Конструктивный номер

Не путать с вычислимым числом .

Чтобы узнать о числах, «конструируемых» в смысле теории множеств, см. Конструируемая вселенная .

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы прямоугольного треугольника с длиной катета 1 и, следовательно, является конструктивным числом.

В геометрии и алгебре число действительное $r$ является конструктивным тогда и только тогда, когда для данного отрезка единичной длины отрезок длины $|r|$можно построить с помощью циркуля и линейки за конечное число шагов. Эквивалентно, $r$ является конструктивным тогда и только тогда, когда существует выражение в замкнутой форме для $r$ используя только целые числа и операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней.

Геометрическое определение конструктивных чисел мотивирует соответствующее определение конструктивных точек , которые снова можно описать либо геометрически, либо алгебраически. Точка является конструктивной, если ее можно создать как одну из точек конструкции циркуля и линейки (конечная точка отрезка или точка пересечения двух линий или окружностей), начиная с заданного отрезка единичной длины. Альтернативно и эквивалентно, приняв две конечные точки данного сегмента за точки (0, 0) и (1, 0) декартовой системы координат , точка является конструктивной тогда и только тогда, когда ее декартовы координаты являются конструктивными числами. Конструируемые числа и точки также называются числами линейки и циркуля, а также точками линейки и циркуля , чтобы отличить их от чисел и точек, которые могут быть построены с использованием других процессов.

Набор конструктивных чисел образует поле : применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого набора дает другое конструктивное число. Это поле является полем расширения рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел . Это евклидово замыкание рациональных чисел , наименьшее расширение поля рациональных чисел, включающее квадратные корни всех его положительных чисел.

Доказательство эквивалентности между алгебраическими и геометрическими определениями конструктивных чисел приводит к преобразованию геометрических вопросов о конструкциях циркуля и линейки в алгебру , включая несколько известных задач древнегреческой математики. Алгебраическая формулировка этих вопросов привела к доказательствам того, что их решения невозможно построить, после того как геометрическая формулировка тех же проблем ранее выдержала столетия атак.

Геометрические определения

Геометрически конструируемые точки

Позволять $O$ и $A$ быть двумя заданными различными точками на евклидовой плоскости и определить $S$ это набор точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с $O$ и $A$. Тогда точки $S$ называются конструктивными точками . $O$ и $A$ по определению являются элементами $S$. Для более точного описания остальных элементов $S$, дайте следующие два определения:

• отрезок прямой, конечные точки которого находятся в $S$ называется построенным сегментом , а
• круг, центр которого находится в $S$ и которая проходит через точку $S$ (альтернативно, радиус которого равен расстоянию между некоторой парой различных точек $S$) называется построенной окружностью .

Затем точки $S$, кроме $O$ и $A$ являются:

• пересечение , двух непараллельных построенных отрезков или линий, проходящих через построенные отрезки
• точки пересечения построенной окружности и построенного сегмента или линия, проходящая через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка $OA$является конструктивной точкой. Одна из его конструкций — построить два круга с $OA$как радиус, и линия, проходящая через две точки пересечения этих двух кругов. Тогда середина отрезка $OA$ — точка пересечения этого отрезка построенной линией.

Геометрически конструируемые числа

Исходную информацию для геометрической формулировки можно использовать для определения декартовой системы координат , в которой точка $O$ связан с началом координат, имеющим координаты $(0,0)$ и в чем точка $A$ связан с координатами $(1,0)$. Точки $S$ теперь можно использовать для связи геометрии и алгебры, определяя конструктивное число как координату конструктивной точки.

Эквивалентные определения заключаются в том, что конструктивное число — это $x$-координата конструктивной точки $(x,0)$ или длина конструктивного отрезка. В одном направлении этой эквивалентности, если конструктивная точка имеет координаты $(x,y)$, тогда точка $(x,0)$ можно построить как его перпендикулярную проекцию на $x$-ось, а отрезок от начала координат до этой точки имеет длину $x$. В обратном направлении, если $x$ длина конструктивного отрезка, пересекающего затем $x$-ось с окружностью с центром в $O$ с радиусом $x$ дает точку $(x,0)$. Из этой эквивалентности следует, что каждая точка, декартовы координаты которой являются геометрически конструируемыми числами, сама является геометрически конструируемой точкой. Когда $x$ и $y$ являются геометрически конструируемыми числами, точка $(x,y)$ можно построить как пересечение прямых, проходящих через $(x,0)$ и $(0,y)$, перпендикулярно осям координат.

