Число Алеф

«ℵ» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о букве, см. Алеф . Чтобы узнать о других значениях, см. Алеф (значения) и Алеф (значения) .

Алеф-ноль, алеф-ноль или алеф-нуль, наименьшее бесконечное кардинальное число.

В математике , особенно в теории множеств , числа алефа представляют собой последовательность чисел, используемую для представления мощности (или размера) бесконечных множеств , которые могут быть хорошо упорядочены . Их ввел математик Георг Кантор. и названы в честь символа, который он использовал для их обозначения, — еврейской буквы алеф (ℵ).

Мощность натуральных чисел равна ℵ ₀ (читай алеф-ноль или алеф-ноль или алеф-нуль ), следующая большая мощность упорядоченного набора — алеф-один ℵ ₁ , затем ℵ ₂ и так далее. Продолжая таким же образом, можно определить кардинальное число ℵ _α для каждого порядкового числа α , как описано ниже.

Концепция и обозначения принадлежат Георгу Кантору , который определил понятие мощности и понял, что бесконечные множества могут иметь разную мощность .

Числа алефов отличаются от бесконечности (∞), обычно встречающейся в алгебре и исчислении, тем, что алефы измеряют размеры множеств, тогда как бесконечность обычно определяется либо как крайний предел прямой числовой линии (применяется к функции или последовательности , которая « расходится до бесконечности» или «безгранично увеличивается») или как крайняя точка расширенной прямой вещественных чисел .

Алеф-ноль

ℵ ₀ (алеф-ноль, также алеф-ноль или алеф-ноль) — это мощность множества всех натуральных чисел и является бесконечным кардиналом . Набор всех конечных ординалов , называемый ω или ω ₀ (где ω — строчная греческая буква омега ), имеет мощность ℵ ₀ . Множество имеет мощность ℵ ₀ тогда и только тогда, когда оно счетно бесконечно , то есть существует взаимно однозначное соответствие между ним и натуральными числами. Примерами таких наборов являются

• множество натуральных чисел , независимо от того, включая или исключая ноль,
• множество всех целых чисел ,
• любое бесконечное подмножество целых чисел, например набор всех квадратных чисел или набор всех простых чисел ,
• совокупность всех рациональных чисел ,
• множество всех конструктивных чисел (в геометрическом смысле),
• совокупность всех алгебраических чисел ,
• совокупность всех вычислимых чисел ,
• совокупность всех вычислимых функций ,
• набор всех двоичных строк конечной длины и
• множество всех конечных подмножеств любого данного счетно-бесконечного множества.

Эти бесконечные ординалы: ω, ω + 1, ω⋅2, ω ² , ой ^ой , и ε ₀ относятся к счетным множествам. Например, последовательность ( порядкового порядка ω⋅2) всех положительных нечетных целых чисел, за которыми следуют все положительные четные целые числа.

{1, 3, 5, 7, 9, ...; 2, 4, 6, 8, 10, ...}

— это упорядочение множества (мощности ℵ ₀ ) натуральных чисел.

Если аксиома счетного выбора (более слабая версия аксиомы выбора ) верна, то ℵ ₀ меньше любого другого бесконечного кардинала и, следовательно, является (уникальным) наименьшим бесконечным порядковым номером.

Алеф-один

«Алеф Один» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Алеф Один (значения) .

ℵ ₁ — это, по определению, мощность множества всех счетных порядковых чисел . Это множество обозначается ω ₁ (или иногда Ω). Множество ω ₁ само по себе является порядковым числом, большим, чем все счетные числа, поэтому оно является несчетным множеством . Следовательно, ℵ ₁ отличается от ℵ ₀ . Определение ℵ ₁ подразумевает (в ZF, теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора), что никакое кардинальное число не находится между ℵ ₀ и ℵ ₁ . Если используется аксиома выбора , можно дополнительно доказать, что класс кардинальных чисел полностью упорядочен , и, таким образом, ℵ ₁ является вторым по величине бесконечным кардинальным числом. Можно показать одно из наиболее полезных свойств множества ω ₁ : любое счетное подмножество ω ₁ имеет верхнюю границу в ω ₁ (это следует из того, что объединение счетного числа счетных множеств само по себе счетно). Этот факт аналогичен ситуации в ℵ ₀ : каждое конечное множество натуральных чисел имеет максимум, который также является натуральным числом, а конечные объединения конечных множеств конечны.

