Пересечение линий

В евклидовой геометрии пересечение прямой и прямой может быть пустым множеством , точкой или другой линией . Различение этих случаев и поиск пересечений находят применение, например, в компьютерной графике , планировании движения и обнаружении столкновений .

В трехмерной евклидовой геометрии, если две прямые не лежат в одной плоскости , они не имеют точки пересечения. ^{[ нужна цитата ]}и называются косыми линиями . Однако если они находятся в одной плоскости, есть три возможности: если они совпадают (не являются различными линиями), они имеют бесконечное количество общих точек (а именно, все точки на любой из них); если они различны, но имеют одинаковый наклон , то говорят, что они параллельны и не имеют общих точек; в противном случае они имеют одну точку пересечения.

Отличительными признаками неевклидовой геометрии являются количество и расположение возможных пересечений двух прямых и количество возможных прямых без пересечений (параллельных линий) с данной прямой. ^{[ нужны дальнейшие объяснения ]}

Formulas[editФормулы

Необходимым условием пересечения двух линий является то, что они находятся в одной плоскости, то есть не являются наклонными линиями. Удовлетворение этого условия эквивалентно тетраэдру , вершины которого в двух точках на одной прямой и в двух точках на другой прямой вырождены в смысле нулевого объема . Алгебраическую форму этого условия см. в разделе «Наклонные линии» § Проверка на асимметрию .

Учитывая две точки в каждой строке [ править ]

рассмотрим пересечение двух линий $и в$ L2 $) определяется$ двумерном пространстве, причем линия $двумя)$ различными $(x1, L1 y1 мы является$ и $(x2,, y2 Сначала L1$ линия $L2 а$ точками определяется двумя различными точками $(x 3, y 3)$ и $(x 4, y 4)$ . ^[1]

Пересечение $P$ линий $L 1$ и $L 2$ можно определить с помощью определителей .

P_{x}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!\qquad P_{y}={\frac {\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{4}&y_{4}\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\begin{vmatrix}x_{1}&1\\x_{2}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{1}&1\\y_{2}&1\end{vmatrix}}\\\\{\begin{vmatrix}x_{3}&1\\x_{4}&1\end{vmatrix}}&{\begin{vmatrix}y_{3}&1\\y_{4}&1\end{vmatrix}}\end{vmatrix}}}\,\!

Определители можно записать в виде:

{\begin{aligned}P_{x}&={\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(x_{3}-x_{4})-(x_{1}-x_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}\\[4px]P_{y}&={\frac {(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}y_{4}-y_{3}x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}\end{aligned}}

Когда две линии параллельны или совпадают, знаменатель равен нулю.

Даны две точки на каждом отрезке [ править ]

Точка пересечения выше предназначена для бесконечно длинных линий, определяемых точками, а не для сегментов линий между точками, и может создавать точку пересечения, не содержащуюся ни в одном из двух сегментов линии. Чтобы найти положение пересечения относительно отрезков прямой, мы можем определить линии $L 1$ и $L 2$ в терминах параметров Безье первой степени :

L_{1}={\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}+t{\begin{bmatrix}x_{2}-x_{1}\\y_{2}-y_{1}\end{bmatrix}},\qquad L_{2}={\begin{bmatrix}x_{3}\\y_{3}\end{bmatrix}}+u{\begin{bmatrix}x_{4}-x_{3}\\y_{4}-y_{3}\end{bmatrix}}

(где $t$ и $u$ — действительные числа). Точка пересечения линий находится при одном из следующих значений $t$ или $u$ , где

t={\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{3}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{3}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}={\frac {(x_{1}-x_{3})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{3})(x_{3}-x_{4})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}}

и

u=-{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{1}-x_{3}\\y_{1}-y_{2}&y_{1}-y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}-x_{2}&x_{3}-x_{4}\\y_{1}-y_{2}&y_{3}-y_{4}\end{vmatrix}}}=-{\frac {(x_{1}-x_{2})(y_{1}-y_{3})-(y_{1}-y_{2})(x_{1}-x_{3})}{(x_{1}-x_{2})(y_{3}-y_{4})-(y_{1}-y_{2})(x_{3}-x_{4})}},

