Число Бет

В математике , особенно в теории множеств , числа Бет представляют собой определенную последовательность бесконечных кардинальных чисел (также известных как трансфинитные числа ), условно записываемую $\beth _{0},\ \beth _{1},\ \beth _{2},\ \beth _{3},\ \dots$ , где $\beth$ это еврейская буква Бет . Числа Бет связаны с числами Алеф ( $\aleph _{0},\ \aleph _{1},\ \dots$ ), но если обобщенная гипотеза континуума не верна, существуют числа, индексированные $\aleph$ которые не индексируются $\beth$ .

Определение [ править ]

Числа Бет определяются трансфинитной рекурсией :

$\beth _{0}=\aleph _{0}\ ,$
$\beth _{\alpha +1}=2^{\ \beth _{\alpha }}\ ,$
$\beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\ \beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \ {\Bigr \}}\ ,$

где $\ \alpha \$ является порядковым номером и $\ \lambda \$ является предельным ординалом . ^[1]

Кардинал $\ \beth _{0}=\aleph _{0}\$ - мощность любого счетно бесконечного множества, такого как множество $\ \mathbb {N} \$ натуральных чисел , так что $\ \beth _{0}={\bigl |}\mathbb {N} {\bigr |}~.$

Позволять $\ \alpha \$ быть ординалом , и $\ A_{\alpha }\$ быть множеством с мощностью $\ \beth _{\alpha }=|A_{\alpha }|~.$ Затем,

$\ {\mathcal {P}}\!\left(\ A_{\alpha }\ \right)\$ обозначает мощности набор $\ A_{\alpha }\$ (т.е. совокупность всех подмножеств $\ A_{\alpha }\$ ),

набор $\ 2^{\ A_{\alpha }}\subset {\mathcal {P}}\!\left(\ A_{\alpha }\times 2\ \right)\$ обозначает множество всех функций из $\ A_{\alpha }\$ к $\ \{\ 0,1\ \}\ ,$

кардинал $\ 2^{\ \beth _{\alpha }}\$ является результатом кардинального возведения в степень , и

$\ \beth _{\alpha +1}=2^{\ \beth _{\alpha }}={\Bigl |}\ 2^{\ A_{\alpha }}\ {\Bigr |}={\bigl |}\ {\mathcal {P}}\!\left(\ A_{\alpha }\ \right){\bigr |}\$ – мощность набора мощности $\ A_{\alpha }~.$

Учитывая это определение,

\beth _{0}\ ,\ \beth _{1}\ ,\ \beth _{2}\ ,\ \beth _{3}\ ,\ \dots \

соответственно мощности

\ \mathbb {N} ,\ {\mathcal {P}}\!\left(\ \mathbb {N} \ \right),\ {\mathcal {P}}\!\left(\ {\mathcal {P}}\!\left(\ \mathbb {N} \ \right)\ \right),\ {\mathcal {P}}\!\left(\ {\mathcal {P}}\!\left(\ {\mathcal {P}}\!\left(\ \mathbb {N} \ \right)\ \right)\ \right),\ \dots ~.

чтобы второе число ставки $\ \beth _{1}\$ равно $\ {\mathfrak {c}}\ ,$ мощность континуума (мощность множества действительных чисел ) и третье число Бет $\ \beth _{2}\$ — мощность множества мощностей континуума.

По теореме Кантора каждое множество в предыдущей последовательности имеет мощность строго большую, чем предыдущее. Для бесконечного предельного порядкового номера $\ \lambda \ ,$ соответствующее число бета определяется как верхняя грань чисел бета для всех порядковых номеров, строго меньших, чем $\ \lambda :\ ,$

\ \beth _{\lambda }=\sup {\Bigl \{}\ \beth _{\alpha }:\alpha <\lambda \ {\Bigr \}}~.

