Бесчисленное множество

«Бесчисленное» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о лингвистическом понятии, см. Неисчисляемое существительное .

В математике , несчетное множество неформально, представляет собой бесконечное множество , содержащее слишком много элементов , чтобы быть счетным . Несчетность множества тесно связана с его кардинальным числом : набор несчетен, если его кардинальное число больше, чем алеф-нуль , мощность натуральных чисел .

Характеристики

Существует множество эквивалентных характеристик несчетности. Множество X несчетно тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:

• Не существует инъективной функции (следовательно, нет биекции ) из X во множество натуральных чисел.
• X непусто и для любой ω- последовательности элементов X существует хотя бы один элемент X, не входящий в нее. То есть X непусто и не существует сюръективной функции от натуральных чисел к X .
• Мощность не конечна X и не равна $\aleph _{0}$ ( алеф-ноль ).
• Множество X имеет мощность строго большую, чем $\aleph _{0}$.

Эквивалентность первых трех из этих характеристик можно доказать в теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора , но эквивалентность третьей и четвертой не может быть доказана без дополнительных принципов выбора.

Свойства

• Если несчетное множество X является подмножеством множества Y , то Y несчетно.

Примеры

Самый известный пример несчетного множества — это множество R всех действительных чисел ; Диагональный аргумент Кантора показывает, что это множество несчетно. Метод доказательства диагонализации также можно использовать, чтобы показать, что некоторые другие множества несчетны, например, набор всех бесконечных последовательностей натуральных чисел и набор всех подмножеств набора натуральных чисел. Мощность R часто называют мощностью континуума и обозначают ${\mathfrak {c}}$, или $2^{\aleph _{0}}$, или $\beth _{1}$ ( бет-один ).

Множество Кантора это несчетное подмножество R. — Множество Кантора является фракталом и имеет размерность Хаусдорфа больше нуля, но меньше единицы ( R имеет размерность один). Это пример следующего факта: любое подмножество R хаусдорфовой размерности, строго больше нуля, должно быть несчетным.

множество всех функций от R до R. Другой пример несчетного множества — Это множество даже «более несчетно», чем R, в том смысле, что мощность этого множества равна $\beth _{2}$ ( beth-two ), что больше, чем $\beth _{1}$.

Более абстрактный пример несчетного множества — это множество всех счетных порядковых чисел , обозначаемое Ω или ω ₁ . Мощность Ω обозначается $\aleph _{1}$ ( алеф-один ). , можно показать Используя аксиому выбора , что $\aleph _{1}$ — наименьшее неисчисляемое кардинальное число. Таким образом, либо $\beth _{1}$, мощность действительных чисел, равна $\aleph _{1}$ или оно строго больше. Георг Кантор был первым, кто поставил вопрос о том, $\beth _{1}$ равно $\aleph _{1}$. В 1900 году Дэвид Гильберт поставил этот вопрос как первую из своих 23 задач . Заявление о том, что $\aleph _{1}=\beth _{1}$ теперь называется гипотезой континуума и, как известно, не зависит от аксиом Цермело – Френкеля для теории множеств (включая аксиому выбора ).

Без аксиомы выбора

Основная статья: Бесконечное множество Дедекинда

Без аксиомы выбора могли бы существовать мощности, несравнимые с $\aleph _{0}$ (а именно мощности дедекинд-конечных бесконечных множеств). Наборы этих мощностей удовлетворяют первым трем приведенным выше характеристикам, но не четвертой характеристике. Поскольку эти множества по мощности не превосходят натуральные числа, некоторые, возможно, не захотят называть их несчетными.

Если аксиома выбора верна, следующие условия на кардинал $\kappa$ эквивалентны:

• $\kappa \nleq \aleph _{0};$
• $\kappa >\aleph _{0};$ и
• $\kappa \geq \aleph _{1}$, где $\aleph _{1}=|\omega _{1}|$ и $\omega _{1}$ наименьший начальный порядковый номер больше, чем $\omega .$

Однако все они могут быть разными, если аксиома выбора не работает. Поэтому не очевидно, какое из обобщений «несчетности» является подходящим, если аксиома неверна. Возможно, в данном случае лучше избегать использования этого слова и уточнить, какое из них оно означает.

См. также

• Число Алеф
• Число Бет
• Первый неисчисляемый порядковый номер
• Инъективная функция

Библиография

• Халмос, Пол , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: Компания Д. Ван Ностранда, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag). Перепечатано издательством Martino Fine Books, 2011 г. ISBN   978-1-61427-131-4 (издание в мягкой обложке).
• Джех, Томас (2002), Теория множеств , Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия), Springer, ISBN  3-540-44085-2

Внешние ссылки

• Доказательство того, что R несчетно