Квазигруппа

Алгебраические структуры между магмами и группами : Квазигруппа — это магма с типом делимости, заданным свойством латинского квадрата . Петля квазигруппа — это с единичным элементом .

В математике , особенно в абстрактной алгебре , квазигруппа — это алгебраическая структура , напоминающая группу в том смысле, что « деление всегда возможно ». Квазигруппы отличаются от групп главным образом тем, что свойства ассоциативного и единичного элемента не являются обязательными. Фактически, непустая ассоциативная квазигруппа равна группе , т.е. если магма одновременно ассоциативна и аннулирована , то либо она пуста, либо является группой.

Квазигруппа с единичным элементом называется петлей .

Определения

Существует по крайней мере два структурно эквивалентных формальных определения квазигруппы. Один определяет квазигруппу как набор с одной бинарной операцией , а другой, исходя из универсальной алгебры , определяет квазигруппу как имеющую три примитивные операции. Однако гомоморфный . образ квазигруппы, определенный с помощью одной бинарной операции, не обязательно должен быть квазигруппой Начнем с первого определения.

Алгебра

Квазигруппа , указывающей на то , ( Q , ∗) — это непустое множество Q с бинарной операцией ∗ (то есть магмой что квазигруппа должна удовлетворять свойству замыкания), подчиняющееся свойству латинского квадрата . Это означает, что для каждых a и b в Q существуют уникальные элементы x и y в Q такие, что оба

а * х = б

у * а = б

держать. (Другими словами: каждый элемент множества встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце таблицы умножения квазигруппы или таблицы Кэли . Это свойство гарантирует, что таблица Кэли конечной квазигруппы и, в частности, конечная группа — это латинский квадрат .) Требование уникальности x и y можно заменить требованием, чтобы магма была сокращающейся .

Единственные решения этих уравнений записываются x = a \ b и y = b / a . Операции '\' и '/' называются соответственно левым делением и правым делением . Что касается таблицы Кэли, первое уравнение (левое деление) означает, что запись b в строке a находится в столбце x , а второе уравнение (правое деление) означает, что запись b в столбце a находится в y строке . .

Пустое множество, оснащенное пустой бинарной операцией, удовлетворяет этому определению квазигруппы. Некоторые авторы допускают пустую квазигруппу, но другие явно исключают ее.

Универсальная алгебра

Учитывая некоторую алгебраическую структуру , тождество — это уравнение, в котором все переменные неявно имеют универсальную количественную оценку и в котором все операции относятся к числу примитивных операций, присущих структуре. Алгебраические структуры, удовлетворяющие аксиомам, заданным исключительно тождествами, называются многообразием . Многие стандартные результаты универсальной алгебры справедливы только для многообразий. Квазигруппы образуют многообразие, если считать левое и правое деление примитивными.

( Правая квазигруппа Q , ∗, /) — это алгебра типа (2, 2), удовлетворяющая обоим тождествам:

y знак равно ( y / Икс ) * Икс

y знак равно ( y * Икс )/ Икс .

Левая квазигруппа ( Q , ∗, \) — это алгебра типа (2, 2), удовлетворяющая обоим тождествам:

y знак равно Икс * ( Икс \ y )

y знак равно Икс \ ( Икс * y ).

Квазигруппа (т. е. снабженная тремя бинарными операциями) , ( Q , ∗, \, /) — это алгебра типа (2, 2, 2) удовлетворяющая тождествам:

y знак равно ( y / Икс ) * Икс

y знак равно ( y * x )/ x

y знак равно Икс * ( Икс \ y )

y знак равно Икс \ ( Икс * y ).

Другими словами: умножение и деление в любом порядке, одно за другим, на одной и той же стороне одним и тем же элементом, не имеют итогового эффекта.

Следовательно, если ( Q , ∗) — квазигруппа согласно определению предыдущего раздела, то ( Q , ∗, \, /) — та же самая квазигруппа в смысле универсальной алгебры. И наоборот: если ( Q , ∗, \, /) — квазигруппа в смысле универсальной алгебры, то ( Q , ∗) — квазигруппа согласно первому определению.