Можно также показать, что вселенные фон Неймана $\ V_{\omega +\alpha }\$ иметь мощность $\ \beth _{\alpha }~.$

Связь с числами алефов [ править ]

Предполагая аксиому выбора , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть несопоставимы. Таким образом, поскольку по определению между $\aleph _{0}$ и $\aleph _{1}$ , следует, что

\beth _{1}\geq \aleph _{1}.

Повторение этого аргумента (см. трансфинитную индукцию ) дает $\beth _{\alpha }\geq \aleph _{\alpha }$ для всех порядковых номеров $\alpha$ .

континуума Гипотеза эквивалентна

\beth _{1}=\aleph _{1}.

Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что определенная таким образом последовательность чисел Бет такая же, как последовательность чисел алеф , т. е. $\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$ для всех порядковых номеров $\alpha$ .

Конкретные кардиналы

Бет ноль [ править ]

Поскольку это определено как $\ \aleph _{0}\ ,$ или aleph null , наборы с мощностью $\ \beth _{0}\$ включать:

натуральные числа $\ \mathbb {N} \$
рациональные числа $\ \mathbb {Q} \$
алгебраические числа $\ {\mathcal {A}}\$
вычислимые числа и вычислимые множества
множество конечных наборов целых чисел чисел , рациональных или алгебраических чисел
множество конечных мультимножеств целых чисел и т. д.
множество конечных последовательностей целых чисел и т. д.

Бет Уан [ править ]

Наборы с мощностью $\ \beth _{1}\$ включать:

трансцендентные числа
иррациональные числа
настоящие цифры $\ \mathbb {R} \$
комплексные числа $\ \mathbb {C} \$
числа невычислимые действительные
Евклидово пространство $\ \mathbb {R} ^{n}\$
набор степеней натуральных чисел $\ 2^{\mathbb {N} }\$ (множество всех подмножеств натуральных чисел)
набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции $\ \mathbb {N} \to \mathbb {Z} \ ,$ часто обозначается $\ \mathbb {N} ^{\mathbb {Z} }\$ )
набор последовательностей действительных чисел, $\ \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\$
множество всех действительных аналитических функций из $\ \mathbb {R} \$ к $\ \mathbb {R} \$
множество всех непрерывных функций из $\ \mathbb {R} \$ к $\ \mathbb {R} \$
набор всех функций из $\ \mathbb {R} \$ к $\ \mathbb {R} \$ с не более чем счетными разрывами ^[2]
множество конечных подмножеств действительных чисел
множество всех аналитических функций из $\ \mathbb {C} \$ к $\ \mathbb {C} \$ ( голоморфные функции)
совокупность всех функций от натуральных чисел до натуральных чисел ( $\mathbb {N^{N}}$ )

Бет два [ править ]

$\beth _{2}\$ (произносится как «бет два ») также называют $\ 2^{\mathfrak {c}}\$ (произносится два в степени $\ {\mathfrak {c}}\$ ).

Наборы с мощностью $\ \beth _{2}\$ включать:

набора Набор мощности действительных чисел , то есть это количество подмножеств действительной линии или количество наборов действительных чисел.
Набор степеней множества натуральных чисел
Набор всех функций от $\ \mathbb {R} \$ к $\ \mathbb {R} \$ ( $\ \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }\$ )
Набор всех функций от $\ \mathbb {R} ^{m}\$ к $\ \mathbb {R} ^{n}\$
Набор всех функций от $\ \mathbb {R} \$ к $\ \mathbb {R} \$ с бесчисленными разрывами ^[2]
Набор мощности набора всех функций от набора натуральных чисел до себя, то есть это количество наборов последовательностей натуральных чисел.
Стоуна –Чеха Компактификации $\ \mathbb {R} \ ,$ $\ \mathbb {Q} \ ,$ и $\ \mathbb {N} \$
Набор детерминированных фракталов в $\ \mathbb {R} ^{n}\$ ^[3]
Набор случайных фракталов в $\ \mathbb {R} ^{n}\$ ^[4]

Бет Омега [ править ]

$\ \beth _{\omega }\$ (произносится как «бет омега» ) — наименьший неисчисляемый кардинал сильного предела .