Алгебраические

Алгебраически конструируемые числа

Алгебраически конструируемые действительные числа — это подмножество действительных чисел , которые можно описать формулами, объединяющими целые числа с использованием операций сложения, вычитания, умножения, мультипликативного обратного преобразования и извлечения квадратных корней из положительных чисел. Еще проще, за счет увеличения длины этих формул, целые числа в них можно ограничить только значениями 0 и 1. Например, квадратный корень из 2 можно построить, поскольку его можно описать формулами ${\sqrt {2}}$ или ${\sqrt {1+1}}$.

Аналогично, алгебраически конструируемые комплексные числа представляют собой подмножество комплексных чисел, которые имеют формулы одного и того же типа, использующие более общую версию квадратного корня, которая не ограничивается положительными числами, но вместо этого может принимать произвольные комплексные числа в качестве аргумента и дает главный квадратный корень его аргумента. Альтернативно, одна и та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами. Например, комплексное число $i$ имеет формулы ${\sqrt {-1}}$ или ${\sqrt {0-1}}$, а его действительная и мнимая части — это конструктивные числа 0 и 1 соответственно.

Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. В одном направлении, если $q=x+iy$ комплексное число, действительная часть которого $x$ и мнимая часть $y$ оба являются конструктивными действительными числами, затем заменяя $x$ и $y$ по их формулам в рамках более крупной формулы $x+y{\sqrt {-1}}$ выдает формулу для $q$как комплексное число. В другом направлении любую формулу для алгебраически конструируемого комплексного числа можно преобразовать в формулы для его действительной и мнимой частей, рекурсивно разлагая каждую операцию в формуле на операции над вещественными и мнимыми частями ее аргументов, используя разложения

• $(a+ib)\pm (c+id)=(a\pm c)+i(b\pm d)$
• $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$
• ${\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}$
• ${\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}$, где $r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}$ и $s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}$.

Алгебраически конструируемые точки

Алгебраически конструируемые точки могут быть определены как точки, две действительные декартовы координаты которых являются алгебраически конструируемыми действительными числами. Альтернативно, они могут быть определены как точки на комплексной плоскости , заданные алгебраически конструируемыми комплексными числами. Ввиду эквивалентности двух определений алгебраически конструируемых комплексных чисел эти два определения алгебраически конструируемых точек также эквивалентны.

алгебраических и

Если $a$ и $b$ являются ненулевыми длинами геометрически построенных отрезков, то с помощью элементарных конструкций циркуля и линейки можно получить построенные отрезки длин $a+b$, $|a-b|$, $ab$, и $a/b$. Последние два можно реализовать с помощью конструкции, основанной на теореме о пересечении . Чуть менее элементарная конструкция с использованием этих инструментов основана на теореме о среднем геометрическом и позволяет построить отрезок длиной ${\sqrt {a}}$ из построенного отрезка длиной $a$. Отсюда следует, что каждое алгебраически конструируемое число является геометрически конструируемым, если использовать эти методы для перевода формулы для числа в конструкцию для числа.

Конструкции циркуля и линейки для конструктивных чисел

$ab$ на основе теоремы о пересечении

${\frac {a}{b}}$ на основе теоремы о пересечении

${\sqrt {p}}$ на основе теоремы о среднем геометрическом

В другом направлении набор геометрических объектов может быть задан алгебраически конструируемыми действительными числами: координатами точек, наклоном и $y$-перехват для линий, а также центр и радиус для кругов. Можно (но утомительно) разработать формулы на основе этих значений, используя только арифметику и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен за один шаг построения циркуля и линейки. Из этих формул следует, что всякое геометрически конструируемое число алгебраически конструируемо.

Алгебраические свойства

Определение алгебраически конструируемых чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную величину любого из этих чисел — те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре . Таким образом, конструктивные числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле , упорядоченное поле, содержащее квадратный корень из каждого из своих положительных элементов. Исследование свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям конструктивности числа, которые можно использовать, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не являются конструктивными.