с

(P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{1}+t(x_{2}-x_{1}),\;y_{1}+t(y_{2}-y_{1}){\bigr )}\quad {\text{or}}\quad (P_{x},P_{y})={\bigl (}x_{3}+u(x_{4}-x_{3}),\;y_{3}+u(y_{4}-y_{3}){\bigr )}

Пересечение произойдет, если $0 \leq t \leq 1$ и $0 \leq u \leq 1$ . Точка пересечения попадает в первый сегмент прямой, если $0 \leq t \leq 1$ , и попадает во второй сегмент, если $0 \leq u \leq 1$ . Эти неравенства можно проверить без необходимости деления, что позволяет быстро определить наличие пересечения любого отрезка линии перед вычислением его точной точки. ^[2]

Учитывая две линии уравнений [ править ]

Координаты $x$ и $y$ точки пересечения двух невертикальных прямых можно легко найти с помощью следующих замен и перестановок.

Предположим, что две линии имеют уравнения $y = ax + c$ и $y = bx + d$ , где $a$ и $b$ — наклоны (градиенты) линий, а $c$ и $d$ — $точки пересечения y$ линий. В точке пересечения двух линий (если они пересекаются) обе $координаты y$ будут одинаковыми, отсюда следует следующее равенство:

ax+c=bx+d.

Мы можем изменить это выражение, чтобы извлечь значение $x$ ,

ax-bx=d-c,

и так,

x={\frac {d-c}{a-b}}.

Чтобы найти $координату y$ , все, что нам нужно сделать, это подставить значение $x$ в любое из двух уравнений линии, например, в первое:

y=a{\frac {d-c}{a-b}}+c.

Следовательно, точка пересечения

P=\left({\frac {d-c}{a-b}},a{\frac {d-c}{a-b}}+c\right).

Обратите внимание, что если $a = b$ , то две прямые параллельны . Если $также c \neq d$ , линии разные и пересечения нет, в противном случае две линии идентичны и пересекаются в каждой точке.

Использование однородных координат [ править ]

Используя однородные координаты , точку пересечения двух неявно определенных линий можно определить довольно легко. В 2D каждая точка может быть определена как проекция 3D-точки, заданной как упорядоченная тройка $(x, y, w)$ . Отображение трехмерных координат в двухмерные: $( x ′, y ′) = ( .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}х / ж , г / ж )$ . Мы можем преобразовать 2D-точки в однородные координаты, определив их как $(x, y, 1)$ .

Предположим, мы хотим найти пересечение двух бесконечных линий в 2-мерном пространстве, определяемых как $a 1 x + b 1 y + c 1 = 0$ и $a 2 x + b 2 y + c 2 = 0$ . Мы можем представить эти две линии в линейных координатах как $U 1 = (a 1, b 1, c 1)$ и $U 2 = (a 2, b 2, c 2)$ . Пересечение $P'$ двух прямых тогда просто определяется выражением ^[3]

P'=(a_{p},b_{p},c_{p})=U_{1}\times U_{2}=(b_{1}c_{2}-b_{2}c_{1},a_{2}c_{1}-a_{1}c_{2},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})

Если $c p = 0$ , линии не пересекаются.

Более двух строк [ править ]

Пересечение двух линий можно обобщить, включив в него дополнительные линии. Существование и выражение $проблемы пересечения n$ -прямых заключаются в следующем.

В двух измерениях [ править ]

В двух измерениях более двух линий почти наверняка не пересекаются в одной точке. Чтобы определить, существуют ли они, и если да, то найти точку пересечения, запишите $i$ -е уравнение ( $i = 1, \dots, n$ ) как

{\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}=b_{i},

и сложим эти уравнения в матричную форму как

\mathbf {A} \mathbf {w} =\mathbf {b} ,

где $i-я$ строка $размера n \times 2$ матрицы $A$ равна $[a i 1, a i 2]$ , $w$ — вектор 2 × 1 $[Икс y]$ , а $i-$ й элемент вектора-столбца $b$ равен $b i$ . Если $A$ имеет независимые столбцы, ее ранг равен 2. Тогда тогда и только тогда, когда ранг дополненной матрицы $[A | b]$ также равно 2, существует решение матричного уравнения и, следовательно, точка пересечения $n$ строк. Точка пересечения, если она существует, определяется выражением

