Линейная система

Эта статья о концепции теории систем. Для понятия линейной алгебры см. Систему линейных уравнений . Чтобы узнать о концепции алгебраической геометрии, см. Линейную систему делителей . Чтобы узнать о тактическом построении, см. Линия (построение) .

В теории систем линейная система — это математическая модель системы, основанная на использовании линейного оператора .Линейные системы обычно обладают функциями и свойствами, которые намного проще, чем нелинейный случай.Как математическая абстракция или идеализация, линейные системы находят важные применения в автоматического управления теории , обработке сигналов и телекоммуникациях . Например, среда распространения для систем беспроводной связи часто может бытьмоделируется линейными системами.

Определение

Блок-схема, иллюстрирующая свойство аддитивности для детерминированной SISO-системы непрерывного времени. Система удовлетворяет свойству аддитивности или является аддитивной тогда и только тогда, когда $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ на все времена $t$ и для всех входов $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$. Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

Блок-схема, иллюстрирующая свойство однородности детерминированной SISO-системы непрерывного времени. Система удовлетворяет свойству однородности или является однородной тогда и только тогда, когда $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ на все времена $t$, для всех действительных констант $a$ и для всех входных данных $x_{1}(t)$. Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

Блок-схема, иллюстрирующая принцип суперпозиции для детерминированной SISO-системы непрерывного времени. Система удовлетворяет принципу суперпозиции и, следовательно, является линейной тогда и только тогда, когда $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ на все времена $t$, для всех действительных констант $a_{1}$ и $a_{2}$ и для всех входов $x_{1}(t)$ и $x_{2}(t)$. Нажмите на изображение, чтобы развернуть его.

Общая детерминированная система может быть описана оператором H , который отображает вход x ( t ) как функцию t в выход y ( t ) , тип черного ящика описания .

Система является линейной тогда и только тогда, когда она удовлетворяет принципу суперпозиции или, что эквивалентно, свойствам аддитивности и однородности, без ограничений (то есть для всех входных данных, всех констант масштабирования и всех времен).

Принцип суперпозиции означает, что линейная комбинация входных данных системы создает линейную комбинацию отдельных выходных данных с нулевым состоянием (то есть выходных данных, устанавливающих начальные условия равными нулю), соответствующих отдельным входным данным.

В системе, которая удовлетворяет свойству однородности, масштабирование входных данных всегда приводит к масштабированию отклика в нулевом состоянии на один и тот же коэффициент. В системе, которая удовлетворяет свойству аддитивности, добавление двух входов всегда приводит к добавлению соответствующих двух откликов нулевого состояния из-за отдельных входов.

Математически для системы с непрерывным временем при наличии двух произвольных входных данных

$${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$$

а также их соответствующие выходы с нулевым состоянием

$${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$$

тогда линейная система должна удовлетворять

$$\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$$

для любых скалярных значений α и β , для любых входных сигналов x ₁ ( t ) и x ₂ ( t ) , и для всего времени t .

Тогда система определяется уравнением H ( x ( t )) = y ( t ) , где y ( t ) — некоторая произвольная функция времени, а x ( t ) — состояние системы. Учитывая y ( t ) и H , система может быть решена относительно x ( t ) .

Поведение получившейся системы при воздействии сложных входных данных можно описать как сумму реакций на более простые входные данные. В нелинейных системах такой зависимости нет. Это математическое свойство делает решение уравнений моделирования более простым, чем решение многих нелинейных систем.Для стационарных систем это является основой методов импульсной характеристики или частотной характеристики (см. теорию систем LTI ), которые описывают общую входную функцию x ( t ) в терминах единичных импульсов или частотных составляющих .

Типичные дифференциальные уравнения линейных стационарных систем хорошо адаптированы к анализу с использованием преобразования Лапласа в непрерывном случае и Z-преобразования в дискретном случае (особенно в компьютерных реализациях).

Другая точка зрения заключается в том, что решения линейных систем представляют собой систему функций , которые действуют как векторы в геометрическом смысле.

Обычно линейные модели используются для описания нелинейной системы путем линеаризации . Обычно это делается для математического удобства.

Предыдущее определение линейной системы применимо к системам SISO (один вход – один выход). Для систем MIMO (множественный вход и несколько выходов) векторы входных и выходных сигналов ( ${\mathbf {x} }_{1}(t)$, ${\mathbf {x} }_{2}(t)$, ${\mathbf {y} }_{1}(t)$, ${\mathbf {y} }_{2}(t)$) рассматриваются вместо входных и выходных сигналов ( $x_{1}(t)$, $x_{2}(t)$, $y_{1}(t)$, $y_{2}(t)$.)