Петли

Петля — это квазигруппа с единичным элементом ; то есть элемент e такой, что

x ∗ e = x и e ∗ x = x для всех x в Q .

Отсюда следует, что единичный элемент e уникален и что каждый элемент Q имеет уникальные левые и правые обратные элементы (которые не обязательно должны быть одинаковыми).

Квазигруппа с идемпотентным элементом называется пике («острая идемпотентная квазигруппа»); это более слабое понятие, чем цикл, но, тем не менее, распространенное, потому что, например, для данной абелевой группы ( A , +) принятие ее операции вычитания как квазигруппового умножения дает пике ( A , −) с групповым тождеством (нолем), повернутым в «заостренный идемпотент». (То есть существует главная изотопия ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Цикл, который является ассоциативным, является группой. Группа может иметь строго неассоциативный пике-изотоп, но не может иметь строго неассоциативный петлевой изотоп.

Существуют более слабые свойства ассоциативности, которым даны специальные имена.

Например, цикл Bol — это цикл, который удовлетворяет одному из следующих условий:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z для каждого x , y и z в Q ( левая петля Бола ),

или еще

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) для каждого x , y и z в Q ( правая петля Бола ).

Петля, которая одновременно является левой и правой петлей Бола, является петлей Муфанг . Это эквивалентно любому из следующих единичных тождеств Муфанга, справедливых для всех x , y , z :

Икс * ( у * ( Икс * z )) знак равно ( ( Икс * у ) * Икс ) * z ,

z * ( Икс * ( у * Икс )) знак равно ( ( z * Икс ) * у ) * Икс ,

( Икс ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) знак равно Икс ∗ ( ( y ∗ z ) ∗ x ), или

( Икс * y ) * ( z * Икс ) знак равно ( Икс * ( y * z )) * Икс .

По словам Джонатана Д.Х. Смита, «петли» были названы в честь Чикагской петли , поскольку их создатели в то время изучали квазигруппы в Чикаго.

Симметрии

( Smith 2007 ) называет следующие важные свойства и подклассы:

Полусимметрия

Квазигруппа является полусимметричной , если выполнено любое из следующих эквивалентных тождеств:

х * у = у / х

y ∗ x = x \ y

Икс знак равно ( y * x ) * y

Икс знак равно у * ( Икс * у ).

Хотя этот класс может показаться особенным, каждая квазигруппа Q индуцирует полусимметричную квазигруппу Q ∆ на кубе прямого произведения Q ³ с помощью следующей операции:

( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) знак равно ( y ₃ / Икс ₂ , y ₁ \ Икс ₃ , Икс ₁ * y ₂ ) = ( Икс ₂ // y ₃ , Икс ₃ \\ У ₁ , Икс ₁ * У ₂ ),

где "//" и "\\" — операции сопряженного деления, заданные y // x = x / y и y \\ x = x \ y .

Триальность

Квазигруппа может проявлять полусимметричную тройственность .

Полная симметрия

Более узкий класс — это вполне симметричная квазигруппа (иногда сокращенно TS-квазигруппа ), в которой все сопряженные совпадают как одна операция: x ∗ y = x / y = x \ y . Другой способ определить (то же самое понятие) полностью симметричной квазигруппы — это полусимметричная квазигруппа, которая является коммутативной, т. е. x ∗ y = y ∗ x .

Идемпотентные тотальные симметричные квазигруппы являются в точности (т.е. в биекции с) тройками Штейнера , поэтому такую ​​квазигруппу еще называют квазигруппой Штейнера , а иногда последнюю даже сокращают как sqag . Термин шлюп относится к аналогу циклов, а именно к полностью симметричным циклам, которые удовлетворяют условию x ∗ x = 1 вместо x ∗ x = x . Без идемпотентности полные симметричные квазигруппы соответствуют геометрическому понятию расширенной тройки Штейнера , также называемой обобщенной эллиптической кубической кривой (GECC).