Вместо всего поля конструктивных чисел удобно рассматривать подполе $\mathbb {Q} (\gamma )$ генерируется любым заданным конструктивным числом $\gamma$и воспользоваться алгебраической конструкцией $\gamma$разложить это поле. Если $\gamma$ является конструктивным действительным числом, то значения, входящие в составляющую его формулу, можно использовать для создания конечной последовательности действительных чисел. $\alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma$ такой, что для каждого $i$, $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})$ является продолжением ​ $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})$ степени 2. Используя немного другую терминологию, действительное число является конструктивным тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни действительных квадратичных расширений .

$$\mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},$$

начиная с рационального поля $\mathbb {Q}$ где $\gamma$ в $K_{n}$ и для всех $0<j\leq n$, $[K_{j}:K_{j-1}]=2$. Из этого разложения следует, что степень расширения поля $[\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]$ является $2^{r}$, где $r$ подсчитывает количество шагов квадратичного расширения.

Аналогично реальному случаю, комплексное число является конструктивным тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. Точнее, $\gamma$ конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей

$$\mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},$$

где $\gamma$ в $F_{n}$, и для всех $0<j\leq n$, $[F_{j}:F_{j-1}]=2$. Разница между этой характеристикой и характеристикой действительных конструируемых чисел состоит только в том, что поля в этой башне не ограничиваются реальностью. Следовательно, если комплексное число $\gamma$ конструктивно, то $[\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]$это степень двойки. Однако этого необходимого условия недостаточно: существуют расширения полей, степень которых равна степени двойки и которые нельзя разложить в последовательность квадратичных расширений.

Поля, которые можно сгенерировать таким образом из башен квадратичных расширений $\mathbb {Q}$ называются итерированными квадратичными расширениями $\mathbb {Q}$. Поля действительных и комплексных конструктивных чисел представляют собой объединения всех действительных или комплексных итерированных квадратичных расширений $\mathbb {Q}$.

Тригонометрические числа

Основная статья: Тригонометрическое число

Тригонометрические числа – это косинусы или синусы углов, которые являются рациональными кратными $\pi$. Эти числа всегда алгебраические, но их нельзя построить. Косинус или синус угла $2\pi /n$ конструктивно только для некоторых специальных чисел $n$:

• Силы двух
• Простые числа Ферма — простые числа, равные единице плюс степень двойки.
• Произведения степеней двойки и любого количества различных простых чисел Ферма.

Так, например, $\cos(\pi /15)$является конструктивным, поскольку 15 является произведением простых чисел Ферма 3 и 5; но $\cos(\pi /9)$ не является конструируемым (не является произведением различных простых чисел Ферма) и не является $\cos(\pi /7)$ (будучи простым числом Ферма).

Невозможные конструкции

Куб и его двойник

Угол и его трисекция

Круг и квадрат равных площадей

Древние греки считали, что некоторые проблемы, связанные с построением линеек и циркуля, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. Однако неконструируемость некоторых чисел доказывает, что эти построения логически невозможно выполнить. (Однако сами проблемы можно решить, используя методы, выходящие за рамки ограничений работы только с линейкой и циркулем, и греки знали, как решить их таким способом. Одним из таких примеров является Архимедом построенное решение проблемы угла Нейсисом. трисекция .)

В частности, алгебраическая формулировка конструктивных чисел приводит к доказательству невозможности следующих задач построения:

Удвоение куба

Задача удвоения единичного квадрата решается построением на диагонали первого квадрата с длиной стороны ${\sqrt {2}}$ и площадь $2$. Аналогично задача об удвоении куба требует построения длины ${\sqrt[{3}]{2}}$ стороны куба с объемом $2$. Его невозможно построить, поскольку минимальный многочлен такой длины $x^{3}-2$, имеет степень 3 больше $\mathbb {Q}$. Как кубический многочлен, единственный действительный корень которого иррационален, этот многочлен должен быть неприводимым, потому что, если бы он имел квадратичный действительный корень, то квадратичное сопряжение дало бы второй действительный корень.

