Расстояние между двумя параллельными линиями

«Расстояние между двумя линиями» перенаправляется сюда. Не путать с Расстоянием между двумя наклонными линиями .

Расстояние между двумя параллельными прямыми на плоскости — это минимальное расстояние между любыми двумя точками.

Формула и доказательство

Поскольку линии параллельны, расстояние по перпендикуляру между ними является постоянным, поэтому не имеет значения, какая точка выбрана для измерения расстояния. Учитывая уравнения двух невертикальных параллельных прямых

$y=mx+b_{1}\,$

$y=mx+b_{2}\,,$

расстояние между двумя линиями - это расстояние между двумя точками пересечения этих линий с перпендикулярной линией

$y=-x/m\,.$

Это расстояние можно найти, предварительно решив линейные системы

${\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases}}$

и

${\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases}}$

чтобы получить координаты точек пересечения. Решениями линейных систем являются точки

$\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{1}}{m^{2}+1}}\right)\,,$

и

$\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1}},{\frac {b_{2}}{m^{2}+1}}\right)\,.$

Расстояние между точками равно

$d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({\frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,$

что сводится к

$d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1}}}\,.$

Когда строки заданы

$ax+by+c_{1}=0\,$

$ax+by+c_{2}=0,\,$

расстояние между ними можно выразить как

$d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$

См. также

• Расстояние от точки до линии

Ссылки

• Дистанция : Студент Дуден – Математика II . Библиографический институт Ф.А. Брокгауза, 2004, ISBN   3-411-04275-3 , стр. 17–19 (немецкий)
• Хардт Кремер, Рольф Хевельманн, Инго Клемиш: аналитическая геометрия и линейная Akgebra . Дистервег, 1988 г., ISBN   3-425-05301-9 , с. 298 (немецкий)

Внешние ссылки

• Флориан Модлер: Векторные произведения, задачи на расстояние, позиционные соотношения, вычисление углов – когда по какой формуле? , стр. 44-59 (немецкий)
• Э.Дж. Хобсон: «ТОЛЬКО МАТЕМАТИКА» — БЛОК НОМЕР 8.5 — ВЕКТОРЫ 5 (Векторные уравнения прямых) , стр. 8-9