Полная антисимметрия

Квазигруппа ( Q , ∗) называется слабо тотально антисимметричной, если для всех c , x , y ∈ Q выполняется следующая импликация.

( c * x ) * y знак равно ( c * y ) * x подразумевает, что x = y .

Квазигруппа ( Q , ∗) называется тотально антисимметричной, если, кроме того, для всех x , y ∈ Q выполняется следующая импликация:

x ∗ y = y ∗ x подразумевает, что x = y .

Это свойство требуется, например, в алгоритме Дамма .

Примеры

• Каждая группа является петлей, поскольку a ∗ x = b тогда и только тогда, когда x = a ⁻¹ ∗ b и y ∗ a ​​= b тогда и только тогда, когда y = b ∗ a ⁻¹ .
• Целые числа Z (или рациональные числа Q или действительные числа R ) с вычитанием (−) образуют квазигруппу. Эти квазигруппы не являются петлями, поскольку в них нет единичного элемента (0 является правым тождеством, потому что a − 0 = a , но не левым тождеством, потому что, вообще говоря, 0 − a ≠ a ).
• Ненулевые рациональные числа Q ^× (или ненулевые числа R ^× ) с делением (÷) образуют квазигруппу.
• Любое векторное пространство над полем характеристики, не равной 2, образует квазигруппу относительно идемпотентную коммутативную операции x ∗ y = ( x + y )/2 .
• Каждая система троек Штейнера определяет идемпотентную коммутативную содержащий квазигруппу: a ∗ b — третий элемент тройки, a и b . Эти квазигруппы также удовлетворяют условиям ( x ∗ y ) ∗ y = x для всех x и y в квазигруппе. Эти квазигруппы известны как квазигруппы Штейнера .
• Набор {±1, ±i, ±j, ±k}, где ii = jj = kk = +1 и со всеми другими произведениями, как и в группе кватернионов, образует неассоциативную петлю порядка 8. См. гиперболических кватернионах ее применение в . (Сами гиперболические кватернионы не образуют петлю или квазигруппу.)
• Ненулевые октонионы образуют неассоциативную петлю при умножении. Октонионы представляют собой особый тип петли, известный как петля Муфанга.
• Ассоциативная квазигруппа либо пуста, либо является группой, поскольку при наличии хотя бы одного элемента обратимость бинарной операции квазигруппы в сочетании с ассоциативностью подразумевает существование единичного элемента, что затем влечет за собой существование обратных элементов, удовлетворяя таким образом всем три требования группы.
• Следующая конструкция принадлежит Гансу Зассенхаусу . На базовом множестве четырехмерного векторного пространства F ⁴ над 3-элементным полем Галуа F = Z /3 Z определим

  ( Икс ₁ , Икс ₂ , Икс ₃ , Икс ₄ ) * ( Икс ₁ , Икс ₂ , y ₃ , y ₄ ) знак равно ( y ₁ , y ₂ , Икс ₃ , Икс ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , у ₄ ) + (0, 0, 0, ( Икс ₃ - у ₃ )( Икс ₁ у ₂ - Икс ₂ у ₁ )).

Тогда ( Ф ⁴ , ∗) — коммутативная лупа Муфанга , не являющаяся группой.

• В более общем смысле, ненулевые элементы любой алгебры с делением образуют квазигруппу с операцией умножения в алгебре.

Свойства

В оставшейся части статьи мы будем обозначать умножение квазигрупп просто сопоставлением .

Квазигруппы обладают свойством сокращения : если ab = ac , то b = c . Это следует из единственности левого деления ab или ac на a . Аналогично, если ba = ca , то b = c .

Свойство квазигрупп латинского квадрата означает, что для любых двух из трех переменных в xy = z третья переменная определена однозначно.

Операторы умножения

Определение квазигруппы можно рассматривать как условия на левый и правый операторы умножения L _x , R _x : Q → Q , определяемые формулой

${\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}$

В определении говорится, что оба отображения являются в себя биекциями Q . Магма Q является квазигруппой именно тогда, когда все эти операторы для каждого x в Q биективны. Обратные отображения — это левое и правое деление, т. е.

