений на свободном моноиде Σ. ^∗ . Это можно сделать путем расширения (конечных) бинарных отношений на Σ ^∗ к моноидным сравнениям, а затем построим фактормоноид, как указано выше.

Для бинарного отношения R ⊂ Σ ^∗ × С ^∗ , его симметричное замыкание определяется как R ∪ R ⁻¹ . Это можно расширить до симметричного отношения E ⊂ Σ ^∗ × С ^∗ определив x ~ _E y тогда и только тогда, когда x = sut и y = svt для некоторых строк u , v , s , t ∈ Σ ^∗ с ( ты , v ) ∈ р ∪ р ⁻¹ . Наконец, берется рефлексивное и транзитивное замыкание E , которое тогда является моноидным сравнением.

В типичной ситуации отношение R просто задается в виде набора уравнений, так что R = { u ₁ = v ₁ , ... un _, = v _n } . Так, например,

$\langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle$

— эквациональное представление бициклического моноида , а

$\langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle$

— пластический моноид степени 2 (имеет бесконечный порядок). Элементы этого пластического моноида можно записать как $a^{i}b^{j}(ba)^{k}$ для целых чисел i , j , k , поскольку соотношения показывают, что ba коммутирует как с a, так и с b .

с

Групповые структуры

	Закрытие	Ассоциативный	Личность	Отмена	коммутативный
Частичная магма	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Полугруппоид	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативная квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Коммутативно-ассоциативная квазигруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый
Единая магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативная унитарная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Коммутативный цикл	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Коммутативная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый

Моноиды можно рассматривать как особый класс категорий . Действительно, аксиомы, необходимые для моноидной операции, в точности совпадают с аксиомами, необходимыми для композиции морфизмов , если они ограничены набором всех морфизмов, источником и целью которых является данный объект. То есть,

Моноид — это, по сути, то же самое, что и категория с единственным объектом.

Точнее, по моноиду ( M , •) элементами M. можно построить небольшую категорию только с одним объектом, морфизмы которой являются Композиция морфизмов задается моноидной операцией • .

Аналогично, моноидные гомоморфизмы — это просто функторы между отдельными категориями объектов. Таким образом, эта конструкция дает эквивалентность между категорией (малых) моноидов Mon и полной подкатегорией категории (малых) категорий Cat . Аналогично категория групп эквивалентна другой полной подкатегории Cat .

В этом смысле теорию категорий можно рассматривать как расширение концепции моноида. Многие определения и теоремы о моноидах можно обобщить на небольшие категории с более чем одним объектом. Например, фактор категории с одним объектом — это просто фактормоноид.

Моноиды, как и другие алгебраические структуры, также образуют свою собственную категорию Mon , объекты которой являются моноидами, а морфизмы — гомоморфизмами моноидов.

Существует также понятие моноидного объекта , которое представляет собой абстрактное определение того, что такое моноид в категории. Моноидный объект в Set — это просто моноид.

Моноиды в информатике

В информатике многие абстрактные типы данных могут быть наделены моноидной структурой. В обычном шаблоне последовательность элементов моноида « складывается » или «накапливается» для получения окончательного значения. Например, многим итеративным алгоритмам необходимо обновлять некий «промежуточный итог» на каждой итерации; этот шаблон может быть элегантно выражен с помощью моноидной операции. Альтернативно, ассоциативность моноидных операций гарантирует, что операцию можно распараллелить , используя сумму префиксов или аналогичный алгоритм, чтобы эффективно использовать несколько ядер или процессоров.

Учитывая последовательность значений типа M с единичным элементом ε и ассоциативной операцией • , операция складки определяется следующим образом:

$\mathrm {fold} :M^{*}\rightarrow M=\ell \mapsto {\begin{cases}\varepsilon &{\mbox{if }}\ell =\mathrm {nil} \\m\bullet \mathrm {fold} \,\ell '&{\mbox{if }}\ell =\mathrm {cons} \,m\,\ell '\end{cases}}$

Кроме того, любую структуру данных можно «свернуть» аналогичным образом, учитывая сериализацию ее элементов. Например, результат «свертывания» двоичного дерева до и после порядка может отличаться в зависимости от обхода дерева .

MapReduce

Применением моноидов в информатике является так называемая MapReduce модель программирования (см. Кодирование Map-Reduce как моноида со сворачиванием влево ). MapReduce в вычислительной технике состоит из двух или трех операций. Учитывая набор данных, «Карта» состоит из сопоставления произвольных данных с элементами определенного моноида. «Уменьшение» заключается в складывании этих элементов так, чтобы в итоге мы получили только один элемент.

Например, если у нас есть мультимножество , в программе оно представляется в виде отображения элементов на их номера. В этом случае элементы называются ключами. Количество различных ключей может быть слишком большим, и в этом случае мультимножество шардируется . Чтобы правильно завершить сокращение, на этапе «Перетасовка» данные перегруппируются по узлам. Если нам не нужен этот шаг, вся операция Map/Reduce состоит из сопоставления и сокращения; обе операции распараллеливаемы: первая из-за ее поэлементной природы, вторая - из-за ассоциативности моноида.