Угловая трисекция

В этой задаче под заданным углом $\theta$, необходимо построить угол $\theta /3$. Алгебраически углы могут быть представлены их тригонометрическими функциями , такими как их синусы или косинусы , которые дают декартовы координаты конечной точки отрезка, образующего данный угол с начальным сегментом. Таким образом, угол $\theta$ является конструктивным, когда $x=\cos \theta$ является конструктивным числом, и задачу разделения угла на три части можно сформулировать как задачу построения $\cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)$. Например, угол $\theta =\pi /3=60^{\circ }$ Равносторонний треугольник можно построить с помощью циркуля и линейки, используя $x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}$. Однако его трисекция $\theta /3=\pi /9=20^{\circ }$ невозможно построить, потому что $\cos \pi /9$ имеет минимальный полином $8x^{3}-6x-1$ степени 3 более $\mathbb {Q}$. Поскольку этот конкретный случай задачи трисекции не может быть решен с помощью циркуля и линейки, общая проблема также не может быть решена.

Квадратура круга

Квадрат с площадью $\pi$, та же площадь, что и единичный круг , будет иметь длину стороны ${\sqrt {\pi }}$, трансцендентное число . Следовательно, этот квадрат и длина его стороны неконструируемы, поскольку он не алгебраичен над $\mathbb {Q}$.

Правильные многоугольники

Если обычный $n$-угольник строится с центром в начале координат, углы между отрезками от центра к последовательным вершинам равны $2\pi /n$. Многоугольник можно построить только тогда, когда косинус этого угла является тригонометрическим числом. Так, например, 15-угольник можно построить, но правильный семиугольник построить невозможно, поскольку 7 — простое число, а не простое число Ферма. Для более прямого доказательства его неконструктивности представим вершины правильного семиугольника как комплексные корни многочлена $x^{7}-1$. Удаление фактора $x-1$, разделив на $x^{3}$, и подставив $y=x+1/x$ дает более простой полином $y^{3}+y^{2}-2y-1$, неприводимая кубика с тремя вещественными корнями, каждый из которых в два раза больше действительной части вершины комплексного числа. Его корни неконструируемы, поэтому семиугольник тоже неконструируем.

Проблема Альхазена

Если даны две точки и круглое зеркало, то где на окружности одна из данных точек видит отраженное изображение другой? Геометрически линии, идущие от каждой данной точки до точки отражения, пересекают окружность под равными углами и по хордам одинаковой длины. Однако построить точку отражения с помощью циркуля и линейки невозможно. В частности, для единичной окружности с двумя точками $({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})$ и $(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ внутри него решение имеет координаты, образующие корни неприводимого многочлена четвертой степени $x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1$. Хотя его степень равна степени двойки, поле расщепления этого многочлена имеет степень, кратную трем, поэтому оно не является результатом повторного квадратичного расширения, и проблема Альхазена не имеет решения для циркуля и линейки.

История

Рождение понятия конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных конструкций циркуля и линейки: удвоения куба, трисекции угла и квадратуры круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических построениях часто приписывают Платону из-за отрывка из Плутарха . По мнению Плутарха, Платон дал дублирование задачи о кубе (делианском) Евдоксу , Архиту и Менехму , которые решили проблему механическими средствами, заслужив упрек со стороны Платона за то, что она не решила проблему с помощью чистой геометрии . Однако эта атрибуция оспаривается, отчасти из-за существования другой версии истории (приписываемой Эратосфену Евтоцием Аскалонским ), в которой говорится, что все три нашли решения, но они были слишком абстрактными, чтобы иметь практическую ценность. Прокл , цитируя Евдема Родосского , приписал Энопиду (около 450 г. до н.э.) две конструкции линейки и циркуля, что привело некоторых авторов к выдвижению гипотезы, что именно Энопид создал это ограничение. Ограничение циркулем и линейкой необходимо для невозможности решения классических задач построения. Например, трисекцию угла можно выполнить разными способами, некоторые из которых были известны древним грекам. Квадратриса — все они Гиппия Элисского , коники Менехма или конструкция с отмеченной прямой ( neusis ) Архимеда использовались, а также более современный подход с помощью складывания бумаги .

Хотя это не одна из трех классических задач построения, рядом с ними часто рассматривается задача построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля. Греки умели строить регулярные $n$-угольники с $n=2^{h}$ (для любого целого числа $h\geq 2$), 3, 5 или произведение любых двух или трёх этих чисел, но другие правильные $n$-гоны ускользнули от них. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс восемнадцатилетний студент построил правильный 17-угольник . объявил в газете, что с помощью линейки и циркуля Лечение Гаусса было скорее алгебраическим, чем геометрическим; на самом деле он на самом деле не построил многоугольник, а скорее показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Этот аргумент был обобщен в его книге Disquisitiones Arithmeticae 1801 года , в которой даны достаточные условия для построения регулярного уравнения. $n$-гон. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также было необходимым, и некоторые авторы, в частности Феликс Кляйн , приписал ему и эту часть доказательства. Проблема Альхазена также не входит в число трех классических задач, но, несмотря на то, что она названа в честь Ибн аль-Хайсама (Альхазена), средневекового исламского математика , она уже появляется в по работах Птолемея оптике второго века.