\mathbf {w} =\mathbf {A} ^{\mathrm {g} }\mathbf {b} =\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} ,

где $ г$ является обобщенной инверсией Мура-Пенроуза к $A$ (которая имеет показанную форму, поскольку $A$ имеет полный ранг столбца). Альтернативно решение можно найти путем совместного решения любых двух независимых уравнений. Но если ранг $A$ равен только 1, то если ранг дополненной матрицы равен 2, решения нет, а если ее ранг равен 1, то все строки совпадают друг с другом.

В трёх измерениях [ править ]

Описанный выше подход можно легко распространить на три измерения. В трех и более измерениях даже две линии почти наверняка не пересекаются; пары непараллельных прямых, не пересекающихся, называются косыми . Но если пересечение действительно существует, его можно найти следующим образом.

В трех измерениях линия представляется пересечением двух плоскостей, каждая из которых имеет уравнение вида

{\begin{bmatrix}a_{i1}&a_{i2}&a_{i3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=b_{i}.

Таким образом, набор из $n$ линий может быть представлен $2 n$ уравнениями в трехмерном координатном векторе $w$ :

\mathbf {A} \mathbf {w} =\mathbf {b}

где теперь $A$ равно $2 n \times 3$ , а $b$ равно $2 n \times 1$ . Как и прежде, существует единственная точка пересечения тогда и только тогда, когда $A$ имеет полный ранг столбца и дополненную матрицу $[A | b]$ нет, и уникальное пересечение, если оно существует, определяется выражением

\mathbf {w} =\left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)^{-1}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {b} .

Ближайшие точки для наклона линий [ править ]

В двух или более измерениях мы обычно можем найти точку, которая взаимно ближе всего к двум или более линиям в смысле наименьших квадратов .

В двух измерениях [ править ]

В двумерном случае сначала представьте линию $i$ как точку $p i$ на прямой и единичный вектор нормали $n̂ i$ , перпендикулярный этой линии. То есть, если $x 1$ и $x 2$ являются точками на прямой 1, то пусть $p 1 = x 1$ и пусть

\mathbf {\hat {n}} _{1}:={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\frac {\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}}{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|}}

который является единичным вектором вдоль линии, повернутой на прямой угол.

Расстояние от точки $x$ до линии $(p, n̂)$ определяется выражением

d{\bigl (}\mathbf {x} ,(\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ){\bigr )}={\bigl |}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {\hat {n}} {\bigr |}=\left|(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \right|=\left|\mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )\right|={\sqrt {(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} \mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -\mathbf {p} )}}.

Итак, квадрат расстояния от точки $x$ до прямой равен

d{\bigl (}\mathbf {x} ,(\mathbf {p} ,\mathbf {\hat {n}} ){\bigr )}^{2}=(\mathbf {x} -\mathbf {p} )^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {\hat {n}} \mathbf {\hat {n}} ^{\mathsf {T}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {p} ).

Сумма квадратов расстояний до многих линий представляет собой функцию стоимости :

E(\mathbf {x} )=\sum _{i}(\mathbf {x} -\mathbf {p} _{i})^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)(\mathbf {x} -\mathbf {p} _{i}).

Это можно переставить:

{\begin{aligned}E(\mathbf {x} )&=\sum _{i}\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}-\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\\&=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} -2\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right)+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}

Чтобы найти минимум, продифференцируем по $x$ и приравняем результат к нулевому вектору:

{\frac {\partial E(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}={\boldsymbol {0}}=2\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} -2\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right)

так

\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {x} =\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}

и так

\mathbf {x} =\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}\left(\sum _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\mathbf {p} _{i}\right).