Порядковый номер ω ₁ на самом деле является полезным понятием, хотя и звучит несколько экзотично. Пример приложения является «замыкающим» по отношению к счетным операциям; например, пытаясь явно описать σ-алгебру, порожденную произвольным набором подмножеств (см., например, иерархию Бореля ). Это сложнее, чем большинство явных описаний «поколения» в алгебре ( векторных пространствах , группах и т. д.), потому что в этих случаях нам нужно замыкаться только по отношению к конечным операциям – суммам, произведениям и т. д. Этот процесс включает в себя определение для каждого счетный порядковый номер, посредством трансфинитной индукции , набор, полученный путем «добавления» всех возможных счетных объединений и дополнений и объединения всего этого по всему ω ₁ .

Непрерывная гипотеза

Основная статья: Гипотеза континуума

См. Также: Число Бет.

Мощность . множества действительных чисел ( мощность континуума ) равна 2 ^{ℵ ₀} . Его нельзя определить с помощью ZFC ( теории множеств Цермело–Френкеля , дополненной аксиомой выбора ), где это число точно вписывается в иерархию чисел алефа, но из ZFC следует, что гипотеза континуума (CH) эквивалентна тождеству

2 ^{ℵ ₀} = ℵ ₁ .

CH утверждает, что не существует множества, мощность которого находилась бы строго между мощностью целых и действительных чисел. CH не зависит от ZFC : его нельзя ни доказать, ни опровергнуть в контексте этой системы аксиом (при условии, что непротиворечив ) ZFC . То, что CH совместимо с ZFC, было продемонстрировано Куртом Гёделем в 1940 году, когда он показал, что его отрицание не является теоремой ZFC . То, что он не зависит от ZFC, было продемонстрировано Полом Коэном в 1963 году, когда он показал обратное, что CH сам по себе не является теоремой ZFC – с помощью (тогда нового) метода принуждения .

Алеф-омега

Алеф-омега – это

ℵ _ω знак равно суп { ℵ _п | п ∈ ω } знак равно суп { ℵ _п | n ∈ {0, 1, 2, ...} }

где наименьший бесконечный ординал обозначается как ω. То есть кардинальное число ℵ _ω является наименьшей верхней границей

{ ℵ _п | n ∈ {0, 1, 2, ...} }.

Примечательно, что ℵ _ω - первое несчетное кардинальное число, которое, как можно продемонстрировать в рамках теории множеств Цермело – Френкеля, не равно мощности множества всех действительных чисел 2. ^{ℵ ₀} : Для любого натурального числа n ≥ 1 мы можем последовательно предположить, что 2 ^{ℵ ₀} = ℵ _n , причем можно предположить, что 2 ^{ℵ ₀} по крайней мере не меньше любого кардинального числа, которое нам нравится. Основное ограничение ZFC накладывает на значение 2. ^{ℵ ₀} заключается в том, что он не может равняться некоторым специальным кардиналам с конфинальностью ℵ ₀ . Несчетный бесконечный кардинал κ, имеющий конфинальность ℵ _0, означает, что существует последовательность (счетной длины) κ ₀ ≤ κ ₁ ≤ κ ₂ ≤ ... кардиналов κ _i < κ, предел которой (т.е. ее наименьшая верхняя граница) равен κ ( см. теорему Истона ). Согласно приведенному выше определению, ℵ _ω является пределом последовательности меньших кардиналов счетной длины.