${\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}$

В этих обозначениях тождества между операциями умножения и деления квазигруппы (установленные в разделе об универсальной алгебре ) равны

${\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}$

где id обозначает тождественное отображение на Q .

Латинские квадраты

Основная статья: Латинский квадрат

Латинский квадрат, таблица умножения без границ для квазигруппы, 10 элементов которой представляют собой цифры 0–9.

Таблица умножения конечной квазигруппы представляет собой латинский квадрат : таблицу размера n × n , заполненную n различными символами таким образом, что каждый символ встречается ровно один раз в каждой строке и ровно один раз в каждом столбце.

И наоборот, каждый латинский квадрат можно рассматривать как таблицу умножения квазигруппы разными способами: граничная строка (содержащая заголовки столбцов) и граничная колонка (содержащая заголовки строк) могут представлять собой любую перестановку элементов. См. маленькие латинские квадраты и квазигруппы .

Бесконечные квазигруппы

Для счетной бесконечной квазигруппы Q можно представить бесконечный массив, в котором каждая строка и каждый столбец соответствуют некоторому элементу q из Q и где элемент a ∗ b находится в строке, соответствующей a , и столбце, отвечающем b. . И в этой ситуации свойство латинского квадрата говорит, что каждая строка и каждый столбец бесконечного массива будут содержать все возможные значения ровно один раз.

Для несчетной бесконечной квазигруппы, такой как группа ненулевых действительных чисел при умножении, свойство латинского квадрата по-прежнему сохраняется, хотя название несколько неудовлетворительно, поскольку невозможно создать массив комбинаций, для которых применяется приведенная выше идея Бесконечный массив расширяется, поскольку все действительные числа не могут быть записаны последовательно . (Однако это несколько вводит в заблуждение, поскольку действительные числа могут быть записаны в виде последовательности длины ${\mathfrak {c}}$, предполагая теорему о хорошем порядке .)

Обратные свойства

Бинарная операция квазигруппы обратима в том смысле, что обе $L_{x}$ и $R_{x}$, левый и правый операторы умножения биективны и, следовательно, обратимы .

Каждый элемент цикла имеет уникальную левую и правую инверсию, заданную формулой

$x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e$

$x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e$

Говорят, что цикл имеет ( двусторонний ) инверсный , если $x^{\lambda }=x^{\rho }$для всех х . В этом случае обратный элемент обычно обозначается $x^{-1}$.

Есть несколько более строгих понятий инверсий в циклах, которые часто бывают полезны:

• Цикл обладает левым обратным свойством , если $x^{\lambda }(xy)=y$ для всех $x$ и $y$. Эквивалентно, $L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}$ или $x\backslash y=x^{\lambda }y$.
• Цикл обладает правым обратным свойством , если $(yx)x^{\rho }=y$ для всех $x$ и $y$. Эквивалентно, $R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}$ или $y/x=yx^{\rho }$.
• Цикл обладает антиавтоморфным обратным свойством , если $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ или, что то же самое, если $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$.
• Цикл обладает слабым обратным свойством , когда $(xy)z=e$ если и только если $x(yz)=e$. Это можно выразить в терминах обратных значений через $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ или эквивалентно $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$.

Цикл обладает инверсным свойством , если он имеет как левые, так и правые инверсные свойства. Петли обратных свойств также обладают антиавтоморфными и слабыми обратными свойствами. Фактически, любой цикл, который удовлетворяет любым двум из четырех приведенных выше тождеств, обладает обратным свойством и, следовательно, удовлетворяет всем четырем.

Любой цикл, который удовлетворяет свойствам левой, правой или антиавтоморфной инверсии, автоматически имеет двусторонние инверсии.

Морфизмы

Квазигруппа или гомоморфизм петель — это отображение f : Q → P между двумя квазигруппами такое, что f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Гомоморфизмы квазигрупп обязательно сохраняют левое и правое деление, а также единичные элементы (если они существуют).