В более чем двух измерениях [ править ]

Хотя $n̂ i$ не определен четко более чем в двух измерениях, это можно обобщить на любое количество измерений, отметив, что $n̂ i n̂ i Т$ представляет собой просто симметричную матрицу со всеми собственными значениями, за исключением нулевого собственного значения в направлении вдоль линии, обеспечивающего полунорму расстояния между $pi и другой точкой ,$ задающей расстояние до линии. В любом количестве измерений, если $v̂ i$ — единичный вектор вдоль й $i-$ прямой, то

\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}

становится

\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}

где $I$ — единичная матрица , и так ^[4]

x=\left(\sum _{i}\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)^{-1}\left(\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {v}} _{i}\mathbf {\hat {v}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {p} _{i}\right).

Общий вывод [ править ]

Чтобы найти точку пересечения набора прямых, вычисляем точку с минимальным расстоянием до них. Каждая линия определяется началом координат $a i$ и единичным вектором направления $n̂ i$ . Квадрат расстояния от точки $p$ до одной из прямых дан у Пифагора:

d_{i}^{2}=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right\|^{2}-\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}=\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}

где $(п - а я) Т n̂ i$ — это проекция $p - a i$ на линию $i$ . Сумма расстояний от квадрата до всех линий равна

\sum _{i}d_{i}^{2}=\sum _{i}\left({\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-{\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)^{2}}\right)

Чтобы минимизировать это выражение, продифференцируем его по $p$ .

\sum _{i}\left(2\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)-2\left(\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)^{\mathsf {T}}\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)\mathbf {\hat {n}} _{i}\right)={\boldsymbol {0}}

\sum _{i}\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)=\sum _{i}\left(\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\left(\mathbf {p} -\mathbf {a} _{i}\right)

что приводит к

\left(\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\right)\mathbf {p} =\sum _{i}\left(\mathbf {I} -\mathbf {\hat {n}} _{i}\mathbf {\hat {n}} _{i}^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {a} _{i}

где $I$ — единичная матрица . Это матрица $Sp = C$ с решением $p = S + C$ , где $S +$ является псевдообратным S $$ .

Неевклидова геометрия [ править ]

В сферической геометрии любые два больших круга пересекаются. ^[5]

В гиперболической геометрии , если дана любая линия и любая точка, через эту точку проходит бесконечно много прямых, не пересекающих данную прямую. ^[5]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение линий-линий» . Математический мир . Проверено 10 января 2008 г.
^ Антонио, Франклин (1992). «Глава IV.6: Пересечение сегментов более быстрой линии». В Кирке, Дэвиде (ред.). Графические драгоценности III . Academic Press, Inc., стр. 199–202. ISBN 0-12-059756-Х .
^ Берчфилд, Стэнли (23 апреля 1998 г.). «Однородные координаты» . robotics.stanford.edu . Архивировано из оригинала 29 сентября 2000 г. Проверено 18 августа 2015 г.
^ Траа, Йоханнес (2013). «Пересечение линий методом наименьших квадратов» (PDF) . Cal.cs.illinois.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2017 г. Проверено 30 августа 2018 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Исследование гиперболического пространства» (PDF) . math.berkeley.edu . Проверено 3 июня 2022 г.

Внешние ссылки [ править ]

Расстояние между линиями и сегментами с их ближайшей точкой сближения , применимо к двум, трем или более измерениям.

[Wolfram-1] Вайсштейн, Эрик В. «Пересечение линий-линий» . Математический мир . Проверено 10 января 2008 г.

[GGIII-2] Антонио, Франклин (1992). «Глава IV.6: Пересечение сегментов более быстрой линии». В Кирке, Дэвиде (ред.). Графические драгоценности III . Academic Press, Inc., стр. 199–202. ISBN 0-12-059756-Х .

[3] Берчфилд, Стэнли (23 апреля 1998 г.). «Однородные координаты» . robotics.stanford.edu . Архивировано из оригинала 29 сентября 2000 г. Проверено 18 августа 2015 г.

[4] Траа, Йоханнес (2013). «Пересечение линий методом наименьших квадратов» (PDF) . Cal.cs.illinois.edu . Архивировано из оригинала (PDF) 12 сентября 2017 г. Проверено 30 августа 2018 г.

[:0-5] Перейти обратно: ^а ^б «Исследование гиперболического пространства» (PDF) . math.berkeley.edu . Проверено 3 июня 2022 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]