Пьер Ванцель ( 1837 ) алгебраически доказал, что задачи удвоения куба и трисекции угла невозможно решить, используя только циркуль и линейку. В той же статье он также решил задачу определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить тогда и только тогда, когда число его сторон является произведением степени двойки и любого числа различных простых чисел Ферма (т. е. необходимы также достаточные условия, данные Гауссом). Попытка доказать невозможность квадратуры круга была дана Джеймсом Грегори в книге Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura («Истинное квадратура круга и гиперболы») в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой была предпринята попытка доказать невозможность квадратуры круга. решить задачу, используя алгебраические свойства числа π . Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал ее невозможность, расширив работу Чарльза Эрмита и доказав, что π — трансцендентное число . До работы Элкина (1965) не было доказано, что проблему Альхазена невозможно решить с помощью циркуля и линейки .

Изучение конструктивных чисел, по сути, было инициировано Рене Декартом в «Геометрии» , приложении к его книге «Рассуждение о методе» , опубликованной в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками прямых, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода путем решения древняя задача по построению линейки и циркуля, выдвинутая Паппом .

См. также

• Вычислимое число
• Определяемое действительное число

Ссылки

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN  978-0-486-43832-0 , МР   2108489
• Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт (1996), «Глава III: Геометрические конструкции, алгебра числовых полей», Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.), Oxford University Press, стр. 117–164, ISBN.  0-19-510519-2
• Элкин, Джек М. (март 1965 г.), «Обманчиво простая задача», The Mathematics Teacher , 58 (3): 194–199, doi : 10.5951/MT.58.3.0194 , JSTOR   27968003
• Фрэли, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  978-0-201-53467-2 , МР   0225619
• Фридман, Майкл (2018), История складывания в математике: математизация полей , Science Networks. Исторические исследования, том. 59, Биркхойзер, номер номера : 10.1007/978-3-319-72487-4 , ISBN.  978-3-319-72486-7 , МР   3793627
• Херштейн, Индиана (1986), Абстрактная алгебра , Macmillan, ISBN  0-02-353820-1 , МР   1011035
• Кей, Энтони (2021), Числовые системы: путь к строгой математике , Тейлор и Фрэнсис, ISBN  978-0-367-18065-2
• Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Линейка и круг: классические проблемы геометрических построений , Дувр, ISBN  0-486-42515-0 , МР   1963960
• Кляйн, Феликс (1897), «Знаменитые проблемы элементарной геометрии» , перевод Бемана, Вустера Вудраффа; Смит, Дэвид Юджин, Джинн и Ко
• Норр, Уилбур Ричард (1986), Древняя традиция решения геометрических задач , Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications, ISBN  978-0-486-67532-9 , МР   0884893
• Лоуренс, Джон В.; Зорзитто, Фрэнк А. (2021), Абстрактная алгебра: всестороннее введение , Кембриджские математические учебники, Cambridge University Press, ISBN  978-1-108-86551-7
• Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, doi : 10.1007/978-1-4612-0629-3 , ISBN  0-387-98276-0 , МР   1483895
• Мойс, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN  0-201-04793-4 , МР   0344984
• Нойманн, Питер М. (1998), «Размышления об отражении в сферическом зеркале», American Mathematical Monthly , 105 (6): 523–528, doi : 10.2307/2589403 , JSTOR   2589403 , MR   1626185
• Роман, Стивен (1995), Теория поля , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94408-1 , МР   1329733
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-186267-8
• Стюарт, Ян (1989), Теория Галуа (2-е изд.), Чепмен и Холл, ISBN  978-0-412-34550-0 , МР   1036521
• Ванцель, П.Л. (1837), «Исследование способов определения того, можно ли решить задачу геометрии с помощью линейки и циркуля» , Журнал чистой и прикладной математики , 1 (2): 366–372.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конструируемое число» , MathWorld
• Конструируемые числа в разделе «Разруби узел»