Гомотопия и изотопия

Основная статья: Изотопия петель

Пусть Q и P — квазигруппы. Гомотопия квазигруппы из Q в P — это тройка ( α , β , γ ) отображений из Q в P такая, что

$\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,$

для x , y в Q. всех Гомоморфизм квазигруппы — это просто гомотопия, для которой три отображения равны.

Изотопия отображений — это гомотопия, для которой каждое из трёх ( α , β , γ ) является биекцией . Две квазигруппы изотопны, если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия ( α , β , γ ) задается перестановкой строк α , перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ .

Автотопия — это изотопия квазигруппы в себя. Множество всех автотопий квазигруппы образует группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.

Каждая квазигруппа изотопна петле. Если петля изотопна группе, то она изоморфна этой группе и, следовательно, сама является группой. Однако квазигруппа, изотопная группе, не обязательно должна быть группой. Например, квазигруппа на R с умножением, заданным формулой ( x , y ) ↦ ( x + y )/2 , изотопна аддитивной группе ( R , +) , но сама по себе не является группой, поскольку не имеет единичного элемента. Каждая медиальная квазигруппа изотопна абелевой группе по теореме Брюка–Тойоды .

Спряжение (парастрофа)

Левое и правое деление являются примерами формирования квазигруппы путем перестановки переменных в определяющем уравнении. Из исходной операции ∗ (т. е. x ∗ y = z ) мы можем сформировать пять новых операций: x o y := y ∗ x ( противоположная операция), / и \ и их противоположности. Всего получается шесть квазигрупповых операций, которые называются сопряжениями или парастрофами ∗. Любые две из этих операций называются «сопряженными» или «парастрофическими» друг другу (и самим себе).

Изострофа (паратопия)

Если в множестве Q есть две квазигрупповые операции ∗ и ·, и одна из них изотопна сопряженной другой, то операции называются изострофными друг другу. Есть также много других названий этого отношения «изострофы», например, паратопия .

Обобщения

или

n - арная квазигруппа — это набор с - арной операцией ( n Q , f ) с f : Q ^н → Q , такой, что уравнение f ( x ₁ ,..., x _n ) = y имеет единственное решение для любой одной переменной, если все остальные n переменных заданы произвольно. Полиадический или мультиарный означает n -арный для некоторого неотрицательного целого числа n .

0-арная, или нульарная просто постоянный элемент Q. , квазигруппа — это 1-арная, или унарная , квазигруппа является биекцией Q сама в себя. Бинарная , или 2-арная, квазигруппа является обычной квазигруппой.

Примером мультиарной квазигруппы является итерированная групповая операция, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; нет необходимости использовать круглые скобки для указания порядка операций, поскольку группа ассоциативна. Мультиарную квазигруппу можно также сформировать, выполняя любую последовательность одинаковых или разных групповых или квазигрупповых операций, если порядок операций указан.

Существуют мультиарные квазигруппы, которые невозможно представить ни одним из этих способов. n -арная квазигруппа неприводима, если ее операцию нельзя разложить в композицию двух операций следующим образом:

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),$

где 1 ≤ я < j ≤ n и ( я, j ) ≠ (1, n ) . Конечные неприводимые n -арные квазигруппы существуют для всех n > 2 ; подробности см. в работе Акивиса и Голдберга (2001).

n - арная квазигруппа с n -арной версией ассоциативности называется n -арной группой .