Это определение линейной системы аналогично определению линейного дифференциального уравнения в исчислении и линейного преобразования в линейной алгебре .

Примеры

Простой гармонический осциллятор подчиняется дифференциальному уравнению:

$$m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$$

Если

$$H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$$

тогда H — линейный оператор. Полагая y ( t ) = 0 , мы можем переписать дифференциальное уравнение как H ( x ( t )) = y ( t ) , что показывает, что простой гармонический осциллятор является линейной системой.

Другие примеры линейных систем включают те, которые описаны $y(t)=k\,x(t)$, $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$, $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$и любая система, описываемая обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями. Системы, описываемые $y(t)=k$, $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$, $y(t)=\sin {[x(t)]}$, $y(t)=\cos {[x(t)]}$, $y(t)=x^{2}(t)$, ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$, $y(t)=|x(t)|$и система с выходом нечетной симметрии, состоящая из линейной области и области насыщения (постоянной), являются нелинейными, поскольку они не всегда удовлетворяют принципу суперпозиции.

График зависимости выхода от входа линейной системы не обязательно должен быть прямой линией, проходящей через начало координат. Например, рассмотрим систему, описываемую $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ (например, конденсатор постоянной индуктивности постоянной емкости или дроссель ). Оно линейно, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда входные данные являются синусоидой, выходные данные также являются синусоидой, и поэтому график выходных данных представляет собой эллипс с центром в начале координат, а не прямую линию, проходящую через начало координат.

Кроме того, выход линейной системы может содержать гармоники (и иметь меньшую основную частоту, чем вход), даже если входной сигнал является синусоидой. Например, рассмотрим систему, описываемую $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$. Оно линейно, поскольку удовлетворяет принципу суперпозиции. Однако, когда входной сигнал представляет собой синусоида формы $x(t)=\cos {(3t)}$, используя тригонометрические тождества произведения в сумму, можно легко показать, что результат равен $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$, то есть выход состоит не только из синусоид той же частоты, что и вход ( 3 рад/с ), но и из синусоид частот 2 рад/с и 4 рад/с ; кроме того, взяв наименьшее общее кратное основного периода синусоиды выхода, можно показать, что основная угловая частота выхода равна 1 рад/с , что отличается от входной частоты.

времени импульсная

Изменяющаяся во времени импульсная характеристика h ( t ₂ , t ₁ ) линейной системы определяется как реакция системы в момент времени t = t ₂ на одиночный импульс, приложенный в момент времени t = t ₁ . Другими словами, если входные данные x ( t ) в линейную систему

$$x(t)=\delta (t-t_{1})$$

где δ( t ) представляет собой дельта-функцию Дирака , а соответствующий ответ y ( t ) системы равен

$$y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$$

тогда функция h ( t ₂ , t ₁ ) представляет собой изменяющуюся во времени импульсную характеристику системы. Поскольку система не может отреагировать до того, как будет применен входной сигнал, должно быть удовлетворено следующее условие причинности :

$$h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$$

Интеграл свертки

Выход любой общей линейной системы с непрерывным временем связан с входом интегралом, который может быть записан в дважды бесконечном диапазоне из-за условия причинности:

$$y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$$

Если свойства системы не зависят от времени ее эксплуатации, то ее называют стационарной и h является функцией только разности времен τ = t − t', которая равна нулю при τ < 0 ( а именно t < t' ). Переопределив h, можно эквивалентно записать отношение ввода-вывода любым из способов:

$$y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$$

Линейные нестационарные системы чаще всего характеризуются преобразованием Лапласа функции импульсного отклика, называемой передаточной функцией, которая имеет вид:

$$H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$$

В приложениях это обычно рациональная алгебраическая функция от s . Поскольку h ( t ) равно нулю при отрицательном t , интеграл также можно записать в дважды бесконечном диапазоне, а положив s = iω, получим формулу для функции частотной характеристики :

$$H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$$

Системы дискретного времени

Выход любой линейной системы с дискретным временем связан с входом изменяющейся во времени суммой свертки:

$$y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$$

или, что то же самое, для стационарной системы при переопределении h ,

$$y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$$

где

$$k=n-m$$

представляет время задержки между стимулом в момент времени m и реакцией в момент времени n .

См. также

• Инвариантная система сдвига
• Линейное управление
• Линейная нестационарная система
• Нелинейная система
• Системный анализ
• Система линейных уравнений