Алеф- α для общего α

Чтобы определить ℵ _α для произвольного порядкового числа α, мы должны определить последующую кардинальную операцию , которая присваивает любому кардинальному числу ρ следующий больший хорошо упорядоченный кардинал ρ ⁺ (если аксиома выбора верна, это (уникальный) следующий больший кардинал).

Затем мы можем определить числа алефов следующим образом:

ℵ ₀ = ω

ℵ _{α +1} = (ℵ _α ) ⁺

ℵ _λ знак равно ⋃ { ℵ _α | α < λ } для λ бесконечный предельный ординал ,

α - й бесконечный начальный ординал обозначается ω _α . Его мощность обозначается ℵ _α .

Неформально, функция алефа ℵ: On → Cd представляет собой биекцию ординалов в бесконечные кардиналы.Формально в ZFC ℵ — это не функция , а функционально-подобный класс, так как он не является множеством (из-за парадокса Бурали-Форти ).

Фиксированные точки омеги

Для любого порядкового номера α имеем

α ≤ ω _α .

Во многих случаях _ωα строго больше α . Например, это верно для любого порядкового номера- преемника : выполняется α + 1 < ω _{α +1} . Однако существуют некоторые предельные ординалы, которые являются фиксированными точками омега-функции из-за леммы о фиксированной точке для нормальных функций . Первым из них является предел последовательности

ох, ох _ох , ох _{ох ох} , ...,

который иногда обозначается ω _{ω ...} .

Любой слабо недостижимый кардинал также является фиксированной точкой функции алеф. Это можно отобразить в ZFC следующим образом. Предположим, что κ = ℵ _λ — слабо недостижимый кардинал. Если бы λ был порядковым номером-преемником , то ℵ _λ был бы кардинальным-преемником и, следовательно, не был бы слабо недоступным. Если бы λ был предельным ординалом меньшим, чем κ, то его конфинальность (и, следовательно, конфинальность ℵ _λ ) была бы меньше, чем κ , и поэтому κ не было бы регулярным и, следовательно, не было бы слабо недостижимым. Таким образом, λ ≥ κ и, следовательно, λ = κ , что делает его неподвижной точкой.

Роль аксиомы выбора

Мощность любого бесконечного порядкового числа является числом алефа. Каждый алеф представляет собой мощность некоторого порядкового номера. Наименьшим из них является его начальный порядковый номер . Любое множество, мощность которого равна алефу, равнозначно порядковому номеру и, следовательно, является хорошо упорядочиваемым .

Каждое конечное множество вполне упорядочимо, но не имеет алефа в качестве мощности.

В ZF предположение о том, что мощность каждого бесконечного множества является числом алефа, эквивалентно существованию хорошего порядка каждого набора, что, в свою очередь, эквивалентно аксиоме выбора . Теория множеств ZFC, которая включает в себя аксиому выбора, подразумевает, что каждое бесконечное множество имеет число алефа в качестве своей мощности (т.е. равнозначно своему начальному порядковому номеру), и, таким образом, начальные порядковые номера чисел алефа служат классом представителей для всех возможные бесконечные кардинальные числа.

Когда мощность изучается в ZF без аксиомы выбора, больше невозможно доказать, что каждое бесконечное множество имеет какое-то число алефа в качестве своей мощности; множества, мощность которых равна числу алефа, представляют собой в точности бесконечные множества, которые можно хорошо упорядочить. Метод трюка Скотта иногда используется как альтернативный способ построения представителей кардинальных чисел в условиях ZF. Например, можно определить card( S ) как набор множеств с той же мощностью, что и S , минимально возможного ранга. Это свойство card( S ) = card( T ) тогда и только тогда, когда S и T имеют одинаковую мощность. (Набор card( S ) не имеет такой же мощности, как S в целом, но все его элементы имеют.)

См. также

• Число Бет
• Функция Гимеля
• Обычный кардинал
• Трансфинитное число
• Порядковый номер

Внешние ссылки

• «Алеф-ноль» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Алеф-0» . Математический мир .