Количество малых квазигрупп и петель

Основная статья: Малые латинские квадраты и квазигруппы

количество классов изоморфизма малых квазигрупп (последовательность A057991 в OEIS ) и петель (последовательность A057771 в OEIS ): Здесь указано

Заказ	Количество квазигрупп	Количество петель
0	1	0
1	1	1
2	1	1
3	5	1
4	35	2
5	1,411	6
6	1,130,531	109
7	12,198,455,835	23,746
8	2,697,818,331,680,661	106,228,849
9	15,224,734,061,438,247,321,497	9,365,022,303,540
10	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513	20,890,436,195,945,769,617
11	19,464,657,391,668,924,966,791,023,043,937,578,299,025	1,478,157,455,158,044,452,849,321,016

См. также

• Тело - кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный.
• Полугруппа - алгебраическая структура, состоящая из множества вместе с ассоциативной бинарной операцией.
• Моноид - полугруппа с единичным элементом.
• Планарное тройное кольцо - имеет аддитивную и мультипликативную петлеобразную структуру.
• Проблемы теории петель и теории квазигрупп
• Математика судоку

Ссылки

Источники

• Акивис, Массачусетс; Гольдберг, Владислав В. (2001). «Решение проблемы Белоусова». Дискуссии Mathematicae – Общая алгебра и приложения . 21 (1): 93–103. arXiv : math/0010175 . дои : 10.7151/dmgaa.1030 . S2CID   18421746 .
• Белоусов, В.Д. (1967). Основы теории квазигрупп и петель (на русском языке). Москва: Издат. «Наука». OCLC   472241611 .
• Белоусов, В.Д. (1971). Алгебраические сети и квазигруппы (на русском языке). Кишинев: Издат. «Штинка». OCLC   8292276 .
• Белоусов, В.Д. (1981). Элементы теории квазигрупп: специальный курс . Кишинев: Типография Кишиневского государственного университета. OCLC   318458899 .
• Брук, Р.Х. (1971) [1958]. Обзор бинарных систем . Спрингер. ISBN  978-0-387-03497-3 .
• Чейн, О.; Пфлюгфельдер, ХО; Смит, JDH, ред. (1990). Квазигруппы и петли: теория и приложения . Берлин: Хелдерманн. ISBN  978-3-88538-008-5 .
• Колборн, Чарльз Дж.; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным расчетам (2-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-58488-506-1
• Дамм, Х. Майкл (2007). «Тотально антисимметричные квазигруппы для всех порядков n ≠ 2, 6 » . Дискретная математика . 307 (6): 715–729. дои : 10.1016/j.disc.2006.05.033 .
• Дудек, Вашингтон; Глазек, К. (2008). «О теореме Хоссу-Глускина для n -арных групп». Дискретная математика . 308 (21): 4861–76. arXiv : math/0510185 . дои : 10.1016/j.disc.2007.09.005 . S2CID   9545943 .
• Маккей, Брендан Д.; Мейнерт, Элисон; Мирволд, Венди (2007). «Малые латинские квадраты, квазигруппы и петли» (PDF) . Дж. Комб. Дес . 15 (2): 98–119. CiteSeerX   10.1.1.151.3043 . дои : 10.1002/jcd.20105 . S2CID   82321 . Збл   1112.05018 .
• Пфлюгфельдер, Х.О. (1990). Квазигруппы и петли: Введение . Берлин: Хелдерманн. ISBN  978-3-88538-007-8 .
• Романовская, Анна Б .; Смит, Джонатан Д.Х. (1999), «Пример 4.1.3 (Коммутативная петля Муфанга Зассенхауса)» , Постмодернистская алгебра , Чистая и прикладная математика, Нью-Йорк: Wiley, doi : 10.1002/9781118032589 , ISBN  978-0-471-12738-3 , МР   1673047
• Рубин, Х.; Рубин, Дж. Э. (1985). Эквиваленты аксиомы выбора, II . Эльзевир.
• Щербаков, В.А. (2017). Элементы теории квазигрупп и их приложения . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-4987-2155-4 .
• Щербаков В.А.; Пушкашу, Д.И.; Щербаков, А.В. (2021). «Определения эквациональных квазигрупп». arXiv : 1003.3175v1 [ math.GR ].
• Смит, JDH (2007). Введение в квазигруппы и их представления . ЦРК Пресс. ISBN  978-1-58488-537-5 .

Внешние ссылки

• квазигруппы
• «Квазигруппа» , Энциклопедия Математики , EMS Press , 2001 [1994]