Полные моноиды

Полный моноид — это коммутативный моноид, снабженный операцией бесконечной суммы. $\Sigma _{I}$ для любого набора индексов I такого, что

$\sum _{i\in \emptyset }{m_{i}}=0;\quad \sum _{i\in \{j\}}{m_{i}}=m_{j};\quad \sum _{i\in \{j,k\}}{m_{i}}=m_{j}+m_{k}\quad {\text{ for }}j\neq k$

и

$\sum _{j\in J}{\sum _{i\in I_{j}}{m_{i}}}=\sum _{i\in I}m_{i}\quad {\text{ if }}\bigcup _{j\in J}I_{j}=I{\text{ and }}I_{j}\cap I_{j'}=\emptyset \quad {\text{ for }}j\neq j'$.

Упорядоченный моноид — это коммутативный моноид M вместе с частичным упорядочением ≤ такой, что a ≥ 0 для каждого a ∈ M , а a ≤ b влечет за собой a + c ≤ b + c для всех a , b , c ∈ M. коммутативный

Непрерывный моноид — это упорядоченный коммутативный моноид ( M , ≤), в котором каждое направленное подмножество имеет наименьшую верхнюю границу , и эти наименьшие верхние границы совместимы с операцией моноида:

$a+\sup S=\sup(a+S)$

для каждого a ∈ M и направленного подмножества S из M .

Если ( M , ≤) — непрерывный моноид, то для любого набора индексов I и набора элементов ( a _i ) _{i ∈ I} можно определить

$\sum _{I}a_{i}=\sup _{{\text{finite }}E\subset I}\;\sum _{E}a_{i},$

и M вместе с этой операцией бесконечной суммы представляет собой полный моноид.

См. также

• Декартовский моноид
• Отношения Грина
• Монада (функциональное программирование)
• Полукольцо и алгебра Клини
• Проблема с высотой звезды
• Ведическая площадь
• Фробениоид

Ссылки

• Аводи, Стив (2006). Теория категорий . Оксфордские руководства по логике. Том. 49. Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-856861-4 . Збл   1100.18001 .
• Дросте, М.; Куич, В. (2009), «Полукольца и формальные степенные ряды», Справочник по взвешенным автоматам , стр. 3–28, CiteSeerX   10.1.1.304.6152 , doi : 10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Гондран, Мишель; Мину, Мишель (2008). Графы, диоиды и полукольца: новые модели и алгоритмы . Серия интерфейсов исследования операций/информатики. Том. 41. Дордрехт: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-75450-5 . Збл   1201.16038 .
• Хебиш, Удо (1992). «Алгебраическая теория бесконечных сумм с приложениями к полугруппам и полукольцам». Байройтские математические сочинения (на немецком языке). 40 :21–152. Збл   0747.08005 .
• Хоуи, Джон М. (1995), Основы теории полугрупп , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 12, Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  0-19-851194-9 , Збл   0835.20077
• Джейкобсон, Натан (1951), Лекции по абстрактной алгебре , том. Я, Компания Д. Ван Ностранда, ISBN  0-387-90122-1
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , том. 1 (2-е изд.), Дувр, ISBN  978-0-486-47189-1
• Килп, Мати; Кнауэр, Ульрих; Михалев, Александр В. (2000), Моноиды, действия и категории. С приложениями для сплетения изделий и графиков. Справочник для студентов и исследователей , De Gruyter Expositions in Mathematics, vol. 29, Берлин: Вальтер де Грюйтер, ISBN  3-11-015248-7 , Збл   0945.20036
• Куич, Вернер (1990). «ω-непрерывные полукольца, алгебраические системы и автоматы с магазинным магазином» . В Патерсоне, Майкл С. (ред.). Автоматы, языки и программирование: 17-й международный коллоквиум, Уорикский университет, Англия, 16–20 июля 1990 г., Труды . Конспекты лекций по информатике. Том. 443. Шпрингер-Верлаг . стр. 103–110. ISBN  3-540-52826-1 .
• Куич, Вернер (2011). «Алгебраические системы и автоматы с понижением». В Куиче, Вернер (ред.). Алгебраические основы информатики. Очерки, посвященные Симеону Бозапалидису по случаю его выхода на пенсию . Конспекты лекций по информатике. Том. 7020. Берлин: Springer-Verlag . стр. 228–256. ISBN  978-3-642-24896-2 . Збл   1251.68135 .
• Лотер, М. , изд. (1997), Комбинаторика слов , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 17 (2-е изд.), Cambridge University Press , номер документа : 10.1017/CBO9780511566097 , ISBN.  0-521-59924-5 , МР   1475463 , Збл   0874.20040
• Роудс, Джон; Стейнберг, Бенджамин (2009), q-теория конечных полугрупп: новый подход , Монографии Springer по математике, том. 71, Спрингер, ISBN  9780387097817
• Верунг, Фридрих (1996). «Тензорные произведения структур с интерполяцией» . Тихоокеанский математический журнал . 176 (1): 267–285. дои : 10.2140/pjm.1996.176.267 . S2CID   56410568 . Збл   0865.06010 .

Внешние ссылки

• «Моноид» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Моноид» . Математический мир .
• Моноид в PlanetMath .