Обобщение [ править ]

Более общий символ $\beth _{\alpha }(\kappa )$ , для ординалов α и кардиналов κ , иногда используется. Это определяется:

\beth _{0}(\kappa )=\kappa ,

\beth _{\alpha +1}(\kappa )=2^{\beth _{\alpha }(\kappa )},

\beth _{\lambda }(\kappa )=\sup\{\beth _{\alpha }(\kappa ):\alpha <\lambda \}

если λ — предельный ординал.

Так

\beth _{\alpha }=\beth _{\alpha }(\aleph _{0}).

В теории множеств Цермело–Френкеля (ZF) для любых кардиналов κ и µ существует ординал α такой, что:

\kappa \leq \beth _{\alpha }(\mu ).

А в ZF для любого кардинала κ и ординалов α и β :

\beth _{\beta }(\beth _{\alpha }(\kappa ))=\beth _{\alpha +\beta }(\kappa ).

Следовательно, в ZF отсутствуют ur-элементы с аксиомой выбора или без нее , для любых кардиналов κ и µ выполняется равенство

\beth _{\beta }(\kappa )=\beth _{\beta }(\mu )

справедливо для всех достаточно больших ординалов β. То есть существует ординал α такой, что равенство выполняется для любого ординала β ≥ α .

Это также справедливо в теории множеств Цермело–Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют множество, равнозначное чистому множеству (множество, транзитивное замыкание которого не содержит ur-элементов ). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.

Определенность Бореля [ править ]

Определенность по Борелю подразумевается существованием всех ставок счетного индекса. ^[5]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Джех, Томас (2002). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер. п. 55. ИСБН 978-3-540-44085-7 . Изд. Миллениума, ред. и расширился. Исправленное 4-е издание 2006 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Солтанифар, Мохсен (2023). «Классификация элементов функционального пространства F(R,R)» . Математика . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . дои : 10.3390/math11173715 .
^ Солтанифар, Мохсен (2021). «Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов» . Математика . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . дои : 10.3390/math9131546 .
^ Солтанифар, Мохсен (2022). «Второе обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для случайных фракталов» . Математика . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .
^ Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Определенность Бореля не требует замены» . Кафе «Н-Категория» . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 г.

Библиография [ править ]

Т. Э. Форстер , Теория множеств с универсальным набором: исследование нетипизированной Вселенной , Oxford University Press , 1995 — Число Бет определено на странице 5.
Белл, Джон Лейн ; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (перепечатка изд. 1974 г.). Дуврские публикации . ISBN 0-486-44979-3 . Номера ставок см. на стр. 6 и 204–205.
Ройтман, Джудит (2011). Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3 . См. стр. 109, где указаны номера ставок.

[1] Джех, Томас (2002). Теория множеств (3-е изд.). Спрингер. п. 55. ИСБН 978-3-540-44085-7 . Изд. Миллениума, ред. и расширился. Исправленное 4-е издание 2006 г.

[:3-2] Перейти обратно: ^а ^б Солтанифар, Мохсен (2023). «Классификация элементов функционального пространства F(R,R)» . Математика . 11 (17): 3715. arXiv : 2308.06297 . дои : 10.3390/math11173715 .

[:4-3] Солтанифар, Мохсен (2021). «Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов» . Математика . 9 (13): 1546. arXiv : 2007.07991 . дои : 10.3390/math9131546 .

[:5-4] Солтанифар, Мохсен (2022). «Второе обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для случайных фракталов» . Математика . 10 (5): 706. doi : 10.3390/math10050706 . hdl : 1807/110291 .

[5] Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Определенность Бореля не требует замены» . Кафе «Н-Категория» . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]